2022高考数学统考一轮复习第三章三角函数解三角形第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式教师文档教案文北师大版

1、第五节第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 授课提示：对应学生用书第 64 页 基础梳理 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)s()：sin()sin cos cos sin (2)s()：sin()sin cos cos sin (3)c()：cos()cos cos sin sin (4)c()：cos()cos cos sin sin (5)t()：tan()tan tan 1tan tan (6)t()：tan()tan tan 1tan tan 2倍角公式 (1)s2：sin 22sin cos (2)c2：cos 2cos2sin2 2co

2、s21 12sin2 (3)t2：tan 22tan 1tan2 1和、差、倍公式的转化 2公式的重要变形 (1)降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22. (2)升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2. (3)公式变形：tan tan tan( )(1tan tan ) (4)辅助角公式：asin xbcos xa2b2sin(x)其中sin ba2b2，cos aa2b2. 四基自测 1(基础点：构造和角公式)已知 sin31517，2，56 ，则 sin 的值为( ) a.817 b.15 3834 c.158 334 d158 334 答案：d 2(基

3、础点：逆用公式)化简 cos 15cos 45 cos 75 sin 45 的值为( ) a.12 b32 c12 d32 答案：a 3(基础点：倍角公式)若 sin 13，则 cos 2_ 答案：79 4(基础点：正切倍角公式)若 是第二象限角，且 sin()35，则 tan 2_ 答案：247 授课提示：对应学生用书第 64 页 考点一 两角和、差及倍角公式的直接应用 挖掘 1 给值(角)求值/ 互动探究 例 1 (1)(2019 高考全国卷)tan 255 ( ) a2 3 b2 3 c2 3 d2 3 解析 tan 255 tan(180 75 )tan 75 tan(45 30 )t

4、an 45 tan 301tan 45 tan 3013313323. 故选 d. 答案 d (2)(2018 高考全国卷)已知 tan5415，则 tan _ 解析 法一：tan54 tan4 tan 11tan 15， 解得 tan 32. 法二：tan54tan4 tan tan（4）4 15111532. 答案 32 (3)已知 sin4 25，则 sin 2_ 解析 sin 2cos22 2sin24 1225211725. 答案 1725 (4)已知 f(x)2cos15x6. 设 ，0，2，f55365，f5561617，求 cos()的值 解析 由已知 f(x)2cos15x6

5、. 又因为 f55365， 所以 2cos1555362cos265， 所以 sin 35. 又因为 f5561617， 所以 2cos1555662cos 1617， 所以 cos 817. 又因为 ，0，2，所以 cos 45，sin 1517， 所以 cos()cos cos sin sin 458173515171385. 挖掘 2 给值求角/ 互动探究 例 2 (1)(2020 河南六市联考)已知 cos 17， cos()1314， 若 02， 则 _ 解析 由 cos 17，02， 得 sin 1cos2 11724 37， 又 02，02， sin()1cos2（） 11314

6、23 314， 由 ()得 cos cos() cos cos()sin sin() 1713144 373 31412， (0，2)，3. 答案 3 (2)已知 ，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_ 解析 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 121711217130， (0，)，02. 又tan 22tan 1tan22131132340， 022， tan(2)1， tan 170， 2，20， 234. 答案 34 破题技法 1.应用三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角和、差

7、的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反” (2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用 (3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等 2三角函数求值有三类 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系 (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解 (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的

8、某一函数值，再求角的范围，确定角 考点二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用 挖掘 1 求值问题/ 互动探究 例 1 (1)计算sin 110 sin 20cos2155 sin2155的值为( ) a12 b.12 c.32 d32 解析 原式sin 70 sin 20cos225 sin225 cos 20 sin 20cos 5012sin 40sin 4012. 答案 b (2)(2020 辽宁省沈阳四校协作体联考)1cos 803sin 80_ 解析 1cos 803sin 80 sin 80 3cos 80sin 80 cos 80 2sin（80 60 ）12sin 160 2s

9、in 2012sin 204. 答案 4 (3)(2020 重庆市三诊)3tan 10 1sin 10_(用数字作答) 解析 原式3sin 10cos 101sin 103sin 10 cos 10sin 10 cos 102sin（10 30 ）12sin 202sin 2012sin 204. 答案 4 挖掘 2 化简问题/ 互动探究 例 2 (1)化简：2cos4x2cos2x122tan（4x）sin2（x4）_ 解析 原式2cos2x（cos2x1）122tan（4x）cos2（4x） 4cos2xsin2x14sin（4x）cos（4x） 1sin22x2sin（22x） cos2

10、2x2cos 2x12cos 2x. 答案 12cos 2x (2)(2020 湖南衡阳质检)已知 mtan（）tan（），若 sin 2()3sin 2，则 m( ) a.12 b34 c.32 d2 解析 设 a， b， 则 2()ab， 2ab， 因为 sin 2()3sin 2，所以 sin(ab)3sin(ab)， 即 sin acosbcos asin b3(sin acos bcos asin b)， 即 2cos a sin bsin acos b，所以 tan a2tan b，所以 mtan atan b2，故选 d. 答案 d 破题技法 1.将 tan()tan tan 1

11、tan tan 整理变形为 tan tan tan()tan tan tan()， 即 tan 60 tan(20 40 )得出 tan 20 tan 40 后代入 2(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 (2)和差角公式变形： sin sin cos()cos cos ， cos sin sin()sin cos ， tan tan tan( ) (1tan tan ) (3)倍角公式变形：降幂公式 拓展 1 sin sin 2 cos 22，1cos 2cos2 2，1cos 2sin22. 提醒：tan tan ，tan tan (或 tan tan )， ta

12、n()(或 tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题 挖掘 3 创新归纳/互动探究 例 3 已知：tan 10 tan 20 tan 20 tan 60 tan 60 tan 10 1，tan 5 tan 10 tan 10 tan 75 tan 75 tan 5 1，tan 20 tan 30 tan 30 tan 40 tan 40 tan 20 1 成立由此得到一个由特殊到一般的推广此推广是什么？并证明 解析 观察到：10 20 60 90 ，5 75 10 90 ，20 30 40 90 ，猜想此推广为：若 90 ，且 ， 都不为 k 180 90 (kz)，则 tan tan tan tan tan tan 1. 证明如下：因为 90 ， 所以 90 ()， 故 tan tan 90 ()sin90 （）cos90 （）cos（）sin（）cos cos sin sin sin cos cos si