2010年湖北省高考数学试卷(理科)及答案

1、2010年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（ 5分）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，贝U表示复数严；的点 1+1是（ ）F JL.13r1丨1 1i.0111 ； ?1G八亠八HA. E B. FC. G D. H2 22 （ （5分）已知 ABC和点M满足忙m I.若存在实数m使得I .v-i成立，则m=（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001, 002，600采用系统抽样 方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为 003.这600名学生分住 在三个营区，从001到300在第

2、I营区，从301到495住在第U营区，从496分）设集合上心y）号吒严,B= （x，y） |y=3x，则An B的子集的个数是（）A. 4 B. 3C. 2 D. 13. (5 分)在厶 ABC中，a=15，b=10，A=60,则 cosB=()A._B.2/2C.-D.33334. （5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记硬币正面向上”为事件A，A.骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是（到600在第川营区，三个营区被抽中的人数依次为（A. 26，16，8，B. 25，17，8 C. 25，16，9 D. 24，17，97. （5分）如图，在半径为r的圆内

3、作内接正六边形，再作正六边形的内切圆， 又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个圆的面积C. 4 n 彳 D. 6 n r甲、8. （5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动， 每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A. 152 B. 126 C. 90 D. 549. （5分）若直线y=x+b与曲线-，有公共点，则b的取值范围是（）A. - ， B. 1：，3 C. - 1,丨丨:D. 1- 3 10. （5分）记实数x1, x2，

4、-x中的最大数为 maxx1, X2，幻，最小数为minx1,X2,X .已知 ABC的三边边长为a、b、c（aw b0，b0，称.为 a，a-Fbb的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a CB=bO为AB中点，以AB为直径做半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD, AD, BD过点C作0D的垂线，垂足为E.贝U图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，g ( x)三、解答题（共6小题，满分75分）16. （12 分）已知函数 f （x） =cos （斗+x） cos （斗-x），（I ）求函数f （x）的最小正周期;（U）求函数h （x） =

5、f （x）- g （x）的最大值，并求使h （x）取得最大值的x 的集合.17. （12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需 要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C(x)二J匚(0x 10),若不建隔热层，每年能源 JL消耗费用为8万元设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(I )求k的值及f (x)的表达式.(U)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小，并求最小值.18. (12分)如图，在四面体 ABOC中，

6、OC丄OA, OC丄OB,Z AOB=120,且OA=OB=OC=1(I)设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ丄OA，并计算二的值； AQ(U)求二面角O- AC- B的平面角的余弦值.19. (12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F( 1，0)的距离减 去它到y轴距离的差都是1.(I )求曲线C的方程；(U)是否存在正数 m，对于过点M (m，0)且与曲线C有两个交点A，B的 任一直线，都有.-I 0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理 由.1 3(1+)20. (13 分)已知数列an满足：_ ，anan+1 1)，数列bn满足：bn=an+12- an2 (n

7、 1 ).(I )求数列an， bn的通项公式(U)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.21. (14分)已知函数f (x) =a+c (a0)的图象在点(1, f (1)处的切 线方程为y=x- 1.1)用 a 表示出 b，c；(2)若f (x) Inx在1, +x)上恒成立，求a的取值范围.2010年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题（共10小题，每小题5分，满分50 分）Z表示复数Z,则表1.（5分）（2010?湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点A. E B. FC. G D. H【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和 分母同乘

8、以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点.【解答】解：观察图形可知z=3+i，亠 =2_i，1+114i即对应点H （2，- 1 ）， 故选D.2 22. （5 分）（2010?湖北）设集合，B= （x, y） | y=3x，则An b的子集的个数是（）A. 4 B. 3C. 2 D. 12 2【分析】由题意集合（X，y） 1 y=3x，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断 An b的子集的个数.2 2【解答】解：集合心民 刚宁+二1, 十二 为椭圆和指数函数y=3x图象，415如图，可知其有两个不同交点，记为 Ai、A2,则An B的子集应为? Ai , A2 ,

9、 Ai, A2共四种, 故选A.3. （5 分）（2010?湖北）在厶 ABC中，a=15, b=10, A=60,则 cosB=（）A. - B.C -D.3333【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定/ B的范围,进而利用sin2B+cos?B=1求解.【解答】解：根据正弦定理 可得,sinA sine15_ 10sin60esinB解得 z.l -,又bv a, Bv A, 故 B 为锐角,cosB=Vl - gin2B故选D.4. （5分）（2010?湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记 硬币正 面向上”为事件A,骰子向上的点数是3”为事件B,则事件

10、A, B中至少有一件 发生的概率是（ ）A.B. C D.-122124【分析】根据题意，事件A, B中至少有一件发生”与事件A、B 一个都不发生” 互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B）,进而可得 由对立事件的概率计算，可得答案.【解答】解：根据题意，事件A, B中至少有一件发生”与 事件A、B 一个都不 发生”互为对立事件，11、_5由古典概型的计算方法，可得 P （A）P( B)T，则P （阳）=（1诗）（诽）唱,12则事件A, B中至少有一件发生”的概率为5.7121217故选C.5. （5分）（2010?湖北）已知 ABC和点 M 满足11 1 W.若存在实数 m

11、使得丨二 成立，则m=（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【分析】解题时应注意到则MABC的重心.【解答】解：由-I J -知，点MABC的重心，设点D为底边BC的中占八、）9 1 1 则酬电AD宅x才伽+虻）卡（肛+AC）,所以有I1 I ./ -；，故m=3,故选：B.6. （5分）（2010?湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001, 002,600 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495住在第U营区，从496到600在第川营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A. 26，

12、16，8，B. 25，17，8 C. 25，16，9 D. 24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔.【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在 001至V 300中有25人，在301至495号中共有17人，贝U 496到600中有8人.故选B7. （5分）（2010?湖北）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边 形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形， 如此无限继续下去，设Sn为前n个圆的面积之和，则Sn=（）A.

13、 2nB. =n C. 4/tD. 6n?【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为兀/，兀/，舊兀，由此可以求出则liID Sn的值.【解答】解：依题意分析可知, 图形中内切圆半径分别为：r， r?cos30 (r?cos30 ) cos30, (r?cos30，cos30)cos30，即眄3严沁即亍亍-Tr，则面积依次为：J 416643lim Sn= lim兀 r +石斗口异十）2=Kr X limn* 001 ) = JT1=47lr故选c.8. （5分）（2010?湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊 5名同学参加上海世博会志 愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项

14、工作至少 有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作， 则不同安排方案的种数是（）A. 152 B. 126 C. 90 D. 54【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论， 甲乙一起参加除 了开车的三项工作之一，甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计 算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案.【解答】解：根据题意，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31x A33=18 种；甲乙不同时参加一项工作，进而又分为 2种小情况；1 丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32X C32X A?2=3X2X 3X2=36种；

15、2甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32X C31X C21X A22=72种； 由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B.9. （5分）（2010?湖北）若直线y=x+b与曲线，有公共点，贝U b的 取值范围是（）A. 1 ： - : B. 1:, 3 C. - 1,1+- : D. J : -，3【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x-2） 2+ （y- 3） 2=4 （ K y3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即 可得出参数b的范围.【解答】解：曲线方程可化简为（x- 2） 2+ （y-3） 2=4 （ Ky3）

16、，即表示圆心为（2, 3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2, 3）到直线y=x+b距离等于2，即.解得L 1； 或1:,V2因为是下半圆故可知1+22 （舍），故b=l - 22当直线过（0，3）时，解得b=3，故 L - 22k 3，故选D.10. （5分）（2010?湖北）记实数xi, X2, !中的最大数为 最小数为minxi, x2,X .已知 ABC的三边边长为a、b, 土,C义它的倾斜度为t=max，bb?，?mi n時，abmaxxi， x2，卫，b、c (a b c)，定x，贝U “t=1是 ABC为等边三角形”的（）A.充分但不必

17、要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件【分析】观察两条件的互推性即可求解.【解答】 解：若 ABC为等边三角形时，即a=b=c ,则 ffiasIt土二 1 二!上* 三贝9 t=1;b c ab ca假设 ABC为等腰三角形，如a=2, b=2, c=3时，Mrr呂b g、3- ra b c ! 2则“ 此时t=1仍成立，但 ABC不为等边三角形，所以“t=1是 ABC为等边三角形 的必要而不充分的条件.故选B.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（ 5分）（2010?湖北）在（x+Q2的展开式中，系数为有理数的项共有6项.【分析】利用二项展开

18、式的通项公式求出展开式的第叶1项，系数为有理数，r必为4的倍数.【解答】 解：二项式展开式的通项公式为 T田弍気严气皈歹）啦族换）7_吩（0刻要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0， 4, 8，12，16, 20共6种，故系数为有理数的项共有6项.故答案为6（7l，则z的最大值为 5.【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x- y,再利用z的几何意义求最值, 只需求出直线z=2x- y过可行域内的点A时，从而得到z=2x- y的最大值即可.【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x- z，当直线经过A （2，- 1）时， z取到最大值，Zmax=5.13.

19、（5分）（2010?湖北）圆柱形容器内部盛有高度为 8cm的水，若放入三个相 同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所 示），则球的半径是 4 cm.E的分布列如表，已知E的期望90.310y【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解 即可.【解答】 解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3 X 丄丁 | - 丁 - I J .注，解得 r=4.故答案为：414. （5分）（2010?湖北）某射手射击所得环数E E =8,则y的值为 0.4.E78Px0.1量的

20、期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的 y的值.【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1,7x+8 X 0.1+9 X 0.3+10 X y=8.9解得y=0.4.故答案为：0.4.15. （5分）（2010?湖北）设a0，b0,称一为a，b的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a CB=b, O为AB中点，以AB为直径做半圆.过点 C作AB的垂线交半圆于D.连接OD, AD, BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则 图中线段OD的长度是a, b的算术平均数，线段 CD的长度是a, b的几何平 均数，线段 DE的长度是a, b的调和平均数.【分析】在直角

21、三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD=AC?CB变形两 边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与0C之间的关系，表 示出0C的长度，根据直角三角形OCE和直角三角形CDE之间边的关系得到CE 的长，得到0E进而ED,得到结果.【解答】解：在RtAADB中DC为高，则由射影定理可得 CD2=AC?CB即CD长度为a，b的几何平均数，将 0C=H I | 二代入 OD?CE=OC?CD2-r2可得. ED=OD- OE-，a+b DE的长度为a，b的调和平均数.故选CD; DE三、解答题(共6小题，满分75分)16. (12 分)(2010?湖北)已知函数 f (x) =cos

22、 (芈 +x) cos (工-x)，g (x) si n2x-丄24(I )求函数f (x)的最小正周期；(U )求函数h (x) =f (x)- g (x)的最大值，并求使h (x)取得最大值的x 的集合.【分析】(I )对于求函数f (x)的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两 角差的余弦公式展开后，再利用降幕公式化成一个角一个函数的形式后，用公式Tr-周期即可求出.(II )对于函数h (x) =f (X)- g (x),把f (x)与g (x)解析式代入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个函数为h (x)赳Leos (2xf-),由于定24义域为全体实数R,故易知最值为二，而此

23、时角2x 应为x轴正半轴的所有24角的取值，即2x+L=2kn, k乙由此确定角x的取值几何即可.4【解答】解：(1)(x) =cos(+x) cos( - x)七 cosx-sisinx) ( cosx+sinx)2 2cos2x -4 f (x)的最小正周期为8衣兀=nn213 - 3cos2x=1cos2x-丄,84 3 . 2 _l+cas2x 丁眺n(2) h(x) =f (x)- g( x)丄sin2xcos (2x+)4一，k Z时，h (x)取得最大值J2(cos cox2x- sin sin2x)= 4d当 2x+-=2kn， k Z， 即卩 x=k n-4cos2xsin2

24、x) =，且此时x取值集合为x| x=k TVv,k Z17. (12分)(2010?湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的 屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位：万元) 与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x) 一 (0 x 10)，若不建隔 热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源 消耗费用之和.(I )求k的值及f (x)的表达式.(I)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小，并求最小值.【分析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用

25、 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单 位：cm)满足关系：C(x)=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.我们可得C (0) =8,得k=40,进而得到三黑.建造费用为C1 (x) =6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x),我 们不难得到f (x)的表达式.(II)由(1)中所求的f (X)的表达式，我们利用导数法，求出函数 f (X)的单 调性，然后根据函数单调性易求出总费用 f (X)的最小值.【解答】解：(I)设隔热层厚度为Xcm,由题设，每年能源消耗费用为 3x1-5再由 C (0) =8,得 k=40.403x1-5而建造费用为Ci (x) =6x,最后

26、得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(s)二2兀仗)+5 仗)二2Q芬&尸豊+冈(C k 0,故 x=5 是 f (x)的最 小值点，对应的最小值为 十 二匸-二J i.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.18.( 12 分)(2010?湖北)如图，在四面体 ABOC中,0C丄 OA, 0C丄 OB, / AOB=120, 且 0A=0B=0C=1(I)设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ丄0A,并计算二的值；(n)求二面角O-AC- B的平面角的余弦值.【分析】解法一：(1)要计算 二的值，我们可在平面 OAB内作ON丄OA交AB于N，连接NC.则根据已知条件

27、结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ则易求出塑的值.(2)要求二面角O- AC- B的平面角的余弦值，我们可连接 PN, PO,根据三垂 线定理，易得/ OPN为二面角O-AC- B的平面角，然后解三角形 OPN得到二 面角O- AC- B的平面角的余弦值.解法二：取O为坐标原点，分别以OA, OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间 直角坐标系O-xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进 行求解，(1)由A、Q、B三点共线，我们可设 瓦八正(入 (山1)，然后根 据已知条件，构造关于 入的方程，解方程即可得到 入的值，即丄的值；AQ(2)要求二面角O-AC- B的

28、平面角的余弦值，我们可以分别求出平面 OAC及 平面ABC的法向量，然后根据求二面角O- AC- B的平面角的余弦值等于两个法 向量夹角余弦的绝对值进行求解.【解答】解：法一：(I )在平面OAB内作ON丄OA交AB于N,连接NC.又OA丄OC,二OA丄平面ONC NC?平面 ONC, OA丄 NC.取Q为AN的中点，贝U PQ/ NC. PQ 丄 OA在等腰 AOB中，/ AOB=120,/ OAB=Z OBA=30在 RtAAON 中，/ OAN=30 ,在厶 ONB中，/ NOB=120 - 9030/ NBO, NB=ON=AQ解: ( n)连接 pn, po,由 OC丄 OA, OC

29、X OB知: OC丄平面 OAB.又ON?平面OAB, OCX ON又由ON丄OA, ON丄平面AOCOP是NP在平面AOC内的射影.在等腰RtACOA中，P为AC的中点, AC丄 OP根据三垂线定理，知: AC丄 NP / OPN为二面角O-AC- B的平面角在等腰 RtA COA中，OC=OA=1 在 RtAAON 中，门.I一一 在 RtA PON中,PN=0P2 +0N2=：V2z, P0 2V15cosZOPN-y6解法二:（I）取O为坐标原点，分别以OA, OC所在的直线为x轴，z轴， 建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）则?. | .:.T P为 AC中点，0* 寺）设冠二k

30、忑（入 （o, D）,扰号，乎，0）.41 二二.-： 1，；,I. 一，?- 1_ ,: 一:.L，瓦，耳=0即寺-寺k二U, kj_.所以存在点Q（i，嚳 0）使得PCXOA且譽.(n )记平面 ABC的法向量为n= (ni , n2, n3),则由7_LCA ,；丄忑，且 丄 I .- _ ：，门-n3-0得3 忑 ，故可取n=(l,五D.耳出+亍门旷又平面0AC的法向量为= (0, 1, 0). C0SV ,匚V5两面角0- AC- B的平面角是锐角，记为9,贝呃二姮19. (12分)(2010?湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F( 1, 0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(I )求曲线C的方程；(n)是否存在正数 m,对于过点M (m, 0)且与曲线C有两个交点A, B的 任一直线，都有 卜V0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【分析】(I)设P (X, y)是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整 理即可.(U)首先由于过点M (m, 0)的直线与开口向右的抛物线有两个交点 A、B, 则设该直线的方程为x=ty+m (包括无斜率的直