2022高考数学一轮复习大题专项练四立体几何文含解析新人教A版

1、高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与几何体的体积1.(2020安徽合肥二模,文18)如图1,在矩形abcd中,e,f在边cd上,bc=ce=ef=fd=1.沿be,af将cbe和daf折起,使平面cbe和平面daf都与平面abef垂直,连接dc,如图2.(1)证明:cdab;(2)求三棱锥d-bce的体积.2.(2020河南焦作模拟)如图,在多面体abca1b1c1中,四边形abb1a1是正方形,a1cb是等边三角形,ac=ab=1,b1c1bc,bc=2b1c1.(1)求证:ab1平面a1c1c;(2)求多面体abca1b1c1的体积.3.如图,四棱锥p-abcd的底面abcd是矩

2、形,pa底面abcd,e,f分别是pc,pd的中点,ad=ab=1.(1)若点g为线段bc的中点,证明:平面efg平面pab;(2)在(1)的条件下,求以efg为底面的三棱锥c-efg的高.4.(2020广东肇庆二模,文19)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是正方形,侧棱pd底面abcd,且pd=cd=1,过棱pc的中点e,作efpb交pb于点f.(1)证明:pa平面edb;(2)求三棱锥b-def的体积.5.如图,平面abcd平面cdef,且四边形abcd是梯形,四边形cdef是矩形,bad=cda=90,ab=ad=de=12cd,m是线段de上的动点.(1)试确定点m的位置,使

3、be平面mac,并说明理由;(2)在(1)的条件下,四面体e-mac的体积为3,求线段ab的长.6.(2020全国2,文20)如图,已知三棱柱abc-a1b1c1的底面是正三角形,侧面bb1c1c是矩形,m,n分别为bc,b1c1的中点,p为am上一点.过b1c1和p的平面交ab于e,交ac于f.(1)证明:aa1mn,且平面a1amn平面eb1c1f;(2)设o为a1b1c1的中心.若ao=ab=6,ao平面eb1c1f,且mpn=3,求四棱锥b-eb1c1f的体积.7.如图,多面体abcdef中,底面abcd是菱形,bcd=60,四边形bdef是正方形且de平面abcd.(1)求证:cf平

4、面ade;(2)若ae=2,求多面体abcdef的体积v.8.(2020四川棠湖中学月考)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是边长为2的菱形,bad=120,pa=2,pb=pc=pd,e是pb的中点.(1)证明:pd平面aec;(2)设f是线段dc上的动点,当点e到平面paf距离最大时,求三棱锥p-afe的体积.突破2空间中的垂直与几何体的体积1.(2020山西长治一模,文18)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd,且pa=ad=2,ab=3,点e为线段pd的中点.(1)求证:aepc;(2)求三棱锥p-ace的体积.2.(2020全国3,文19)如图,

5、在长方体abcd-a1b1c1d1中,点e,f分别在棱dd1,bb1上,且2de=ed1,bf=2fb1.证明:(1)当ab=bc时,efac;(2)点c1在平面aef内.3.(2020福建莆田一模,文19)如图,四棱锥p-abcd的底面是菱形,ab=ac=2,pa=23,pb=pd.(1)证明:平面pac平面abcd;(2)若paac,m为pc的中点,求三棱锥b-cdm的体积.4.(2020福建漳州二模,文18)已知四棱锥s-abcd中,四边形abcd为梯形,bcd=adc=sad=90,平面sad平面abcd,e为线段ad的中点,ad=2bc=2cd.(1)证明:bd平面sab;(2)若s

6、a=ad=2,求点e到平面sbd的距离.5.(2020广东广州一模,文19)如图,三棱锥p-abc中,pa=pc,ab=bc,apc=120,abc=90,ac=3pb=2.(1)求证:acpb;(2)求点c到平面pab的距离.6.(2020陕西铜川二模,文19)如图,abc为边长为2的正三角形,aecd,且ae平面abc,2ae=cd=2.(1)求证:平面bde平面bcd;(2)求三棱锥d-bce的高.7.如图,四面体abcd中,o,e分别是bd,bc的中点,ab=ad=2,ca=cb=cd=bd=2.(1)求证:ao平面bcd;(2)求异面直线ab与cd所成角的余弦值;(3)求点e到平面a

7、cd的距离.参考答案高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明分别取af,be的中点m,n,连接dm,cn,mn.由图可得,adf与bce都是等腰直角三角形,且adf与bce全等,dmaf,cnbe,dm=cn.平面adf平面abef,交线为af,dm平面adf,dmaf,dm平面abef.同理,cn平面abef,dmcn.又dm=cn,四边形cdmn为平行四边形,cdmn.m,n分别是af,be的中点,mnab,cdab.(2)解由图可知,v三棱锥d-bce=v三棱锥b-dce,ef=1,ab=3,cd=mn=2,v三棱锥b-dce=2v三棱锥b-efc=2v三

8、棱锥c-efb.由(1)知,cn平面bef.cn=22,sbef=12,v三棱锥c-efb=212,v三棱锥d-bce=26.2.(1)证明如图,取bc的中点d,连接ad,b1d,c1d,b1c1bc,bc=2b1c1,bdb1c1,bd=b1c1,cdb1c1,cd=b1c1,四边形bdc1b1,cdb1c1是平行四边形,c1db1b,c1d=b1b,cc1b1d,又b1d平面a1c1c,c1c平面a1c1c,b1d平面a1c1c.在正方形abb1a1中,bb1aa1,bb1=aa1,c1daa1,c1d=aa1,四边形adc1a1为平行四边形,ada1c1.又ad平面a1c1c,a1c1平

9、面a1c1c,ad平面a1c1c,b1dad=d,平面adb1平面a1c1c,又ab1平面adb1,ab1平面a1c1c.(2)在正方形abb1a1中,a1b=2,a1bc是等边三角形,a1c=bc=2,ac2+aa12=a1c2,ab2+ac2=bc2,aa1ac,acab.又aa1ab,aa1平面abc,aa1cd,易得cdad,adaa1=a,cd平面adc1a1.易知多面体abca1b1c1是由直三棱柱abd-a1b1c1和四棱锥c-adc1a1组成的,直三棱柱abd-a1b1c1的体积为1212111=14,四棱锥c-adc1a1的体积为1322122=16,多面体abca1b1c1

10、的体积为14+16=512.3.(1)证明e,f分别是pc,pd的中点,efcd.底面abcd是矩形,cdab,efab.又ab平面pab,ef平面pab,ef平面pab.同理eg平面pab.efeg=e,平面efg平面pab.(2)解pa底面abcd,bc底面abcd,pabc,bcab,paab=a,bc平面pab,c到平面pab的距离为bc=1,以efg为底面的三棱锥c-efg的高为12.4.(1)证明连接ac交bd于点g,则g是ac的中点,连接eg,则eg是pac的中位线,所以paeg,因为pa平面edb,eg平面edb,所以pa平面edb.(2)解因为pd平面abcd,bc平面abc

11、d,所以pdbc,又bccd,cdpd=d,所以bc平面pcd,又de平面pcd,所以debc.因为pd=cd,e是pc的中点,所以depc,bcpc=c,所以de平面pbc,所以de是三棱锥d-bef的高.de=22,bc=1,pc=2pe=2,pb=3,rtbcprtefp,所以pcpf=bpep=bcef,得pf=pcepbp=33,ef=bcepbp=66,bf=233,vb-def=vd-bef=13sbefde=1312bfefde=118.5.解(1)当em=13de时,be平面mac.证明如下:连接bd,交ac于n,连接mn.由于ab=12cd,所以dnnb=2.当em=13d

12、e时,dmme=2,所以mnbe.由于mn平面mac,又be平面mac,所以be平面mac.(2)cdda,cdde,dade=d,cd平面ade.又平面abcd平面cdef,addc,ad平面cdef,adde.设ab=a,则ve-mac=vc-mae=13cdsmae=19a3.所以19a3=3,解得a=3.因此ab=3.6.(1)证明因为m,n分别为bc,b1c1的中点,所以mncc1.又由已知得aa1cc1,故aa1mn.因为a1b1c1是正三角形,所以b1c1a1n.又b1c1mn,故b1c1平面a1amn.所以平面a1amn平面eb1c1f.(2)解ao平面eb1c1f,ao平面a

13、1amn,平面a1amn平面eb1c1f=pn,故aopn.又apon,故四边形apno是平行四边形,所以pn=ao=6,ap=on=13am=3,pm=23am=23,ef=13bc=2.因为bc平面eb1c1f,所以四棱锥b-eb1c1f的顶点b到底面eb1c1f的距离等于点m到底面eb1c1f的距离.作mtpn,垂足为t,则由(1)知,mt平面eb1c1f,故mt=pmsinmpn=3.底面eb1c1f的面积为12(b1c1+ef)pn=12(6+2)6=24.所以四棱锥b-eb1c1f的体积为13243=24.7.(1)证明abcd是菱形,bcad.又bc平面ade,ad平面ade,b

14、c平面ade.又bdef是正方形,bfde.bf平面ade,de平面ade,bf平面ade.bc平面bcf,bf平面bcf,bcbf=b,平面bcf平面aed,cf平面aed.(2)解连接ac,记acbd=o,abcd是菱形,acbd,且ao=co.由de平面abcd,ac平面abcd,deac.de平面bdef,bd平面bdef,debd=d,ac平面bdef于o,即ao为四棱锥a-bdef的高.由abcd是菱形,bcd=60,则abd为等边三角形,由ae=2,则ad=de=1,ao=32,s正方形bdef=1,va-bdef=13s正方形bdefao=36,v=2va-bdef=33.8.

15、(1)证明连接db与ac交于点o,连接oe,因为abcd是菱形,所以o为db的中点,又因为e为pb的中点,所以pdoe,因为pd平面aec,oe平面aec,所以pd平面aec.(2)解取bc中点m,连接am,pm,因为四边形abcd是菱形,bad=120,且pc=pb,所以bcam,bcpm,又ampm=m,所以bc平面apm,又ap平面apm,所以bcpa.同理可得,dcpa,又bcdc=c,所以pa平面abcd,所以平面paf平面abcd,又平面paf平面abcd=af,所以点b到直线af的距离即为点b到平面paf的距离,过点b作直线af的垂线段,在所有垂线段中长度最大为ab=2,因为e为

16、pb的中点,故点e到平面paf的最大距离为1,此时,f为dc的中点,即af=3,所以spaf=12paaf=1223=3,所以vp-afe=ve-paf=1331=33.突破2空间中的垂直与几何体的体积1.(1)证明pa平面abcd,pacd,又在矩形abcd中,cdad,cd平面pad,ae平面pad,cdae,又pa=ad,e为pd中点,aepd,又cdpd=d,ae平面pcd.pc平面pcd,aepc.(2)解点e为线段pd的中点,vp-ace=ve-pac=12vp-acd=121321223=1.2.证明(1)如图,连接bd,b1d1.因为ab=bc,所以四边形abcd为正方形,故a

17、cbd.又因为bb1平面abcd,于是acbb1.所以ac平面bb1d1d.由于ef平面bb1d1d,所以efac.(2)如图,在棱aa1上取点g,使得ag=2ga1,连接gd1,fc1,fg.因为d1e=23dd1,ag=23aa1,dd1aa1,所以ed1ag,于是四边形ed1ga为平行四边形,故aegd1.因为b1f=13bb1,a1g=13aa1,bb1aa1,所以fga1b1,fgc1d1,四边形fgd1c1为平行四边形,故gd1fc1.于是aefc1.所以a,e,f,c1四点共面,即点c1在平面aef内.3.(1)证明设bd交ac于点o,连接po,在菱形abcd中,acbd,又pb

18、=pd,o是bd的中点,pobd,acpo=o,ac平面pac,po平面pac,bd平面pac,又bd平面abcd,故平面pac平面abcd.(2)解连接om,m为pc的中点,且o为ac的中点,ompa,由(1)知,bdpa,又paac,则bdom,omac,又acbd=o,om平面abcd.由题得oc=1,bd=23,则sbcd=12bdoc=12231=3,om=12pa=3,vb-cdm=vm-bcd=13sbcdom=1333=1.三棱锥b-cdm的体积为1.4.(1)证明由题意知bcd=adc=90,bced,且bc=cd=12ad=de,所以四边形bcde是正方形,所以bdce,又

19、因为bcae,bc=ae,所以四边形abce是平行四边形,所以ceab,则bdab.因为平面sad平面abcd,sad=90,平面sad平面abcd=ad,故sa平面abcd.所以saab=a,所以sabd,又因为saab=a,则bd平面sab.(2)解因为sa=ad=2,be=de=1,所以bde的面积为12,又由(1)知sa平面abcd,则vs-bde=13122=13,又在rtsab中,sa=2,ab=db=2,则sb=6,由(1)知bdsb,所以sbd的面积为1226=3,设点e到平面sbd的距离为h,则13sbdsh=13,即h=33.5.(1)证明取ac的中点为o,连接bo,po.

20、在pac中,pa=pc,o为ac的中点,poac,在bac中,ba=bc,o为ac的中点,boac,opob=o,op平面opb,ob平面opb,ac平面opb,pb平面pob,acbp.(2)解在直角三角形abc中,由ac=2,o为ac的中点,得bo=1,在等腰三角形apc中,由apc=120,得po=33,又pb=233,po2+bo2=pb2,即pobo,又poac,acob=o,po平面abc,由题可得pa=233,又ab=2,得spab=1222332-222=156.设点c到平面pab的距离为h,由vp-abc=vc-pab,得13122232=13156h,解得h=355,故点c到平面pab的距离为355.6.(1)证明如图所示,取bd的中点f,bc的中点为g,连接ag,fg,ef,由题意可知,fg是bcd的中位线,所以fgae,且fg=ae,即四边形aefg为平行四边形,所以agef,又ae平面abc,所以fg平面abc,所以agfg,又agbc,bcfg=g,所以ag平面b