2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练五十六双曲线课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练课时作业梯级练五十六五十六双双曲曲线线一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.(2020 天津高考)设双曲线 c 的方程为-=1(a0,b0),过抛物线 y2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 c 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 c 的方程为()a.-=1b.x2-=1c.-y2=1d.x2-y2=1【解析】选 d.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线 l 的方程为 x+ =1,即直线的斜率为-b,又双曲线的渐近线的方程为 y= x,所以-b=- ,-b =-1,因为 a0,b0,解得 a=1,b=1.所以双曲线 c 的方程为

2、 x2-y2=1.2若直线 l：x2y50 过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为()ax220y251bx25y2201cx24y21dx2y241【解析】选 a.根据题意，令 y0，则 x5，即 c5.又ba12，所以 a220，b25，所以双曲线的方程为x220y251.3.(2020全国卷)设 o 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 c:-=1的两条渐近线分别交于 d,e 两点.若ode 的面积为 8,则 c 的焦距的最小值为 ()a.4b.8c.16d.32【解析】选 b. 双曲线 c:-=1的两条渐近线方程为 y= x,将 x=a

3、 与双曲线渐近线方程联立,令 d 和 e 坐标分别为 d(a,b),e(a,-b),所以ode 的面积为 ab=8,所以 c2=a2+b22ab=16,当且仅当 a=b=2时,等号成立,所以 c4,则焦距 2c 的最小值为 8.4(2019北京高考)已知双曲线x2a2y21(a0)的离心率是 5 ，则 a()a 6b4c2d12【解析】选 d.由已知，b21，eca 5 ，所以 c25a2，又 c2a2b2a21，所以 a214，a12.5(2018全国卷)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2 ，则点(4，0)到 c的渐近线的距离为()a 2b2c3 22d2 2【解

4、析】选 d.由已知，双曲线 c 的一条渐近线为 ybax，即 bxay0，所以点(4，0)到 c 的渐近线的距离为 d|4b0|b2a24bc，因为 a2b2c2，离心率 eca 2 ，所以 e2c2a22，a2c22，c22b2c2，b2c22，b2c212，bc22，所以 d2 2 .二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6如图，已知双曲线 e：x2a2y2b21(a0，b0)，长方形 abcd 的顶点 a，b 分别为双曲线e 的左、右焦点，且点 c，d 在双曲线 e 上，若|ab|6，|bc|52，则此双曲线的离心率为_【解析】因为 2c|ab|6，所以 c3.因为b2a|bc|52

5、，所以 5a2b2.又 c2a2b2，所以 9a25a2，解得 a2 或 a92(舍去)，故该双曲线的离心率 eca32.答案：327已知直线 l 与双曲线x24y21 相切于点 p，l 与双曲线的两条渐近线分别交于 m，n 两点，o 为坐标原点，则_【解析】设切点 p(x0，y0)，则x204y201，切线 l 的方程为14x0 xy0y1.由题意知，该双曲线的渐近线方程为 y12x，不妨设 m 为直线 l 与渐近线 y12x 的交点，由14x0 xy0y1，y12x，得x4x02y0，y2x02y0，即交点 m4x02y0，2x02y0，同理可得 n4x02y0，2x02y0，所以12x2

6、04y201243.答案：38设点 p 在双曲线x29y2161 上，f1，f2为双曲线的两个焦点，且|pf1|pf2|13，则f1pf2的周长等于_【解析】由题意知|f1f2|2 916 10，|pf2|pf1|6，又|pf1|pf2|13，所以|pf1|3，|pf2|9，所以f1pf2的周长为 391022.答案：22三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9若双曲线 e：x2a2y21(a0)的离心率等于 2 ，直线 ykx1 与双曲线 e 的右支交于 a，b 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若|ab|6 3 ，求 k 的值【解析】(1)由ca 2，a2c21得a21，c22，故

7、双曲线 e 的方程为 x2y21.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由ykx1，x2y21，得(1k2)x22kx20.因为直线与双曲线右支交于 a，b 两点，故k1，（2k）24（1k2）（2）0，即k1， 2k 2，所以 1k 2 .故 k 的取值范围为(1,2 ).(2)由得 x1x22kk21，x1x22k21，所以|ab| 1k2 （x1x2）24x1x22（1k2） （2k2）（k21）26 3 ，整理得 28k455k2250，所以 k257或 k254.又 1k 2 ，所以 k52.10已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy0，且顶点到渐近线

8、的距离为2 55.(1)求此双曲线的方程；(2)设 p 为双曲线上一点， a， b 两点在双曲线的渐近线上， 且分别位于第一、 二象限， 若=，求aob 的面积【解析】(1)依题意得ab2，|20a|52 55，解得a2，b1，故双曲线的方程为y24x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y2x，设 a(m，2m)，b(n，2n)，其中 m0，n0，由=得点 p 的坐标为mn2，mn.将点 p 的坐标代入y24x21，整理得 mn1.设aob2，因为 tan22，则 tan12，从而 sin 245.又|oa| 5 m，|ob| 5 n，所以 saob12|oa|ob|sin 22mn2

9、.1已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 y34x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线 c 的标准方程为()ax29y2161bx216y291cx23y241dx24y231【解析】选 b.由题意得ba34，c2a2b225，所以 a4，b3，所以所求双曲线的标准方程为x216y291.2.(5 分)已知 o 为坐标原点,设 f1,f2分别是双曲线 x2-y2=1 的左、右焦点,点 p 为双曲线左支上任一点,自点 f1作f1pf2的平分线的垂线,垂足为 h,则|oh|=()a.1 b.2 c.4 d.【解析】选 a.延长 f1h 交 pf2于点 q,由角平分线性质可知

10、|pf1|=|pq|,根据双曲线的定义,|pf1|-|pf2|=2,从而|qf2|=2,在f1qf2中,oh 为其中位线,故|oh|=1.3设双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 f1，f2，与圆 x2y2a2相切的直线 pf1交双曲线 c 于点 p(p 在第一象限)，且|pf2|f1f2|，则双曲线 c 的离心率为()a103b53c32d54【解析】选 b.设 pf1与圆相切于点 m，如图，作 f2npf1，因为|pf2|f1f2|，所以pf1f2为等腰三角形，n 为 pf1的中点，所以|f1m|14|pf1|，又因为在直角f1mo 中，|f1m|2|f1o|2a

11、2c2a2，所以|f1m|b14|pf1|，又|pf1|pf2|2a2c2a，c2a2b2，由可得 c2a2ca22，即为 4(ca)ca，即 3c5a，解得 eca53.【加练备选拔高】1.已知曲线+=1,当曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆时,k 的取值范围是_;当曲线表示双曲线时,k 的取值范围是_.【解析】当曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆时,k2-k2,所以 k2;当曲线表示双曲线时,k2-k0,所以 0k0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_.【解析】因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，所以 916b21，解得 b22，所以双曲线方程为 x2y221，所以双曲线

12、的渐近线方程是 y 2 x.答案：y 2 x3已知 f1，f2分别是双曲线 e：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，p 是双曲线上一点，f2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍，(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当f1pf260时，pf1f2的面积为 48 3 ，求此双曲线的方程【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为 bxay0，则点 f2到渐近线距离为|bc0|b2a2b(其中 c 是双曲线的半焦距)，所以由题意知 ca2b， 又因为 a2b2c2， 解得 b43a， 故所求双曲线的渐近线方程是 4x3y0.(2)因为f1pf260，由余弦定理得|pf1|2|pf2|22|p

13、f1|pf2|cos 60|f1f2|2，即|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|4c2.又由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a，平方得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4a2，相减得|pf1|pf2|4c24a24b2.根据三角形的面积公式得s12|pf1|pf2|sin 60344b2 3 b248 3 ，得 b248.由(1)得 a2916b227，故所求双曲线方程是x227y2481.4已知椭圆 c1：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别是双曲线 c2：x2m2y21 的左、右焦点，且 c1与 c2相交于点2 33，33.(1)求椭圆 c1的标准方程；(2)设直

14、线 l：ykx13与椭圆 c1交于 a，b 两点，以线段 ab 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由【解析】(1)将2 33，33代入x2m2y21，解得 m21，所以 a2m212.将2 33，33代入x22y2b21，解得 b21，所以椭圆 c1的标准方程为：x22y21.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由ykx13，x22y21整理得(918k2)x212kx160，所以 x1x212k918k2，x1x216918k2，144k264(918k2)0，由对称性可知，以 ab 为直径的圆若恒过定点，此定点必在 y 轴上设定点为 m(0，y

15、0)，则(x1，y1y0)，(x2，y2y0)，x1x2(y1y0)(y2y0)x1x2y1y2y0(y1y2)y20 x1x2k2x1x2k3(x1x2)y0k（x1x2）2319y20(1k2)x1x2k13y0(x1x2)y2023y01918（y201）k29y206y015918k20，解得y2010，9y206y0150，解得 y01，所以 m(0，1)，所以以线段 ab 为直径的圆恒过定点(0，1).【一题多解】设定点为 m(x0，y0)，则=(x1-x0,y1-y0),=(x2-x0,y2-y0),=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)x1x2x0(x1x

16、2)x20y1y2y0(y1y2)y20 x1x2x0(x1x2)x20kx113kx213y0k（x1x2）23y20(1k2)x1x2 x0y013 k(x1x2)x20y2023y0190，所以x20y2010，x00，9x209y206y0150，解得x00，y01，所以 m(0，1)，所以以线段 ab 为直径的圆恒过定点(0，1).1已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()a(1，3)b(1， 3 )c(0，3)d(0， 3 )【解析】选 a.由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，所以 m2n3m2n4，解得 m21，因为方

17、程x21ny23n1 表示双曲线，所以1n0，3n0，解得n1，n3，所以 n 的取值范围是(1，3).2 已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0， b0)的右焦点为 f， 过点 f 作圆(xa)2y2c216的切线，若该切线恰好与 c 的一条渐近线垂直，则双曲线 c 的离心率为_【解析】不妨取与切线垂直的渐近线方程为 ybax，由题意可知该切线方程为 yab(xc)，即 axbyac0.圆(xa)2y2c216的圆心为(a，0)，半径为c4，则圆心到切线的距离 d|a2ac|a2b2aca2cc4，又 eca，则 e24e40，解得 e2，所以双曲线 c 的离心率 e2.答案：2【加练备选拔高】已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为 y=x,则该双曲线的标准方程是()a.-=1b.-=1c.x2-=1d.-=1【解析】选 c.当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线的标准方程是-