3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较课件新人教B版必修第二册

1、第四章第四章指数函数、对数函数与幂函数指数函数、对数函数与幂函数4.5增长速度的比较问题问题:物理学自由落体位移公式s=gt2,自由落体速度公式v=gt,前者描述的是时间t与位移s的关系式,后者描述的是时间t与速度v的关系式,如果物体到月球上,由于重力加速度g变小,相同时间内的速度和位移都有怎样的变化呢?12情境导学情境导学答案答案相同时间内,速度v和位移s相对于在地球上都会变小. 1.平均变化率我们已经知道,函数y=f(x)在区间x1,x2(x1x2时)上的平均变化率为 =.也就是说,平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比,这也可以理解为自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个

2、单位.因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢. fx2121()- ( )-f xf xx xfx教材研读教材研读2.几类不同增长的函数 形式特点一次函数y=kx+b(k0)直线上升,其增长速度不变指数函数y=ax(a1)随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”对数函数y=logax(a1)随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓幂函数y=xn(n0)是增函数,当x1时,n越大其函数值的增长速度就越快探究一平均变化率的比较探究一平均变化率的比较例例1(1)在x=1附近,取x=0.3,在四个函数y=x;y=x2;y=x3;y=中,

3、平均变化率最大的是()a. b. c. d.(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示,已知在时间段t0,t1,(t1,t2,(t2,t3上的平均变化率分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为 (用“”表示).1xbv3v2v1 解析解析(1)x=0.3时,y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+x=2.3;y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3x+(x)2=3.99;y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.所以k3k2k1k4,故选b.(2)由题图可知,v1=koa,v2=kab,v3=kbc,因为kbckabkoa,1x11x1

4、0131010( )- ( )-s ts tt t2121( )- ( )-s ts tt t3232( )- ( )-s ts tt t所以v3v2v1. 跟踪训练跟踪训练1.(1)函数f(x)=x2在x0到x0+x之间的平均变化率为k1,在x0-x到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是()a.k1k2 c.k1=k2 d.无法确定d(2)如图所示的是甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况,下列说法正确的是 (填序号).在0到t0范围内,甲的平均变化率大于乙的平均变化率;在0到t0范围内,甲的平均变化率小于乙的平均变化率;在t0到t1范围内,甲的平均变化率大于乙的平均变化率

5、;在t0到t1范围内,甲的平均变化率小于乙的平均变化率.解析解析(1)k1=2x0+x,k2=2x0-x,又x可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定,故选d.(2)由题图知,0t0范围内:=;t0t1范围内:=,=,因为s2-s0s1-s0,t1-t00,所以在此时间段内.00( )- ()f xx f xx00()- (- )f xf xxxv甲v乙00stv甲2010-s st tv乙1010-s st tv甲v乙所以正确. 探究二函数模型增长差异的比较探究二函数模型增长差异的比较例例2(1)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x(4,+)时,对三个函数的

6、增长速度进行比较,则下列选项中正确的是()a.f(x)g(x)h(x)b.g(x)f(x)h(x)c.g(x)h(x)f(x)d.f(x)h(x)g(x)(2)四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(t)(其中i1,2,3,4)和时间t(t1)的函数关系式分别是f1(t)=t2, f2(t)=4t, f3(t)=log2t, f4(t)=2t,如果他们一直跑下去,那么最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函数关系式是哪一个?为什么?b解析解析(1)由函数的性质可知,在区间(4,+)内,指数函数g(x)=2x的增长速度最快,对数函数h(x)=log2x的增长速度最慢,所以g(x)f(x)h(x).故选b

7、.(2)最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函数关系式是f4(t)=2t.理由如下:显然四个函数中,指数函数是增长速度最快的,故最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函数关系式是f4(t)=2t.思维突破思维突破指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势的比较跟踪训练跟踪训练2.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表: 关于x呈指数函数变化的变量是 . x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907

8、y2 解析解析根据题中表格观察变量y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图像(图略),可知变量y2关于x呈指数函数变化.1.函数f(x)=x3在区间2,3上的平均变化率为()a.1 b.9 c.19 d.36 课堂检测课堂检测c2.下列函数中,增长速度最快的是()a.y=2 020 x b.y=x2 020c.y=log2 020 x d.y=2 020 x a3.三个变量y1,y2,y3

9、随着变量x的变化情况如下表所示:则关于x呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 , , .x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18519 685177 149y356.106.616.9857.27.4 y3y2y1 解析解析通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数的增长规律可知,变量y3随x的变化增长速度越来越慢,为对数函数变化;y2随x的变化增长速度越来越快,为指数函数变化;y1随x的变化增长速度介于指数函数与对数函数之间,为幂函数变化.4.函数f(x)=2x+3在任意区间上的平均变化率为 . 25.若函数f(x)在任意区间上的平均变化

10、率为负数,则函数f(x)是 函数. 单调递减逻辑推理函数增长速度的比较函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图所示.设两函数的图像的交点为a(x1,y1),b(x2,y2),且x1g(1), f(2)g(2),f(9)g(10),1x12,9x210,x16x2.从图像上可以看出,当x1xx2时, f(x)g(x),f(6)x2时, f(x)g(x), .又g(2 020)g(6), .f(2 020)g(2 020)f(2 020)g(2 020)g(6)f(6)思:由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法:根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图像上升速率的快慢,即随着自变量的增大,图像最“陡”的函数是指数函数,图像趋于平缓的函数是对数函数.(1)若-1x0,则下列不等式中成立的是()a.5-x5x0.5x b.5x0.5x5-xc.5x5-x0.5x d.0.5x5-x5x针对训练针对训练b(2)函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图像如图所示.试根据函数图像的增长差异指出曲线c1,c2分别对应的函数;比较两函数图像的增长差异(以两函数图像的交点