2022届高考数学统考一轮复习第三章3.2.3导数的综合应用课件文新人教版

1、第3课时导数的综合应用考点一不等式的证明互动讲练型考向一：构造函数法例1设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xr.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解析：(1)由f(x)ex2x2a，xr，得f(x)ex2，xr，令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)f(x)在xln 2处取得极小值，极小值f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)，无极大值x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)

2、(2)证明：设g(x)exx22ax1，xr，于是g(x)ex2x2a，xr.由(1)知当aln 21时，g(x)最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xr，都有g(x)0，所以g(x)在r内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.类题通法待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证考向二：分拆函数法例2已知函数f(x)eln xax(ar)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时

3、，证明：xf(x)ex2ex0.解析：(1)f(x)ex2x，则f(1)e2，f(1)e1，所以曲线f(x)在x1处的切线方程为y(e2)x1.悟技法不等式恒成立问题的求解策略(1)已知不等式f(x)0(为实参数)对任意的xd恒成立，求参数的取值范围利用导数解决此类问题可以运用分离参数法(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a0，0或a0，0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得x0，得xln a，所以f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(

4、ln a，)悟技法判断函数零点个数的3种方法直接法令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数画图法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决考向二：已知零点存在情况求参数范围例52020全国卷已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex1.当x0时，f(x)0时，f(x)0.所以f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增悟技法已知函数(方程)零点的个数求参数范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理(2)若函数不

5、是严格单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数4已知函数f(x)exaxa(ar且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2，1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为r，又f(0)1a2，得a1，所以f(x)exx1，求导得f(x)ex1.易知f(x)在2，0上单调递减，在(0，1上单调递增，所以当x0时，f(x)在2，1上取得最小值2.微专题微专题(十一十一)含含ex，ln x与与x的组合函数的解题策略的组合函数的解题策略近几年高考压轴题常以x

6、与ex，ln x组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念，图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)预计今后高考试题除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类整合和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查x(0，e)e(e，)t(x)0t(x)单调递增极大值单调递减变式练1证明exln x2.策略三借助exx1和ln xx1进行放缩例3已知函数f(x)exa.(1)若函数f(x)的图象与直线l：yx1相切，求a的值；解析：(1)f(x)ex，因

7、为函数f(x)的图象与直线yx1相切，所以令f(x)1，即ex1，得x0，即f(0)1，解得a2.(2)若f(x)ln x0恒成立，求整数a的最大值解析：现证明exx1，设f(x)exx1，则f(x)ex1，令f(x)0，则x0，当x(0，)时，f(x)0，当x(，0)时，f(x)ln x，当a2时，ln x0恒成立当a3时，存在x，使exaln x不恒成立综上，整数a的最大值为2.变式练3已知函数f(x)ex，g(x)ln (xa)b.(1)若函数f(x)与g(x)的图象在点(0，1)处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b0时，f(x)g(x)0恒成立，求整数a的最大值 解析：(1)因为函数f(x)和g(x)的图象在点(0，1)处有相同的切线，所以f(0)g(0)且f(0)g(0)，解得a1，b