2022届高考数学统考一轮复习第四章平面向量与复数第三节平面向量的综合应用课时规范练文含解析北师大版

1、第四章第四章平面向量与复数平面向量与复数第三节平面向量的综合应用课时规范练a 组基础对点练1在abc 中，(bcba)ac|ac|2，则abc 的形状一定是()a等边三角形b等腰三角形c直角三角形d等腰直角三角形解析：由(bcba)ac|ac|2，得ac(bcbaac)0，即ac(bcbaca)0，2acba0，acba，a90.又根据已知条件不能得到|ab|ac|，故abc 一定是直角三角形答案：c2 过抛物线 y22px(p0)的焦点 f 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 a， 与抛物线的准线的交点为 b，点 a 在抛物线的准线上的射影为 c，若affb，babc48，则抛物线的方程

2、为()ay28xby24xcy216xdy24 2x解析：如图所示，由affb，得 f 为线段 ab 的中点，|af|ac|，abc30，由babc48，得|bc|4 3.则|ac|4，由中位线的性质，有 p12|ac|2，故抛物线的方程为 y24x.故选 b.答案：b3已知 o 是平面上的一定点，a，b，c 是平面上不共线的三个动点，若动点 p 满足opoaab|ab|cos bac|ac|cos c，(0，)，则动点 p 的轨迹一定通过abc 的()a重心b内心c外心d垂心解析：由条件，得apab|ab|cos bac|ac|cos c，从而apbcabbc|ab|cos bacbc|ac

3、|cos c(|bc|bc|)0，所以apbc，则动点 p 的轨迹一定通过abc 的垂心答案：d4定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的 a(m，n)，b(p，q)，令 abmqnp，下面说法错误的是()a若 a 与 b 共线，则 ab0babbac对任意的r，有(a)b(ab)d(ab)2(ab)2a2b2解析：若 a 与 b 共线，则有 abmqnp0，故 a 正确；因为 bapnqm，而 abmqnp，所以有 abba，故 b 项错误；(a)bmqnp，(ab)(mqnp)，(a)b(ab)，故 c 正确；(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpqn)2(p2q2)(m2n2)，a

4、2b2(p2q2)(m2n2)，故 d 正确答案：b5在四边形 abcd 中，ac(1，2)，bd(4，2)，则该四边形的面积为_解析：依题意得acbd1(4)220，所以acbd，所以四边形 abcd 的面积为12|ac|bd|12 5 205.答案：56(2020太原质检)设 g 为abc 的重心，且 sin agasin bgbsin cgc0，则角 b 的大小为_解析：g 是abc 的重心，gagbgc0，ga(gbgc)，将其代入 sin agasin bgbsin cgc0，得(sin bsin a)gb(sin csin a)gc0.又gb，gc不共线，sin bsin a0，s

5、in csin a0.则 sin bsin asin c.根据正弦定理知，bac，abc 是等边三角形，则 b60.答案：607.如图，a 是半径为 5 的圆 c 上的一个定点，单位向量ab在 a 点处与圆 c 相切，点 p 是圆 c上的一个动点，且点 p 与点 a 不重合，则apab的取值范围是_解析：如图所示，以 ab 所在直线为 x 轴，ac 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系设点 p(x，y)，b(1，0)，a(0，0)，则ab(1，0)，ap(x，y)，所以apab(x，y)(1，0)x.因为点 p 在圆 x2(y5)225 上，所以5x5，即5apab5.答案：5，58已知抛物

6、线 c：x24y 的焦点为 f，m 是抛物线 c 上一点，若 fm 的延长线交 x 轴的正半轴于点 n，交抛物线 c 的准线 l 于点 t，且fmmn，则|tn|_解析：画出图形如图所示由题意得抛物线的焦点 f(0，1)，准线为 y1.设抛物线的准线与 y 轴的交点为 e，过 m 作准线的垂线，垂足为 q，交 x 轴于点 p.由题意得npmnof，又fmmn，即 m 为 fn 的中点，|mp|12|of|12，|op|412 2，|mq|12132，|on|2|op|2 2，|mf|mn|32.又|tm|tf|tn|fm|tn|2|fm|mq|fe|，即|tn|32|tn|332234，解得|

7、tn|3.答案：39已知 a，b，c 是abc 的内角，a，b，c 分别是其对边，向量 m( 3，cos a1)，n(sina，1)，mn.(1)求角 a 的大小；(2)若 a2，cos b33，求 b 的值解析：(1)mn，mn 3sin a(cos a1)(1)0， 3sin acos a1，sina6 12.0a，6a656，a66，a3.(2)在abc 中，a3，a2，cos b33，sin b 1cos2b11363.由正弦定理知asin absin b，basin bsin a263324 23.b 组素养提升练10记 m 的最大值和最小值分别为 mmax和 mmin.若平面向量

8、a，b，c 满足|a|b|abc(a2b2c)2，则()a|ac|max3 72b|ac|max3 72c|ac|min3 72d|ac|min3 72解析：由已知可得 ab|a|b|cos 2，cos 12，3，建立平面直角坐标系，aoa(2，0)，bob(1， 3)，coc(x，y)，由 c(a2b2c)2，可得(x，y)(42x，2 32y)2，即 4x2x22 3y2y22，化简得 c 点轨迹为(x1)2y32234，则|ac|（x2）2y2，转化为圆上点与(2，0)的距离|ac|max12322323 72.答案：a11.如图所示，在abc 中，addb，点 f 在线段 cd 上，设

9、aba，acb，afxayb，则1x4y1的最小值为()a62 2b6 3c64 2d32 2解析：由题意知afxayb2xadyac，因为 c，f，d 三点共线，所以 2xy1，即 y12x.由题图可知 x0 且 x1.所以1x4y11x21xx1xx2.令 f(x)x1xx2，则 f(x)x22x1（xx2）2，令 f(x)0，得 x 21 或 x 21(舍)当 0 x 21 时，f(x)0，当 x 21 且 x1 时，f(x)0.所 以 当 x 2 1 时 ， f(x) 取 得 极 小 值 ， 亦 为 最 小 值 ， 最 小 值 为 f(2 1) 2（ 21）（ 21）232 2.答案：d12如图所示，半圆的直径 ab6，o 为圆心，c 为半圆上不同于 a，b 的任意一点，若 p 为半径 oc 上的动点，则(papb)pc的最小值为_答案：9213(2020德州一模)在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b，sin b)，且 mn35.(1)求 sin a 的值；(2)若 a4 2，b5，求角 b 的大小及向量ba在bc方向上的投影解析：(1)由 mn35，得cos(ab)cos bsin(ab)sin b35，所以 cos a35.因为 0a，所以 sin a1cos