孔祥东、王益群_控制工程基础课件第二章

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型控制工程是一门研究“控制论”在工程中应用的科学。 控制器被控对象输入量r输出量y扰动量 n检测元件偏差e反馈量b数学模型数学模型生物系统工程系统经济系统社会系统第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，这是控制工程的基本方法。进行分析、综合，这是控制工程的基本方法。数学模型是描述物理系统的数学表达式。建立数学模型的基本方法：1.机理分析法机理分析法 ：通过分析系统的内部运动规律，求解系统输入量与输出量之

2、间的数学关系。2.系统辨识法系统辨识法 ：利用实验数据建立系统输入量与输出量之间的数学关系。第二章 控制系统的数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数传递函数及基本环节的传递函数2-5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式2-2 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换2-1 控制系统的微分方程及线性化方程控制系统的微分方程及线性化方程2-4 框图及其简化框图及其简化第二章 控制系统的数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 微分方程是根据系统的动力学特性列写出来的反映其动态特性的基本方程，这

3、些方程通常需要用微分式表达，所以称为微分方程。连续系统工程物理系统离散系统传递函数状态空间表达式差分方程脉冲传递函数微分方程第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型v 一、机械系统的微分方程 2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 牛顿第二定律：一物体的加速度，与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向(作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系)。用公式可表示为0iFxm 0iFxm iF式中 作用在物体上的合外力； 物体的加速度； 物体的质量； 物体的惯性力。iFx mxm 0iFxm (2-1)第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1

4、 控制系统的微分方程及线性化方程0iFxm 0iFxm iF 如图2-1a所示的机械平移系统，可应用牛顿第二定律，得出微分方程式(2-2)(dddd22tFkxtxftxm (2-2) 图2-1b为回转运动的机械系统，相应的运动微分方程为22ddddJfkTtt (2-3)图图2-1 机械系统机械系统a)平移系统平移系统b)回转系统回转系统第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程例2-1 机械系统加速度计工作原理如图2-2所示，它用于测量某一运动物体(如车辆、飞机)的加速度。测量时，加速度计的框架固定在待测的运动体上，当运动体作加速运动时，该框架

5、随之作同样的加速运动。0ddd)(d22kytyftxymmatxmkytyftym2222dddddd图图2-2a 加速度计加速度计第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程例2-2 设有如图2-3a所示的齿轮传动链，由电动机M输入的扭矩为 ， 为输出端负载， 为负载扭矩。图中所示的为各齿轮齿数， 、 、 及 、 、 分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。mTLLTiz1J2J123图图2-3 齿轮传动链齿轮传动链a)原始轮系原始轮系 b)等效轮系等效轮系第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程m1

6、 11 1122 22 2343 33 3LTJfTTJfTTJfT(2-4)根据式(2-3)可得如下动力学方程组 式中 1f2f3f 传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数； 1T1zmT齿轮对的反转矩； 2T3T4TLT3z2T对 的反转矩； 1z1T对 的反转矩； 4z3T对 的反转矩； 4T输出端负载对的反转矩，即负载转矩。 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程由齿轮传动的基本关系可知 1122TzzT 1212zz3344TzzT 143212433zzzzzz于是由式(2-4)可得LmTfJzzfJzzfJT333343222221111

7、1 LTzzzzfzzzzfzzfJzzzzJzzJ4321132432122211132432122211 令22311eq123224zzzJJJJzz z称为等效转动惯量；eqJ令22311eq123224zzzffffzz z称为等效阻尼系数； eqf令LTzzzzT4321Leq称为等效输出转矩。 LeqT第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程将上式改为 meq1eq1LeqTJfT则图2-3a所示的传动装置可简化为图2-3b所示的等效齿轮传动 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型v 二、电气系统的微分方程2-1 控制系

8、统的微分方程及线性化方程0iFxm 0iFxm iF 电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律、电磁感应定律等基本物理规律列写。例2-3 无源电路网络 图图2-4 无缘网络无缘网络 如图2-4所示的系统中， 为输入电压， 为输出电压。)(itu)(otu根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有 )()()(d)(1)()()()()()(2o21121oi21tiRtutiRttiCtiRtututititi)82()72()62()52( 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程由式(2-6)得 1o21( )( )( )u tuti tR(2-9)

9、由式(2-7)得 ttiCRtid)(d)(211将式(2-9)代入，得oi1d( )d ( )( )ddu tu ti tCtt(2-10)由式(2-8)得 o2( )( )u ti tR(2-11)将式(2-9)、式(2-10)、式(2-11)代入式(2-5)，得oiooi12d( )( )( )( )d ( )ddu tu tu tu tu tCttRR即 o12i1o1i2d( )d( )( )( )ddutRRu tR CutR Cu ttRt第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程例2-4 有源电路网络 图图2-5 有缘网络有缘网络

10、如图2-5所示系统中， 为输入电压， 为输出电压， 为运算放大器开环放大倍数。 )(otu)(itu0K设运算放大器的反相输入端为A点。因为一般)()(A0otuKtu值很大，又，所以，A点电位0KoA0( )( )0u tutK (2-12) 一般运算放大器的输入阻抗很高，所以 )()(21titi(2-13) 据此，可列出oid( )( )dutu tCRt 即oid( )( )du tCu tt 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程例2-5 电枢控制式直流电动机 如图2-6所示的系统，其中为电动机电枢输入电压；为电动机输出转角；为电枢绕

11、组的电阻；为电枢绕组的电感；为流过电枢绕组的电流；为电动机感应电势；为电动机转矩；为电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量；为电动机及负载折合到电动机轴上的粘性阻尼系数。图图2-6 有缘网络有缘网络根据基尔霍夫定律，有 )(d)(d)()(maaaaitettiLtiRte(2-14) )()(aTtiKtTTK根据磁场对载流线圈的作用定律，有式中 电动机转矩常数。(2-15) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程omed( )( )dtetKt根据电磁感应定律，有(2-16) eK式中 反电势常数。2oo2d( )d( )( )ddttT

12、tfJtt根据牛顿第二定律，有(2-17) 将式(2-15)代入式(2-17)，得2ooa2TTd( )d( )( )ddttJfi tKKtt(2-18) oeid( )( )dtKe tt32oooaaaaTeT i32d( )d( )d( )()()( )dddtttL JL fR JR fK KK e tttt将式(2-16)、式(2-18)代入式(2-14)，得2ooaTeT i2d( )d( )()( )ddattR JR fK KK e ttt电枢电感La通常较小，若忽略不计，系统微分方程可简化为当电枢电感La，电阻Ra均较小，都忽略时，系统微分方程可进一步简化为第二章第二章 控

13、制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程v 三、液压系统的线性化微分方图中，x为阀芯位移输入；y为液压缸活塞位移输出；q L为负载流量；q1、q2分别为液压缸左、右腔的输入、输出流量；pL为负载压差；pS为供油压力；m为负载质量；A为活塞工作面积；d为阀芯直径。图2-7 阀控液压缸 图2-8 q L = f(x, pL)曲线 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程12Lqqqs1202pppppp21sppp21Lppp2Lsppp又若阀口结构完全相同且对称，不考虑阀和缸的泄漏，则，。于是有，因为，于是式(2-1

14、9)变为 所以可以导出LsdLppdxCq(2-20) 由液压流体力学可知1d02pqC A(2-19) 式中 dC阀口流量系数； 0ApdxA0dxA0 阀口过流面积，若为全周矩形开口，有 阀口压力降； 油液密度。 或 ),(LLpxfq 上式称为滑阀的静特性方程，是一个非线性函数，如图2-8所示。 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程设阀的额定工作点参量为 L0p0 x和 则 ),(0L0L0 xpfq(2-21) 将式(2-20)在额定工作点附近展成泰勒(Taylor)级数，有 00LL0LL0LLLL00LL(, )(, )(,)x

15、xx xPpppf pxf pxqf pxxpxp (2-22) 0L0L),(LqxxppxxpfK0L0LLLc),(xxpppxpfK设 ，式(2-22)减去式(2-21)，并舍去高阶项，得线性化流量方程 LcqLpKxKq(2-23) 不考虑泄漏时液压缸流量连续性方程为 tyAqd)(dL(2-24) 不考虑阻尼力等时液压缸力平衡方程为 2L2d ()dyp Amt(2-25) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 将式(2-23)、式(2-24)和式(2-25)联立，消去中间变量，即得系统线性方程 2cq2d ()d()ddK my

16、yAKxAttv线性化的过程中，有以下几点需要注意： 1) 线性化是相对某一额定工作点的，工作点不同，则所得的方程系数也往往不同； 2) 变量的偏差愈小，则线性化精度愈高； 3) 增量方程中可认为其初始条件为零，即广义坐标原点平移到额定工作点处； 4) 线性化只用于没有间断点、折断点的单值函数。 在机械工程中，常用到液压传动及其控制系统，由于典型的液压元件比电气元件更为非线性，在数学描述上更加复杂，为便于分析，往往在一定条件下，将非线性系统进行线性化处理。第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程v 由以上的一些例子，可总结出列写系统微分方程的一般

17、步骤： 1) 将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程；根据物理定律或通过实验等方法得出的物理规律列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化； 2) 将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 控制系统的微分方程及线性化方程v 四、相似系统 数学模型相同的物理系统称为相似系统。在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量。表2-1为质量-弹簧-阻尼机械平移系统、机械回转系统、电气系统和液压系统的相似变量。机械平移系统机械回转系统电气系统液压系统力F转矩T

18、电压U压力p质量m转动惯量J电感L液感LH粘性阻尼系数f粘性阻尼系数f电阻R液阻RH弹簧系数k扭转系数k电容的倒数1/C液容的倒数1/CH线位移y角位移电荷q容积V速度v角速度电流i流量q 相似系统的特点是一种物理系统研究的结论可以推广到其它相似系统中去。利用相似系统的这一特点，可以进行模拟研究，即用一种比较容易实现的系统(如用电气系统)模拟其它较难实现的系统。 表2-1 相似系统的相似变量第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 v 一、拉氏变换及其特性 (一) 拉氏变换的定义 拉氏变换(Laplace Transform)是分析工程控制系统的基本数学方法之

19、一。时间函数f(t)，当t0时，f(t)=0，t0时，f(t)（称原函数）的拉氏变换记为Lf(t)或F(s)（称象函数），且定义为tetfsFtfLstd)()()(0式中s= + j 若式(2-26)的积分收敛于一确定值，则函数 f(t) 的拉氏变换F(s)存在，这时f(t)必须满足(2-26) 1)在任一有限区间内，f(t)分段连续，只有有限个间断点。2)当时间t，f(t)不超过某一指数函数，即满足atMtfe)(式中M、a实常数。 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 例2-6 单位阶跃函数的拉氏变换。0 10 0)( 1ttt单位阶跃函数如右图所示

20、，定义为01f(t)t由拉氏变换的定义式可求得：ssetettLstst1d)( 1)( 100第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 例2-7 单位脉冲函数的拉氏变换。单位脉冲函数如右图所示，定义为0 0 0)(ttt0f(t)t1d)(tt且（t）有如下特性 )0(d)()(fttft由拉氏变换的定义式可求得：1d)()(00tststetettL第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 例2-8 单位斜坡函数的拉氏变换由拉氏变换的定义式可求得：单位脉冲函数如右图所示，定义为0f(t)t0 0 0tttt 2020000

21、11dd)(dsestsetsesetttetLststststst例2-9 指数函数eat的拉氏变换。aseasteteeeLtastasstatat11dd0)(0)(0第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 例2-10 正弦函数sint和余弦函数cost的拉氏变换根据欧拉公式，有 sinjcossinjcosjjee2cosj2sinjjjjeeee则 于是可以利用上面指数函数拉氏变换的结果，得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换。 teeettetLstttstdj2dsinsin0jj022j1j121ssssteeete ttLstttstd2dcos

22、cos0jj0第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 拉氏变换对照表表22第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 1.线性定理 (二）拉氏变换的运算法则 2.延迟定理)()()()()()(221122112211sFksFktfLktfLktfktfkL拉氏变换是一个线性变换，若有常数k1、k2，函数f1(t)、f2(t)，则 (2-28) 证明： 设f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一正实数 T 有 )(e)(sFTtfLTs()000()()ed( )ede( )ed( )ede( )stsTTTsssTsTL f

23、tTf tTtfffF s(2-29) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 3.位移定理 4.相似定理 f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一常数a（实数或复数）有 )()(asFtfeLat证明： )(d)(d)()(0)(0asFtetftetfetfeLtasstatat(2-30) 证明：f(t)的拉氏变换为F(s)，有任意常数a，则 )(1)(asFaatfLd1)(d)()()(00aefteatfatfLasst)(1d)(1)(asFaefaas(2-31) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 5.微

24、分定理 设f(n)(t)表示f(t)的n阶导数，n=1，2， 正整数，f(t)的拉氏变换为F(s)，则 )0()()()1(fssFtfL(2-32) 证明： uvuvvudd则 )0()()0(d)(d)()(d)()(0000)1()1(fssFftetfstsetftfetetftfLstststst可进一步推出f(t)的各阶导数的拉氏变换为 )0()0()()()1(2)2(fsfsFstfL)0()0()0()0()()()1()2()1(21)(nnnnnnfsffsfssFstfL(2-33) (2-34) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变

25、换 6.积分定理 证明： )0(1)(1)d)(1)(1d)(1d)(1dd)(d)()1(00000000 fssFstytfssFsttfesttfestettfttfLttsttststttf(t)的拉氏变换为F(s)，则 )0(1)(d)()1(0fsssFttfLt(2-35) 依次可推导出 )0(1)0(1)(1)d)()2()1(22002fsfssFsttfLtt)0(1)0(1)(1)d)()2(1)1(20 00fsfssFsttfLnntttn)0(1nfs(2-37) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 7.初值定理 证明： 令s

26、，对上式两边取极限 )0()(limd)(lim0)1(fssFtetfssts0 stes时，当0)0()(limfssFs)(lim)0()(lim0tffssFts则由微分定理 )0()(d)(0)1(fssFtetfst设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的初值为 0(0 )lim( )lim( )stff tsF s(2-38) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 8.终值定理 由微分定理 令s0，对上式两边取极限 )0()(d)(0)1(fssFtetfst)0()(limd)(lim00)1(0fssFtetfsststtst

27、sststtftetftetf0)1(00)1(0)1(0d)(limdlim)(d)(lim)0()(lim)(dlim0ftftfttt)(lim)(lim0ssFtfst证明：设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的终值为 )(lim)(lim0ssFtfst(2-39) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 9.象函数的微分性质10.象函数的积分性质sssFttfLd)()(证明：0000)(d)(1d)(dd)(dd)(d)(ttfLtettfetttfsettfstetfssFstsstsssstst因为 对上式两边微分 0d)()

28、(tetfsFst00)(d)(d)()(ddttfLtettftettfsFsstst证明：)(dd)(sFsttfL(2-40) (2-41) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 11.卷积定理则,t令 )()()()(d)()(d)()(d)()(000tftgtgtftgftgfgtfttt则证明：的卷积。和称作积分式中则设)()( )()(d)()(, )()(d)()()()( ; )()(00tgtftgtfgtfsGsFgtfLtgLsGtfLsFtt(2-42) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换

29、 v 二、拉氏反变换及其计算方法1. 拉氏反变换的定义(1)查表法，表22 ；(2)部分分式法。2. 拉氏反变换的计算方法已知F(s)，求时间函数f(t)的拉氏反变换，记作 ，定义为 )()(1tfsFL)()(1tfsFLj 21jjd)(rrstsesF式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。 (2-43) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 用部分分式法将式(2-45)分为各简单分式之和 ，应分三种情况进行讨论： (1)A(s)=0无重根(3)A(s)=0有重根 (

30、2)A(s)=0的根中有共轭复根 F(s)通常可表达为复数s的有理代数式； )()()(011011sAsBasasabsbsbsFnnnnmmmm(2-44) 设s1、s2、s3、sn 为分母的根，则 )()()()()()(21011nnnnnnnnssssssasBaasaasasBsF(2-45) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 (1) A(s)=0无重根时无重根时用(ss1)乘以上式两边，并以s=s1代入式中，得 11211)()()()(kssssssssasNssnn)()()(1212111nnssssssasNk将原式化为部分分式

31、nnnnsskssksskssssssasN221121)()()(2-46) 依次类推可得 )()()()()(21iiniiiniisDsNssssssasNk121( )1( )( )( )( )( )niniiiN sF sF sF sF sD sss(2-47) (2-48) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 tsiiessL11因为 nitsiiisDsNsFLtf11e)()()()(2-49) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型v例2-11651)(2ssssF求的拉氏反变换。 2-2 拉氏变换及反变换 解解 )(sF3

32、2) 3)(2(1651)(212sksksssssssF1k2kttssssLsFLtfsssskssssk23113221ee23221)()(2)3()3)(2(11)2()3)(2(1的部分分式运用式(2-47)求系数、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 2. A(s)=0的根中有共轭复根的根中有共轭复根 通过下面的例子说明通过部分分式求拉氏反变换的方法。 例2-12求象函数) 1(1)(2sssssF的原函数。 1) 1(1)(2212ssksksksssssF(2-50) 23j2123j2112ssss用 ) 1(2ss乘式(2-50)的两

33、边，并令 23j21s，得 2123j2123j2123j21kk第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 21212121kk23232321kk令上式两边实部和虚部分别相等，得，121kk121kk即，11k02kks0s1) 1() 1(02ssssssk解得，为确定系数，用乘方程(2-50)两边，并令，得)(sF22222232121232121111)(sssssssssF的部分分式可求得第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 222223212333232121ss)(sFttsFLtftt23sine3323c

34、ose1)()(5 . 05 . 01其中，则的拉氏反变换为第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 3. A(s)=0有重根的情况有重根的情况 NNNnsskssksskssksskssssssasBsF2211111211121)()()()()()()(1111)(dd)!1(1)(dd!21)(dd)(1)1()1(112213112111sssssssssssFsksssFsksssFsksssFk(2-51) 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 v例2-13求) 3()2(1)(3ssssF的拉氏反变换。 解

35、解1331112232( )(2)(2)23kkkkkF ssssss根据式(2-51)求得 21) 3(1)2)(22311ssssssFk31222222dd1(23)1( )(2)dd(3)4(3)sssskF s sss s sss2231322221 d1 d13( )(2)2!2(3)8ddsskF s ss sss 200311( )24(2) (3)sskF s sss333311( )(3)3(2)sskF s ss s第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 )(sF33/124/128/3)2(4/1)2(2/1)(23ssssssF的部

36、分分式为)(sF241e31e2341e31241e83e41e41)()(322322221ttttttttttsFLtf分别查表可求得的拉氏反变换为第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-2 拉氏变换及反变换 v 三、用拉氏变换解常系数线性微分方程用拉氏变换解微分方程的步骤： 1) 对微分方程进行拉氏变换，将其转换为拉氏域内的代数方程； 2) 求出特征方程的解和解对应的留数，并对化简后的部分分式和进行拉氏反变换，从而求出微分方程的时间解。例例 解方程 其中， 2)0(, 2)0(yy解解 将方程两边取拉氏变换，得 ssYyssYysysYs6)(6)0()(5)0()0()(

37、234251) 3)(2(6122)(2sssssssssYtteety32451)(6)(6)(5)(tytyty 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数v一、传递函数的概念 线性定常系统的传递函数(Transfer Function)：当初始条件为零时，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统输入为r(t)，输出为c(t)，描述系统的常微分方程的一般形式为 11101011dddd( )( )( )( )( )( )ddddnnmmnnmmnnmmac tac ta c tbr tbr tb r ttttt系统的传递函数G(s

38、)为 110110( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbC sN sG sR sD sa sasa(2-54)当初始条件为零时，对上式两边进行拉氏变换，得 111010( )( )( )( )( )( )nnmmnnmma s C sasC sa C sb s R sbsR sb R s(2-53)第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数1.描述系统本身的固有特性，与输入量/输出量无关；2.不同的物理系统，若其动态特性相同，可用同一传递函数描述。 传递函数分母多项式中 s 的最高幂数代表了系统的阶数，如 s的最高幂数为n，则该系

39、统为 n 阶系统。 传递函数的特性：第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型对于传递函数 01110111)(asasasabsbsbsbsGnnnnmmmm 对分子分母因式分解可以得到)()()()()(212101110111nmnmnnnnmmmmpspspszszszsabasasasabsbsbsbsG 其中， 为传递函数的 零点， 为传递函数的极点。可见传递函数 有m个零点，n个极点和一个实常数倍数 。这些零点和极点中当然可以有重零点和重极点。mzzz , , ,21)(sGnppp , , ,21)(sGnmab / 零点和极点是控制理论中重要的概念，它们在控制系统的分

40、析与设计中有着重要的作用。v 二、传递函数的零点和极点2-3 传递函数及基本环节的传递函数第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数v三、基本环节(又称典型环节)的传递函数 几点重要说明：根据元件的功能来研究元件，如测量、放大、执行元件等，主要用于研究系统的结构、组成、控制原理2. 按照运动方程式将元件或系统划分为若干环节，主要用于建立系统的数学模型，研究系统的特性一个系统可看作由一些基本环节组成，能组成独立的运动方程式的部分便称为环节环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，而方程的系数仅与该环节元件的参数有关，与其它环节无关，

41、有时称为“单向元件”环节。第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数1、比例环节（又称放大环节） p1p0F1111112011)()()()()()()()()(AsPsFsGAsPsFAtptFApAtptF 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 经拉氏变换后 故比例环节的传递函数为 如一个理想的电子放大器的放大系数或增益、齿轮传动的传动比均为比例环节。 ( )( )c tKr t( )( )C sKR s( )( )( )C sG sKR s(2-55)第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数

42、2、惯性环节（又称非周期环节）ui(t) R uo(t) i(t)C11)()()(RCssUsUsGio 在这类环节中，因含有储能元件，故对突变形式的输入信号，不能立即输送出去。其微分方程为 对上式进行拉氏变换，求得惯性环节的传递函数为 式中K放大系数； T时间常数。 1)(TsKsG( )( )( )Tc tc tKr t1)(TsKsG第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数3、微分环节 xQ1Q2sAsXsQsGtxAtQ11)()()()()(输出正比于输入的微分的环节，称微分环节，即 其传递函数为 微分时间常数 ( )( )c tr t

43、( )( )( )C sG ssR s第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数4、积分环节 qq2xAssQsXsGttqAtx1)()()(d)(1)(输出正比于输入的积分的环节称积分环节，即 其传递函数为 T 积分时间常数 1( )( )dc tr ttT( )1( )( )C sG sR sTs第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数5、振荡环节在这类环节含有两种储能元件，在信号传递过程中，因能量的的转换而使其输出带有振荡的性质，其微分方程为 对上式进行拉氏变换，求得振荡环节的传递函数为式中n无阻

44、尼固有频率 阻尼比 ( )( )( )( )mx tfx tkx tF t222222( )1111( )( )221nnnnnX sG sF skkmsfskssssmkf2mkn第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数6、一阶微分环节 7、二阶微分环节 描述该环节输出、输入间的微分方程具有如下形式 其传递函数为 ( )( )( )c tr tr t( )( )1( )C sG ssR s描述该环节输出、输入间的微分方程具有如下形式 其传递函数为 2( )( )2( )( )c tr tr tr t2 2( )( )21( )C sG sssR

45、s第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-3 传递函数及基本环节的传递函数8、延时环节 X(t)X(t-)该环节的输出滞后输入时间后不失真地复现输入，其数学描述式为 其传递函数为( )()c tr t( )( )e( )sC sG sR s-第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-4 方框图及其简化 框图(Block Diagram)是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，又称为方块图。 系统运动规律系统的线性化微分方程求解微分方程系统的传递函数系统方块图求解拉氏反变换求解拉氏反变换第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-4 方框图及其简化v 一、方

46、框图单元、比较点和引出点引出点: 引出点表示信号引出和测量的位置，同一位置引出的几个信号，在大小和性质上完全一样。 方块图单元G(s)输入R(s)输出X(s)比较点:比较点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或 相减的元件，或称比较器。箭头上的“+”或“”表示 信号相加或相减，相加减的量应具有相同的量纲。 输入R(s)输出E(s) = R(s) - B(s)输入B(s)C(s)C(s)第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-4 方框图及其简化v 二、系统构成方式及运算法则 系统各环节之间一般有三种基本连接方式，串联、并联和反馈连接，方块图运算法则是求取方块图不同连接方式下等效传递

47、函数的方法。1、串联连接 12( )( )( )( )( )( )( )( )( )C sC sX sG sG s GsR sX sR s 由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它的总传递函数等于各环节传递函数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传递函数为 niisGsG1)()(2-56)第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-4 方框图及其简化2、并联连接 并联环节所构成的总传递函数，等于各并联环节传递函数之和/差。niisGsG1)()(C1(s)G(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s) C(s)C2(s)12( )( )( )C sC sCs1212(

48、 )( )( )( )( )( )( )( )C sCsC sG sG sG sR sR s第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-4 方框图及其简化3、反馈连接 反馈，是将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路回输到输入端，又重新输入到系统中去。 即输出对输入有影响。反馈与输入相加的称为“正反馈”，与输入相减的称为“负反馈”。 R(s)E(s)B(s)G(s)H(s)C(s)( )( ) ( )C sE s G s( )( )( ) ( )EsRsCs H s( )( )( )B sC s H s( )1( )1( )( )E sR sG s H s( )( )( )1( )( )C sG sR sG s H s第二章第