2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练七十四坐标系课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练七十四坐标系1.在直角坐标系xoy中,曲线c1的方程为x2+y2=1.以坐标原点o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为=2cos .(1)求c1,c2交点的直角坐标;(2)设点a的极坐标为 ,点b是曲线c2上的点,求aob面积的最大值.【解析】(1)c1:x2+y2=1,c2:=2cos ,则2=2cos ,所以x2+y2=2x.联立,得 解得 或 所以c1,c2交点的直角坐标为 , .(2)设b(,),则=2cos ,所以aob的面积s= |oa|ob|sin aob= = = ,所以当= 时,smax=2+ .2.在极坐标系中,已知圆o:=cos +s

2、in 和直线l:sin = .(1)求圆o和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆o的公共点的极坐标.【解析】(1)由=cos +sin ,得2=cos +sin ,把 代入2=cos +sin ,得圆o的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.由直线l:sin = ,得sin -cos =1,因为 所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由 解得 进而,由 得 因为(0,),所以= ,故直线l与圆o的公共点的极坐标为 .3.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线c.(1)求曲线c的方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与c的交点为p1,

3、p2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设点(x1,y1)为圆上的点,变换后为曲线c上的点(x,y),依题意,得 由 + =1,得x2+ =1,即曲线c的方程为x2+ =1.(2)由 解得 或 不妨设p1(1,0),p2(0,2),则线段p1p2的中点坐标为 ,所求直线的斜率k= ,于是所求的直线方程为y-1= ,化为极坐标方程并整理,得2cos -4sin +3=0.4.在极坐标系中,o为极点,点m(0,0)(00)在曲线c:=4sin 上,直线l过点a(4,0)且与om垂直,垂足为p.(1)当0= 时,求0及l

4、的极坐标方程.(2)当m在c上运动且p在线段om上时,求p点轨迹的极坐标方程.【解析】(1)因为m 在c上,当0= 时,0=4sin =2 .由已知得|op|=|oa|cos =2.设q(,)为l上除点p外的任意一点.在rtopq中,cos =|op|=2,经检验,点p 在曲线cos =2上.所以,l的极坐标方程为cos =2.(2)设p(,),在rtoap中,|op|=|oa|cos =4cos ,即=4cos .因为p在线段om上,且apom,故的取值范围是 .所以,p点轨迹的极坐标方程为=4cos , .5.在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为 (t为参数,为l的倾斜角),以原点

5、o为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线e的极坐标方程为=4sin ,直线=,=+ ,=- (r)与曲线e分别交于不同于极点o的三点a,b,c.(1)若 ,求证:|ob|+|oc|=|oa|;(2)当= 时,直线l过b,c两点,求y0与的值.【解析】(1)依题意,|oa|=|4sin |,|ob|= ,|oc|= ,所以 0),m的极坐标为(0,)(00),由题设知|op|=,|om|=0,由|om|op|=16得c2的极坐标方程=4cos (0),因此c2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点b的极坐标为(b,)(b0),由题设知|oa|=2,b=4cos ,于是o

6、ab的面积s=|oa|bsin aob=4cos =2 2+ ,当=- 时,s取得最大值2+ .所以oab面积的最大值为2+ .8.(2021黄冈模拟)在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c1的极坐标方程为cos =2.已知点q为曲线c1上的动点,点p在线段oq上,且满足|oq|op|=4,动点p的轨迹为c2.(1)求c2的直角坐标方程.(2)设点a的极坐标为 ,点b在曲线c2上,求aob面积的最大值.【解析】(1)设p的极坐标为(,)(0),q的极坐标为(1,)(10),由题意知|op|=,|oq|=1= .由|oq|op|=4得c2的极坐标方程为=2cos (0),化简得= cos +sin ,因此c2的直角坐标方程为 + =1,但不包括点(0,0).(2