3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第2课时等式性质与不等式性质课件新人教A版必修第一册

1、第二章一元二次函数、方程和不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第2课时等式性质与不等式性质情境导学情境导学楼房的采光率有一种简单的计算方法:设楼房的建筑面积为a,窗口的面积和为b,则楼房的采光率为(其中ab0).ba问题:显而易见,如果增加窗口的面积,楼房的采光将变好,那么如何用不等式来表示这个事实呢?(不妨设增加的窗口面积为m,其中m0)答案答案.bmaba教材研读1.等式的基本性质等式的基本性质(1)如果a=b,那么.(2)如果a=b,b=c,那么.(3)如果a=b,那么ac=bc.(4)如果a=b,那么ac=bc.(5)如果a=b,c0,那么=.acbcb=a

2、a=c2.不等式的性质不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性abba可逆2传递性ab,bcac不可逆3可加性aba+cb+c可逆4可乘性 acbcc的符号 acbc5同向可加性 a+cb+d同向abc0 abc0 abcd 性质别名性质内容注意6同向同正可乘性acbd同向7可乘方性ab0anbn(nn,n2)同正ab0cd0 思考1:如果ab,cd,那么a-cb-d成立吗?提示提示不一定,但a-db-c成立.思考2:如果ab,cd,那么acbd成立吗?提示提示不一定,但当ab0,cd0时,一定成立.探究一利用不等式的性质判断命题的真假探究一利用不等式的性质判断命题的真假例例1(1)下列命题为

3、真命题的是()a.若a2b2,则abb.若,则abc,则abd.若,则ab(2)(多选)若|b|b.ab1a1bab1a1bc.a+bb3dcd解析解析(1)a为假命题,例如(-3)222,但-3-,但2-3;c为假命题,例如当c=-2,a=-3,b=2时,有acbc,但ab.(2)由0可得ba0,|a|b|,即a、b中的不等式均不成立;a+b0,则a+bb3成立.故选cd.12131a1b跟踪训练跟踪训练1.如果a,b,c满足cba,且acacb.c(b-a)0c.cb2ab2d.ac(a-c)0解析解析由于ac0,且cb0,c0,b的符号不确定,当b为0时,不等式cb2b0,cd0,e.2

4、( - )ea c2( - )eb d证明证明cd-d0.又ab0,a-cb-d,(a-c)2(b-d)2,不等式两边同乘,得.又e.221( - ) ( - )a cb d21( - )a c21( - )b d2( - )ea c2( - )eb d思维突破思维突破利用不等式的性质证明不等式时应注意的事项(1)解决此类问题时一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活、准确地应用.(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.跟踪训练跟踪训练2.已知ab0,cd0,求证:.3ad3bc证明证明因为c

5、d-d0,所以0-b0,所以-0.所以,即-,两边同乘-1,得.1c1dadbc3-ad3-bc3ad3bc3ad3bc探究三利用不等式的性质求范围探究三利用不等式的性质求范围例例3已知1a4,2b8,试求2a+3b与a-b的取值范围.解析解析1a4,2b8,22a8,63b24,82a+3b32.2b8,-8-b-2.又1a4,-7a-b2.故2a+3b的取值范围是82a+3b32,a-b的取值范围是-7a-b2.易错点拨易错点拨利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相

6、减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,那么就有可能扩大其取值范围.变式训练变式训练3.(1)(变条件)若本例条件变为-3a2,-4b-3,试求2a+3b与a-b的取值范围;(2)(变设问)若本例条件不变,求的取值范围;(3)(变条件、变结论)若本例条件变为1a+b4,2a-b8,试求3a+b的取值范围.ab解析解析(1)-3a2,-4b-3,-62a4,-123b-9,-182a+3b-5.3-b4,0a-b6.故2a+3b的取值范围是-182a+3b-5,a-b的取值范围是0a-b6.(2)2b8,又1a4,1a4,即2.181b12181b1218ab故的取值范围是

7、2.(3)设存在m、n,满足3a+b=m(a+b)+n(a-b),则解得3a+b=2(a+b)+1(a-b),1a+b4,22(a+b)8,又2a-b8,ab18ab3,-1,mnm n2,1.mn43a+b16.故3a+b的取值范围是43a+b16.课堂检测课堂检测1.若-11,则下列各式中恒成立的是()a.-2-0b.-2-1c.-1-0d.-1-1解析解析由-11,得-1-1,-2-2,但,故-2-0,bb-b-ab.a-b-abc.a-bb-ad.ab-a-b解析解析由a+b0知,a-b,-ab0.又b0,a-bb-a.c3.设a,br,若a+|b|0b.a3+b30c.a2-b20d

8、.a+b0解析解析 不妨取a=-2,b=1,则a-b0,a3+b30,排除a,b,c,故选d.d4.若8x10,2y4,则的取值范围是.xy解析解析2y4,.又8x10,20,求证:.abbcdd证明证明因为bc-ad0,所以adbc,因为bd0,所以,所以+1+1,所以.abcdabcdabbcdd数学运算等价转化法比较大小设p=+,q=+(a-5),判断p,q的大小关系.素养探究:比较两个实数的大小时,如果直接用作差法或作商法比较大小比较困难,或无从下手,那么可以考虑利用不等式的性质转化为利于比较大小的数后再进行比较,过程中体现数学运算核心素养.6a 7a5a 8a 素养演练素养演练解析解析p2=2a+13+2,q2=2a+13+2,因为(a+6)(a+7)-(a+5)(a+8)=a2+13a+42-(a2+13a+40)=20,所以,所以p2q2,所以pq.(6)(7)aa(5)(8)aa(6)(7)aa(5)(8)aa针对训练针对训练