2022版新教材高考数学一轮复习第十章10.1随机事件与概率事件的相互独立性课件新人教A版

1、10.110.1随机事件与概率、事件的相互独立随机事件与概率、事件的相互独立性性第十章第十章2022内容索引必备知识必备知识 预案自诊预案自诊关键能力关键能力 学案突破学案突破素养提升微专题素养提升微专题1313“正难则反正难则反”思想在概率中的应用思想在概率中的应用必备知识必备知识 预案自诊预案自诊【知识梳理知识梳理】 1.事件的分类 确定事件必然事件作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件不可能事件空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件基本事件 把只包含一

2、个样本点的事件称为基本事件2.频率与概率(1)频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件a发生的频率fn(a)会逐渐稳定于事件a发生的概率p(a).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)大数定律阐述了随着试验次数的增加,频率稳定在概率附近.(3)概率的定义:对于给定的随机事件a,如果随着试验次数的增加,事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上,把这个常数记作p(a),称为事件a的概率.范围:0,1.意义:概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.温馨提示理解频数与频率需注意:前提:对于给定的随机事件a,在相同的条件s下重复n次试验,观察事件a是否出现

3、.频数:指的是n次试验中事件a出现的次数na.频率:指的是事件a出现的比例fn(a)= .问题思考如何理解频率与概率的关系?提示 (1)概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.(2)通过公式fn(a)= 计算出频率,再由频率估算概率.3.事件的关系与运算 事件的关系或运算含义符号表示包含a发生导致b发生ab并事件(和事件)a与b至少一个发生ab或a+b交事件(积事件)a与b同时发生ab或ab互斥(互不相容)a与b不能同时发生ab=互为对立a与b有且仅有一个发生ab

4、=,ab=温馨提示定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件a,b,c,abc(或a+b+c)发生当且仅当a,b,c中至少一个发生,abc(或abc)发生当且仅当a,b,c同时发生.4.相互独立事件(1)定义:对任意两个事件a与b,如果p(ab)=p(a)p(b)成立,则称事件a与事件b相互独立,简称为独立.(2)若事件a与b相互独立,则p(ab)=p(a)p(b).由此可得出p(ab)=p(a)p(b)是事件a与b相互独立的充要条件.温馨提示(1)事件a与b相互独立就是事件a的发生不影响事件b发生的概率,事件b的发生不影响事件a发生的概率.(2)互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间

5、的关系,但互斥事件强调不可能同时发生,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;互斥的两个事件可以独立,独立的两个事件也可以互斥.用表格表示如下:相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生,即ab=概率公式若事件a与b相互独立,则p(ab)=p(a)p(b)若事件a与b互斥,则p(a+b)=p(a)+p(b)【考点自诊考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)随机事件和随机试验是一回事.()(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(4)

6、两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()(5)若a,b为互斥事件,则p(a)+p(b)=1.()(6)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.()2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为()a.0.62 b.0.38c.0.7d.0.68答案 b解析 由互斥事件的概率计算公式可得质量在4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为p=1-0.3-0.32=0.38.故选b.答案 b 4.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或黄球的概

7、率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,那么摸出的球是黄球或白球的概率为()a.0.7b.0.5c.0.3d.0.6答案 a解析 设摸出红球的概率为p(a),摸出黄球的概率是p(b),摸出白球的概率为p(c),所以p(a)+p(b)=0.4,p(a)+p(c)=0.9,且p(a)+p(b)+p(c)=1,所以p(c)=1-p(a)-p(b)=0.6,p(b)=1-p(a)-p(c)=0.1,所以p(b)+p(c)=0.7.故选a.答案 b 关键能力关键能力 学案突破学案突破考点考点1 1随机事件的关系随机事件的关系例(1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件a,b,c,d发生的概率分别是0

8、.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是()a.ab与c是互斥事件,也是对立事件b.bc与d是互斥事件,也是对立事件c.ac与bd是互斥事件,但不是对立事件d.a与bcd是互斥事件,也是对立事件(2)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试,其中23人成绩为a,其余人成绩都是b或c.从这50名学生中任抽1人,若抽得b的概率是0.4,则抽得c的概率是()a.0.14 b.0.20 c.0.40d.0.60答案 (1)d(2)a解析 (1)由于a,b,c,d彼此互斥,且abcd是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事

9、件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选d.(2)由于成绩为a的有23人,故抽到c的概率为p=1- -0.4=0.14.思考如何判断随机事件之间的关系?解题心得 判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)定义法,就是考查它们能否同时发生,如果不能同时发生,则是互斥事件,否则,就不是互斥事件.(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.事件a的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集.注意:事件的包含、相等、互斥、

10、对立等,其发生的前提条件应是一样的;对立是针对两个事件来说的,而互斥可以是多个事件的关系.对点训练1(1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()a.b. c.d.(2)(多选)掷一枚骰子,设事件a:“向上的一面是奇数点”,事件b:“向上的一面点数不超过3”,事件c:“向上的一面点数不小于4”,则下列说法正确的是()a.a与b是互斥而非对立事件b.a与b不是互斥事件c.b与c是互斥而非对立事件d.b与c是对立事件答案 (1)c

11、(2)bd解析 (1)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况:一奇一偶,2个奇数,2个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件.又中的事件可以同时发生,不是对立事件,故选c.(2)将一枚骰子抛掷1次,设事件a表示向上的一面出现奇数,事件b表示向上的一面出现的点数不超过3,事件c表示向上的一面出现的点数不小于4,事件a与事件b能同时发生,不是互斥事件,故a错误,b正确;事件b与事件c不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故c错误,d正确.考点考点2 2随机事件的频率与概率随机事件的频率与概率【例2】某险种的基本保费为a(单位:元

12、),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数012345频数605030302010(1)记a为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求p(a)的估计值;(2)记b为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求p(b)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解 (1)事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55

13、,故p(a)的估计值为0.55.(2)事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故p(b)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a(元).保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05解题心得 1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学

14、抽象.当试验次数越来越多时,频率越趋近于概率.2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率.(2)利用随机事件a包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法,列举法,树状图法.对点训练2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据

15、,得下面的频数分布表:最高气温 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出y的所有可能值,并估计y大于零的概率.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ,由表格数据知,最高气温低于25 的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为45

16、0瓶时,若最高气温不低于25 ,则y=6450-4450=900;若最高气温位于区间20,25),则y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高气温低于20 ,则y=6200+2(450-200)-4450=-100,所以,y的所有可能值为900,300,-100.y大于零当且仅当最高气温不低于20 ,由表格数据知,最高气温不低于20 的频率为 =0.8,因此y大于零的概率的估计值为0.8.考点考点3 3互斥事件、对立事件概率公式的应用互斥事件、对立事件概率公式的应用【例3】 一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是

17、红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.对点训练3 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?排队人数 012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解 记“0人排队等候”为事件a,“1人排队等候”为事件b,“2人排队等候”为事件c,“3人排队等候”为事件d,“4人排队等候”为事件e,“5人及5人以上排队等候”为事件f,则事件a,b,c,d,e,f彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件g,则g=abc,所以p(g)=p(abc)=p(a)+p(b)+p(c)=

18、0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件h,则h=def,所以p(h)=p(def)=p(d)+p(e)+p(f)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件h,则其对立事件为事件g,所以p(h)=1-p(g)=0.44.考点考点4 4相互独立事件概率公式的应用相互独立事件概率公式的应用解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,再求概率.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(

19、2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.对点训练4(2019全国1,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4 1获胜的概率是.答案 0.18解析 前五场中有一场客场输时,甲队以4 1获胜的概率是0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4 1获胜的概率是0.40.620.520.6=0.072.综上所述,甲队以4 1获胜的概率是0.108+0.072=0.1

20、8.素养提升微专题素养提升微专题1313“正难则反正难则反”思想在概率中的应用思想在概率中的应用 概率求解中什么样的问题需用“正难则反”思想?一般来说,“正难则反”的思想是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件a与事件b互为对立事件,在求p(a)时,利用公式p(a)=1-p(b),先求容易的一个,再求另一个.【典例】已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.解记“甲射击一次,命中7环以下”为事件a,则p(a)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射击一次,命中7环”为事件b,则p(b)=0.12,由于在一次射击中,a与b不可能同时发生,故a与b是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为a+b,由互斥事件的概率加法公式,p(a+b)=p(a)+p(b)=0.1+0.12=0.22.答:甲射击一次,命