2022高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线学案文含解析新人教A版

1、9.7抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)的的点的轨迹叫做抛物线.点f叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.注意若定点f在定直线l上,则动点的轨迹为过点f且垂直于l的一条直线.2.抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点f到准线l的距离图形顶点对称轴x轴焦点fp2,0f-p2,0f0,p2f0,-p2离心率e=准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yrx0,yry0,xry0,xr开口方向向右向左向上向下焦半径(其中p(x0,y0)|pf|

2、=x0+p2|pf|=-x0+p2|pf|=y0+p2|pf|=-y0+p21.设ab是过抛物线y2=2px(p0)焦点f的弦,若a(x1,y1),b(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;(2)弦长|ab|=x1+x2+p=2psin2(为弦ab所在直线的倾斜角);(3)以弦ab为直径的圆与准线相切;(4)saob=p22sin(为弦ab所在直线的倾斜角);(5)cfd=90.2.抛物线y2=2px(p0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2

3、)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点p(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4,0.()2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p0)的焦点间的距离为2,则p的值为()a.23b.4c.6d.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为o,焦点为f,准线为l.p是抛物线上异于o的一点,过p作pql于q,则线段fq的垂直平分线()a.经过点ob.经过点pc.平行于直线opd.

4、垂直于直线op4.(2020全国1,理4)已知a为抛物线c:y2=2px(p0)上一点,点a到c的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()a.2b.3c.6d.95.设抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f(1,0),过点p(1,1)的直线l与抛物线c交于a,b两点,若p恰好为线段ab的中点,则|ab|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为f,以点p92,0为圆心,|pf|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于m,n两点,则|mf|+|nf|等于()a.8b.18c.22d.4(2)(2020新高考全国1,13

5、)斜率为3的直线过抛物线c:y2=4x的焦点,且与c交于a,b两点,则|ab|=.思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若p(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上一点,由定义易得|pf|=x0+p2;若过焦点的弦ab的端点坐标为a(x1,y1),b(x2,y2),则弦长为|ab|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点f的直线l与抛物线交于a,b两点,与抛物线的准线交于点

6、c,若b是ac的中点,则|ab|=()a.8b.9c.10d.12(2)已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线为l,p是l上一点,q是直线pf与抛物线c的一个交点,若fp=4fq,则|qf|=()a.72b.52c.3d.2考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p0),点c(-4,0),过抛物线的焦点f作垂直于x轴的直线,与抛物线交于a,b两点,若cab的面积为24,则以直线ab为准线的抛物线的标准方程为()a.y2=4xb.y2=-4xc.y2=8xd.y2=-8x(2)(2020全国3,文7)设o为坐标原点,直线x=2与抛物线c:y2=2px

7、(p0)交于d,e两点,若odoe,则c的焦点坐标为()a.14,0b.12,0c.(1,0)d.(2,0)思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,点m(x0,22)x0p2是抛物线c上的一点,以点m为圆心的圆与直线x=p2交于e,

8、g两点,若sinmfg=13,则抛物线c的方程为()a.y2=xb.y2=2xc.y2=4xd.y2=8x(2)已知抛物线e:y2=2px(p0)的焦点为f,点a(0,2),若线段af的中点b在抛物线上,则|bf|=()a.54b.52c.22d.324考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,准线为l,a,b是抛物线上的两个动点,且满足afb=23,设线段ab的中点m在l上的投影为n,则|mn|ab|的最大值是()a.34b.33c.32d.3(2)已知f为抛物线c:y2=4x的焦点,过点f作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l

9、1与抛物线c交于a,b两点,直线l2与抛物线c交于d,e两点,则|ab|+|de|的最小值为()a.16b.14c.12d.10思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线c:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线c于a,b两点(a,b均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点f到

10、直线ab的距离的最大值为()a.2b.3c.32d.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l过抛物线c:y2=2px(p0)的焦点f(1,0),且与c交于m,n两点,则p=,|mf|9-1|nf|的最小值是.考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线c:y2=4x焦点f的直线交抛物线c于p,q两点,交圆x2+y2-2x=0于m,n两点,其中p,m位于第一象限,则1|pm|+4|qn|的值不可能为()a.3b.4c.5d.6(2)已知p是抛物线y2=4x上任意一点,q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|pq|的最小值为()a.52b.3c.3+1d.23-1思考求解抛物线

11、与其他圆锥曲线的综合问题要注意什么?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知f为抛物线c1:y2=2px(p0)的焦点,曲线c2是以f为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线c1,c2从上到下依次相交于点a,b,c,d,则|ab|cd|=()a.16b.4c.83d.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆e与圆m(x-1)2+y2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心e的轨迹方程为;过点p(1,2)作倾斜角互补的两条直线,

12、分别与圆心e的轨迹相交于a,b两点,则直线ab的斜率为.考点直线与抛物线的关系【例5】(1)设抛物线y2=8x的焦点为f,其准线与x轴的交点为q,过点q作斜率为k(k0)的焦点,过点f的直线与抛物线交于a,b两点,ab的中点为c,过点c作抛物线准线的垂线交准线于点c1,若cc1的中点为m(1,4),则p=()a.4b.8c.42d.82解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题

13、,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|ab|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于a,b两点,设点m(3,0).若mab的面积为42,则|ab|=()a.2b.4c.23d.8(2)已知直线kx-y-k=0(k0)与抛物线y2=4x交于a,b两点,过b作x轴的平行线交抛物线的准线于点m,o为坐标原点,若sobmsoba=12,则k=.1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线

14、标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.9.7抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.距离相等焦点准线2.(0,0)y轴1考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.a由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),0,p2,两焦点的距离为1+p24=2,解得p=23.故选a

15、.3.b因为线段fq的垂直平分线上的点到f,q的距离相等,又点p在抛物线上,根据抛物线定义可知,|pq|=|pf|,所以线段fq的垂直平分线经过点p.故选b.4.c设点a的坐标为(x,y).由点a到y轴的距离为9可得x=9,由点a到抛物线c的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.15由于焦点f(1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y2=4x.设a(x1,y1),b(x2,y2),由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l:y-1=k(x-1),由y-1=k(x-1),y2=4x消去x,得ky2-4y+4-4k=0,由p为线段ab的中点可知y1+y2=4k=2,所以k=2,所以

16、直线l的方程为y=2x-1,y1y2=-2,所以|ab|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2=15.关键能力学案突破例1(1)a(2)163(1)设m(x1,y1),n(x2,y2),抛物线的焦点坐标为12,0,则|pf|=92-12=4,则圆的方程为x-922+y2=16,与抛物线方程联立,消去y,得x2-7x+174=0,则x1+x2=7.根据抛物线性质可知|mf|+|nf|=x1+12+x2+12=8.故选a.(2)如图所示,直线与抛物线交于a,b两点,设a(x1,y1),b(x2,y2),f(1,0),准线方程为x=-1,作aa,bb垂直于准线,交准线于点a,b,由抛物线的定义知|

17、aa|=|af|,|bb|=|bf|.|ab|=|af|+|bf|=|aa|+|bb|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p.由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,所以x1+x2=103,则|ab|=103+2=163.对点训练1(1)b(2)c(1)如图,分别过点a,b作准线的垂线,垂足分别为d,e,设|ab|=|bc|=m,直线l的倾斜角为.则|be|=m|cos|,所以|ad|=|af|=|ab|-|bf|=|ab|-|be|=m(1-|cos|),所以|cos|=|ad|ac|=m(1-|cos|)2m,解得|cos|=13.由抛物线焦点弦长公式|ab|=2psi

18、n2,可得|ab|=81-19=9.故选b.(2)fp=4fq,|fp|=4|fq|.|pq|pf|=34.过q作qql,垂足为q,设l与x轴的交点为a(图略),则|af|=4,|pq|pf|=|qq|af|=34,|qq|=3,根据抛物线定义可知|qf|=|qq|=3,故选c.例2(1)d(2)b(1)因为abx轴,且ab过焦点f,所以|ab|=2p,所以scab=122pp2+4=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y2=8x,所以直线ab的方程为x=2,所以以直线ab为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x.故选d.(2)抛物线c关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又od

19、oe,ode是等腰直角三角形.不妨设点d在第一象限,则点d的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线c的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)c(2)d(1)如图所示,作mdeg,垂足为d.因为点m(x0,22)x0p2在抛物线上,所以8=2px0,即px0=4.由题意,可知|dm|=x0-p2,|mf|=x0+p2,因为sinmfg=13,所以|dm|=13|mf|,即x0-p2=13x0+p2,解得x0=p.由,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线c的方程为y2=4x.故选c.(2)由已知得点f的坐标为p2,0,因为点a(0,2),所以af的中点b的坐标为p

20、4,1.因为点b在抛物线上,所以1=p22,解得p=2或p=-2(舍去).所以点f的坐标为22,0,点b的坐标为24,1,所以|bf|=22-242+(0-1)2=324.故选d.例3(1)b(2)a(1)设a,b在直线l上的投影分别是a1,b1,则|af|=|aa1|,|bf|=|bb1|.又因为m是ab中点,所以|mn|=12(|aa1|+|bb1|),则|mn|ab|=12|aa1|+|bb1|ab|=|af|+|bf|2|ab|.在abf中,|ab|2=|af|2+|bf|2-2|af|bf|cos23=|af|2+|bf|2+|af|bf|=(|af|+|bf|)2-|af|bf|(

21、|af|+|bf|)2-|af|+|bf|22=34(|af|+|bf|)2,当且仅当|af|=|bf|时,等号成立.所以(|af|+|bf|)2|ab|243,即|af|+|bf|ab|233,所以|mn|ab|33.故选b.(2)由题意,可知直线l1,l2的斜率都存在且不为0,点f(1,0).设点a(x1,y1),b(x2,y2),d(x3,y3),e(x4,y4),直线l1的方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2k2+4k2.因为l1l2,所以直线l2的方程为y=-1k(x-1).同理,x3+x4=2+4k

22、2.由抛物线的定义可知|ab|+|de|=x1+x2+2+x3+x4+2=2k2+4k2+2+4k2+4=4k2+4k2+824k24k2+8=16,当且仅当4k2=4k2,即k=1时,等号成立.故|ab|+|de|的最小值为16.对点训练3(1)c(2)2-13(1)设直线ab的方程为x=my+t,点a(x1,y1),b(x2,y2).由x=my+t,y2=2x,得y2-2my-2t=0,所以y1y2=-2t.由题意可知oaob,则x1x2+y1y2=(y1y2)24+y1y2=0,即t2-2t=0.由题意可知t0,所以t=2,所以直线ab过定点(2,0).所以抛物线的焦点f到直线ab的距离

23、的最大值为2-12=32.故选c.(2)因为抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f(1,0),所以p=2.设点m(x1,y1),n(x2,y2),直线l:x=my+1,联立x=my+1,y2=4x,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=1.(方法1)|mf|9-1|nf|=x1+19-1x2+1=x1+19-11x1+1=x1+19+1x1+1-1-13,当且仅当x1+1=3,即x1=2时,等号成立.(方法2)1|mf|+1|nf|=1x1+1+1x2+1=1my1+2+1my2+2=m(y1+y2)+4(my1+2)(my2+2)=m(y1+y2)+4

24、m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2+4-4m2+8m2+4=1,所以|mf|9-1|nf|=|mf|9-1-1|mf|=|mf|9+1|mf|-1-13,当且仅当|mf|=3时,等号成立.例4(1)a(2)d(1)作图如下.由题意可知,f为圆x2+y2-2x=0的圆心,设|pf|=m,|qf|=n,则|pm|=m-1,qn=n-1.根据抛物线的常用结论,可知1m+1n=2p=1,则m+nmn=1,即m+n=mn,所以1|pm|+4|qn|=1m-1+4n-1=4m+n-5mn-(m+n)+1=4m+n-5.又4m+n=(4m+n)1m+1n=4+4mn+nm+15+24mnnm=9,

25、当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-54,即1|pm|+4|qn|4.故1|pm|+4|qn|的值不可能为3.故选a.(2)设点p的坐标为14m2,m,由圆的方程(x-4)2+y2=1,可得圆心坐标为a(4,0),半径r=1,所以|pa|2=(14m2-4)2+m2=116(m2-8)2+1212,所以|pa|23.因为q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,所以|pq|的最小值为23-1.故选d.对点训练4(1)a(2)y2=4x-1(1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线c1的焦点f,所以|bf|=|cf|=p2,所以|ab|cd|=|af|-p2|df|-p2.设

26、点a(xa,ya),d(xd,yd),由抛物线的定义得|af|-p2=xa,|df|-p2=xd.由4x-3y-2p=0,y2=2px,整理得8x2-17px+2p2=0,解得xa=2p,xd=p8.故|ab|cd|=xaxd=2pp8=16.故选a.(2)如图,由题意可知,|ne|=|me|-12,则|ne|+12=|me|,所以点e到直线x=-1的距离等于到点m(1,0)的距离,所以动圆圆心e的轨迹是以m为焦点,以x=-1为准线的抛物线,则其轨迹方程为y2=4x.点p坐标为(1,2),则点p在圆心e的轨迹上.设a(x1,y1),b(x2,y2).由已知设直线pa:m(y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y2=4my-8m+4,即y2-4my+8m-4=