2022届高考数学统考一轮复习第六章6.2等差数列及其前n项和学案文含解析新人教版

1、第二节等差数列及其前n项和【知识重温】一、必记5个知识点1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，一般用字母d表示；定义的表达式为：_(nn*)2等差数列的通项公式设等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.等差数列的通项公式是关于n的一次函数形的函数3等差中项若a，a，b成等差数列，则a叫做a，b的等差中项，且a_.4等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则sn_，或等差数列an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为sn_.等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形的函数且

2、无常数项5等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)aman(mn)d或d.(m、nn*)(2)在等差数列中，若pqmn，则有apaqaman；若2mpq，则有apaq_，(p，q，m，nn*)(3)d0an是递增数列，sn有最小值；d0an是递减数列，sn有最大值；d0an是常数数列(4)数列anb仍为等差数列，公差为d.(5)若bn，an都是等差数列，则anbn仍为等差数列(6)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(7)数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列(8)s2n1(2n1)an.(9)若n为偶数，则s偶s奇d.若n为奇数，则s奇s偶a中(中间项)二、

3、必明2个易误点1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn*，都有2an1anan2.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(5)等差数列的

4、前n项和公式是常数项为0的二次函数()二、教材改编2设数列an是等差数列，其前n项和为sn，若a62且s530，则s8等于()a31b32c33 d343在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.三、易错易混4一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()ad bdc.d d.d5若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大四、走进高考62019全国卷记sn为等差数列an的前n项和已知s40，a55，则()aan2n5 ban3n10csn2n28n dsnn22n等差数列的基本运算自主练透型12020

5、全国卷记sn为等差数列an的前n项和若a12，a2a62则s10_.22020六校联盟联考设等差数列an的前n项和为sn，若a4s52，s714，则a10()a18b16c14d1232021河南部分重点高中联考记等差数列an的前n项和为sn.若3s55s3135，则数列an的公差d_.考点二等差数列的判定与证明互动讲练型例12021湖北检测已知数列an满足a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nn*)(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn15，求数列bn的前n项和sn.悟技法等差数列的判定方法(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，anan1d(常数)(n

6、2)；第二种是利用等差中项法，即2anan1an1(n2)(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可.变式练(着眼于举一反三)1已知a1，an2(n2，nn*)，数列bn满足bn(nn*)求证：数列bn是等差数列考点三等差数列的性质分层深化型考向一：等差数列通项性质的应用例2(1)已知等差数列an的前n项和为sn，且2a5a210，则s15()a20 b75 c300 d150(2)设公差为3的等差数列an的前n项和为sn，若s2 0192 019，则 a3a6a9a2 019()a673

7、 b1 346 c673 d1 346考向二：等差数列前n项和性质的应用例3(1)已知sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则s2 020_.(2)2021太原模拟一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32：27，求该数列的公差d.悟技法应用等差数列的性质解题的三个注意点(1)如果an为等差数列，mnpq，则amanapaq(m，n，p，qn*)因此，若出现amn，am，amn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am(amnamn)转化为求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差数列通项公

8、式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，d，s2n1(2n1)an，sn(n，mn*)等(3)当项数为偶数2n时，s偶s奇 nd；项数为奇数2n1时，s奇s偶a中，s奇：s偶n：(n1). 变式练(着眼于举一反三)2设等差数列an的前n项和为sn，若s39，s636，则a7a8a9等于()a63b45c36d273设等差数列an的前n项和为sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，sn324(n6)，则数列an的项数为_考点四等差数列前n项和的最值问题互动讲练型例4(1)2021湖北襄阳四中联考已知数列an为等差数列，a1a2a3165，a2a3a4156，an的前n项和为sn

9、，则使sn达到最大值的n的值是()a19 b20 c21 d22(2)2021西安八校联考设等差数列an的前n项和为sn，若s6s7s5, 则满足snsn10的正整数n的值为()a10 b11 c12 d13悟技法求等差数列前n项和sn最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式snan2bna2，求“二次函数”最值(2)邻项变号法当a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10，d0时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.变式练(着眼于举一反三)42019北京高考设等差数列an的前n项和为sn，若a23，s510，则a5_，sn的最小值为_52021南昌模拟已知

10、等差数列an的公差d0，前n项和为sn，若s510a6，则当sn最大时，n()a8 b9 c7或8 d8或9第二节等差数列及其前n项和【知识重温】同一个常数公差an1anda1(n1)dna1d2am【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：由已知可得解得s88a1d32.答案：b3解析：由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案：1804解析：由题意可得即所以d.故选d.答案：d5解析：因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80.所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故当n8时，其前n项和最大答案：86解析：设an

11、的公差为d，依题意得，4a1d0，a14d5，联立，解得a13，d2.所以an2n5，snn24n.故选a.答案：a课堂考点突破考点一1解析：通解设等差数列an的公差为d，则由a2a62，得a1da15d2，即46d2，解得d1，所以s1010(2)125.优解设等差数列an的公差为d，因为a2a62a42, 所以a41，所以d1，所以s1010(2)125.答案：252解析：设an的公差为d，由，可得，解得，所以a1049214.选c.答案：c3解析：因为3s55s3135，所以35135，所以15d135，解得d9.答案：9考点二例1解析：(1)证明：n(an1n1)(n1)(ann)(n

12、n*)，nan1(n1)an2n(n1)，2，数列是等差数列，其公差为2，首项为2，22(n1)2n.(2)由(1)知an2n2，bn152n15，则数列bn前n项和snn214n.变式练1解析：证明：因为an2(n2，nn*)，bn(nn*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列考点三例2解法一设数列an的公差为d，由2a5a210，得2(a14d)(a1d)10，整理得a17d10，s1515a1d15(a17d)1510150.故选d.解法二由题意知，a2a82a5，所以2a5a2a810，s15150.故选d.(2)解析：(1)解法一设等差数列an的首项

13、为a1，则s2 0192 019a12 0192 018(3)2 019，解得a13 028，所以a33 022，则a3a6a9a2 0193 022673673672(9)1 346.故选b.解法二s2 019(a1a4a7a2 017)(a2a5a8a2 018)(a3a6a9a2 019)(a3a6a9a2 019)673(6)(a3a6a9a2 019)673(3)(a3a6a9a2 019)3(a3a6a9a2 019)673(9)2 019，解得a3a6a9a2 0191 346.故选b.答案：(1)d(2)b例3解析：(1)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，

14、d1.故2 019d2 0142 0195，s2 02052 02010 100.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为s奇，偶数项的和为s偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得，解得又s偶s奇6d，所以d5.答案：(1)10 100(2)见解析变式练2解析：由an是等差数列，得s3，s6s3，s9s6为等差数列，即2(s6s3)s3(s9s6)，得到s9s62s63s345，故选b.答案：b3解析：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又sn324，18n324，n18.答案：18考点四例4解析

15、：(1)设等差数列an的公差为d，则(a2a3a4)(a1a2a3)3d1561659，所以d3.因为a1a2a33a13d3a19165，所以a158.所以ana1(n1)d58(n1)(3)613n.令an613n0，得n.因为nn*，所以当n20时，sn达到最大值故选b.(2)由s6s7s5，得s7s6a7s6，s7s5a6a7s5，所以a70，a6a70，所以an为递减数列，又s1313a70，s126(a6a7)0，所以s12s130，即满足 snsn10的正整数n的值为12，故选c.答案：(1)b(2)c变式练4解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d.由s5(a1a5)2a310，得a32，da3a22(3)1，a1314，a5a14d440.解法一a14，d1，sn4n1(n29n)2.nn*