工程电磁场-基本概念回顾及习题课

1、1工程电磁场基本概念回顾及习题课工程电磁场基本概念回顾及习题课第第1章章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础（1）等值面；）等值面；（2）矢量线；）矢量线；（3）方向倒数与梯度的关系；）方向倒数与梯度的关系；（4）无源场或无散场；）无源场或无散场；（5）无旋场）无旋场（1）标量场的等值面）标量场的等值面 设标量场设标量场u (M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的任何一点任何一点 M0，可以作出这样的一个曲面，可以作出这样的一个曲面S，在它上面每一点处，在它上面每一点处，函数函数u (M)的值都等于的值都等于u (M0)，即在曲面，即在曲面S 上，函

2、数上，函数u (M)保持着保持着同一同一 数数 值值 u (M0)，这样的曲面，这样的曲面S叫做标量场叫做标量场u 的的 等值面。等值等值面。等值面的方程为面的方程为( , , )u x y zC式中，式中，为常数。给定为常数。给定 的一系列不同的数值，可以得到一系的一系列不同的数值，可以得到一系列不同的等值面，称为等值面族。列不同的等值面，称为等值面族。 电位场是一个标量场，由电位相同的点所组成的等值面叫做电位场是一个标量场，由电位相同的点所组成的等值面叫做等电位面。等电位面。（2）矢量线）矢量线 所谓矢量线，是指其上每一点处曲线的切线方向和该点所谓矢量线，是指其上每一点处曲线的切线方向和该

3、点的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方向。向。 矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程又可以用矢量式表示为方程又可以用矢量式表示为 d lA0直角坐标系下直角坐标系下矢量线方程矢量线方程在电磁场中，电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。在电磁场中，电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。习题习题1-4（3）方向倒数与梯度的关系）方向倒数与梯度的关系 如果在标量场中任一点如果在标量场中任一点 处，存在矢量处，存在矢量，其方向为场函，其方向为场函数数u (x, y, z）在）在

4、点处变化率最大（方向导数最大）的方向，点处变化率最大（方向导数最大）的方向，其模其模是这个最大变化率的数值，则称矢量是这个最大变化率的数值，则称矢量 为标量场为标量场u (x, y, z）在点在点 处的梯度，记为处的梯度，记为方向导数等于梯度在该方向上方向导数等于梯度在该方向上的投影，表示为的投影，表示为232xyzxyzxyxzxyleeeeee习题习题1-5 应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。在M 点，若div，则表明 点有正源； 若div，则表明 点有负源。 若div，则表明该点无源。如果在场中处处有div，则称此场为无源场或无散场。（4）无源场）无源场 习题习题1-18 矢量的

5、旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若A=J 0,称之为称之为旋度场，旋度场，J 称为称为 旋度源；旋度源； 点点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处若矢量场处处A=0，称之为无，称之为无旋场旋场(或保守场或保守场)。（5）无旋场）无旋场 习题习题1-22第二章第二章 静电场的基本原理静电场的基本原理1 1、库仑定律、库仑定律 2 2、电场强度、电场强度3 3、环路定律的表达形式、环路定律的表达

6、形式 4 4、等位面和电场强度线方程、等位面和电场强度线方程5 5、高斯通量定理的表达形式、高斯通量定理的表达形式6 6、电偶极子电位和电场与距离的关系、电偶极子电位和电场与距离的关系7 7、静电场中导体内和导体表面的电场特性、静电场中导体内和导体表面的电场特性8 8、电位移矢量与电场和极化强度的关系、电位移矢量与电场和极化强度的关系9 9、常见介质极化强度与电场强度的关系、常见介质极化强度与电场强度的关系1010、电介质分界面条件标量表达式、电介质分界面条件标量表达式1111、泊松方程、拉普拉斯方程和拉普拉斯算子的表达式及边值、泊松方程、拉普拉斯方程和拉普拉斯算子的表达式及边值问题的分类问题

7、的分类(1) 库仑定律库仑定律两个点电荷之间的作用力用下式表示两个点电荷之间的作用力用下式表示 在真空中，在真空中， 两个静止点电荷两个静止点电荷q1及及q2之间的相互作用力之间的相互作用力的大小和的大小和q1与与q2的乘积成正比，和它们之间距离的乘积成正比，和它们之间距离R的平方的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。异号电荷相吸。 是真空中的介电常数，是真空中的介电常数，单位是（法（拉）单位是（法（拉）/米），米），F/m； 电荷量的单位库仑，电荷量的单位库仑，C 距离的单位米，距离的单位米，m 力的单位牛顿，

8、力的单位牛顿，N 库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。0计算时，要用国际单位制。计算时，要用国际单位制。单位的符号要用正体。单位的符号要用正体。（2） 电场强度电场强度 点电荷点电荷q 产生的电场强度产生的电场强度 电场强度的单位伏电场强度的单位伏/米，米，V/m例例2-1-1 真空中长度为真空中长度为2l 的直线段，均匀带电，电荷线密度为的直线段，均匀带电，电荷线密度为。求线段外任一点求线段外任一点P 的电场强度。的电场强度。解：解： 根据对称性分析，采用柱坐标系分

9、根据对称性分析，采用柱坐标系分析比较方便。坐标的源点位于线段的中析比较方便。坐标的源点位于线段的中心，心，z 轴与线段重合。场点轴与线段重合。场点P的坐标的坐标为为 ，取电荷元，取电荷元 ，源点坐，源点坐标为标为则电荷元在则电荷元在P P 点产生的电场强度的各分点产生的电场强度的各分量为量为dz( , , )rz(0,)z 场点坐标场点坐标 是不变量，源点坐标是不变量，源点坐标 中中 是变量，统一用是变量，统一用表表示示总的电场强度总的电场强度若为无限长直导线若为无限长直导线( , , )rz(0,)z z习题习题 2-1 由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分由电位计算电场强度，是

10、求梯度的运算，也就是求微分的运算的运算 在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度E E 的的方向方向总是沿着总是沿着电位减少最快方向，其电位减少最快方向，其大小大小等于电位的最大变化率。等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：在直角坐标系中：xyzxyz Eeee（3 3）静电场环路定理）静电场环路定理对电场强度求旋度，可得对电场强度求旋度，可得 即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分形式。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋分形式。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。场。 根据斯托克斯定理，有根据斯托克斯定理，

11、有电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式。电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式。（4 4） 等电位面与电场强度线方程等电位面与电场强度线方程 等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由电位相同的点组成的曲面，其方程为由电位相同的点组成的曲面，其方程为点电荷是一种典型的电荷结构点电荷是一种典型的电荷结构它所产生电场的等电位面的方程为它所产生电场的等电位面的方程为0(0)4qCRR 电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方向就是该点的电场

12、强度方向。设向就是该点的电场强度方向。设dl为为P点电场强度线的有向线段元，点电场强度线的有向线段元，则电场强度可表示为则电场强度可表示为E= kdl。在直角坐标系中，有。在直角坐标系中，有电场强度线方程电场强度线方程 位于坐标原点的点电荷产生的电场强度线是过原点位于坐标原点的点电荷产生的电场强度线是过原点的一族射线的一族射线+- 例例2-2-1 如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产所产生的静电场中，求生的静电场中，求P1 (0,0,1)到到P2(0,2,0)的电位差。的电位差。解解 ： 由电位公式直接计算，由电位公式直接计算，P P1 1

13、和和P P2 2点的点的电位分别为电位分别为高斯通量定理的微分形式高斯通量定理的微分形式 即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密度与真空的介电常数之比。度与真空的介电常数之比。（5） 高斯通量定理高斯通量定理高斯通量定理的积分形式高斯通量定理的积分形式 例例2-3-2 如图所示，真空中，半径为如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径的大圆球内有一个半径为为a的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为的电荷，小圆的电荷，小圆球内电荷密度为零球内电荷密度为零(空洞空洞)。求小圆球。求小圆球(空洞空

14、洞)内任一点的电场强度。内任一点的电场强度。解：根据叠加原理，空洞内解：根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充满点的电场强度，可以看作是由充满电荷、电荷体密度为电荷、电荷体密度为的大球和充满电荷、电荷体密度为的大球和充满电荷、电荷体密度为- 的小的小球在球在P共同产生的电场强度。共同产生的电场强度。 小球内电荷产生的电场强度为小球内电荷产生的电场强度为因为大球内电荷产生的电场强度为因为大球内电荷产生的电场强度为根据高斯通量定理根据高斯通量定理习题习题 2-82qr（6）电偶极子电位和电场与距离的关系）电偶极子电位和电场与距离的关系 所谓电偶极子就是两个相距很近的等量异号电荷组成的整

15、所谓电偶极子就是两个相距很近的等量异号电荷组成的整体。设电偶极子两电荷的电荷量分别为体。设电偶极子两电荷的电荷量分别为q和和-q，从负电荷到正电，从负电荷到正电荷的距离矢量为荷的距离矢量为d，则可以用一个矢量来表示电偶极子。这个矢，则可以用一个矢量来表示电偶极子。这个矢量叫做电偶极矩，记为量叫做电偶极矩，记为p，且，且 电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规律有明显不同。点电荷的电位与律有明显不同。点电荷的电位与R成反比，而电偶极子的电位成反比，而电偶极子的电位与与R2成反比。成反比。电偶极子产生的电场强度的幅值与电偶极子产生的

16、电场强度的幅值与R3成反比。成反比。E+FE0 E（7）静电场中导体内和导体表面的电场特性）静电场中导体内和导体表面的电场特性定义一个新的场矢量定义一个新的场矢量D，叫做电位移矢量，且，叫做电位移矢量，且（8）电位移矢量与电场和极化强度的关系）电位移矢量与电场和极化强度的关系 电介质极化后，其内部存在大量按一定规律分布的电偶极电介质极化后，其内部存在大量按一定规律分布的电偶极子。将电偶极子偶极矩的密度定义为极化强度子。将电偶极子偶极矩的密度定义为极化强度P, 用来表示电介用来表示电介质极化的程度，即质极化的程度，即小体积内电偶极矩的矢量和0PE是电介质的极化率。是电介质的极化率。（1）极化率大

17、表示材料易于极化，）极化率大表示材料易于极化， 极化率小表示材料不易于极化；极化率小表示材料不易于极化；（2）真空的极化率为）真空的极化率为0，说明真空不能被极化；，说明真空不能被极化；（3）不同的电介质有不同的极化率。）不同的电介质有不同的极化率。（9）常见介质极化强度与电场强度的关系）常见介质极化强度与电场强度的关系（10）电介质分界面条件标量表达式）电介质分界面条件标量表达式 在不同电介质的分界面上，存在极化面电荷在不同电介质的分界面上，存在极化面电荷( (束缚面电荷束缚面电荷) )，也可能存在自由面电荷。这造成分界面两侧场也可能存在自由面电荷。这造成分界面两侧场矢量不连续矢量不连续。这

18、。这种场矢量的不连续性虽然种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方程不会影响积分形式基本方程的应用，的应用，却使却使微分形式的基本方程微分形式的基本方程在不同电介质分界面处的应用遇到困在不同电介质分界面处的应用遇到困难。因此必须研究场矢量的难。因此必须研究场矢量的分界面条件分界面条件。习题 2-15称为静电场的称为静电场的泊松方程。泊松方程。当场域中没有当场域中没有电荷分布时电荷分布时称为静电场的拉普拉斯方程称为静电场的拉普拉斯方程（12）泊松方程、拉普拉斯方程表达式及边）泊松方程、拉普拉斯方程表达式及边值问题的分类值问题的分类第第1类边值问题类边值问题 第第2类边值问题类边值问题 混合边

19、值问题混合边值问题第三章第三章 恒定电场的基本原理恒定电场的基本原理1、体电流密度的定义式、体电流密度的定义式2、电流密度与电场强度的关系、电流密度与电场强度的关系3、电源中电场强度的表达式、电源中电场强度的表达式4、电荷守恒原理的表达式、电荷守恒原理的表达式5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式6、恒定电场边界条件的分类、恒定电场边界条件的分类1、体电流密度的定义式、体电流密度的定义式2.2.电流密度与电场强度的关系电流密度与电场强度的关系3、电源中电场强度的表达式、电源中电场强度的表达式4、电荷守恒原理的表达式、电荷守恒原理的表达式5、导电媒质分界面衔接

20、条件的标量表达式、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式3-6 垂直垂直3-7 平行平行6、恒定电场边界条件的分类、恒定电场边界条件的分类第第4章章 恒定磁场的基本原理恒定磁场的基本原理1、毕奥、毕奥-沙伐定律沙伐定律2、洛仑兹力表达式、洛仑兹力表达式3、矢量磁位与磁感应强度的关系、矢量磁位与磁感应强度的关系4、磁感应强度线的表达式、磁感应强度线的表达式6、磁偶极矩和磁化强度的定义、磁偶极矩和磁化强度的定义5、安培环路定理的积分形式、安培环路定理的积分形式7、磁感应强度与磁场强度和磁化强度的关系、磁感应强度与磁场强度和磁化强度的关系8 8、常见磁媒质磁化强度与磁场强度的关系、常见磁媒质磁化强度与磁

21、场强度的关系9 9、磁媒质分界面衔接条件的标量表达式、磁媒质分界面衔接条件的标量表达式1、毕奥、毕奥-沙伐定律沙伐定律12345678lId例例 判断下列各点磁感强度的方向和大小判断下列各点磁感强度的方向和大小.R+1、5 点点 ：0dB3、7点点 ：204ddRlIB02045sin4ddRlIB2、4、6、8 点点 ：30d4drrlIB毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律20sind4drlIB3、矢量磁位与磁感应强度的关系、矢量磁位与磁感应强度的关系4、磁感应强度线的表达式、磁感应强度线的表达式安培环路定理的积分形式安培环路定理的积分形式5、安培环路定理的积分形式、安培环路定理的积分形式真空中

22、安培环路定理的微分形式真空中安培环路定理的微分形式例例4-3-1 求真空中无穷长直线电流求真空中无穷长直线电流I 的磁感应度的磁感应度B。 解解:以线电流为轴，建立圆柱坐标系。因为是无以线电流为轴，建立圆柱坐标系。因为是无限长直线电流，所以在垂直于直线的每一个平面上限长直线电流，所以在垂直于直线的每一个平面上磁感应强度分布相同，即磁感应强度与磁感应强度分布相同，即磁感应强度与z无关。无关。 在在r-平面上，磁感应强度只有平面上，磁感应强度只有方向的分量，方向的分量，而其大小与而其大小与无关。以无关。以r为半径作一圆形闭合曲线，为半径作一圆形闭合曲线，应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得 磁

23、偶极子是指所围成的面积趋于零时的载流回路。设回磁偶极子是指所围成的面积趋于零时的载流回路。设回路中的电流为路中的电流为I，回路所围成的面积为，回路所围成的面积为S，则可以用一个矢量，则可以用一个矢量来表示磁偶极子。这个矢量叫做磁偶极矩，记为来表示磁偶极子。这个矢量叫做磁偶极矩，记为m，则，则6、磁偶极矩和磁化强度的定义、磁偶极矩和磁化强度的定义 为了描述媒质宏观的磁化状态，将单位体积内磁偶极矩的为了描述媒质宏观的磁化状态，将单位体积内磁偶极矩的矢量和定义为磁化强度，用矢量和定义为磁化强度，用M来表示，且来表示，且7、磁感应强度与磁场强度和磁化强度的关系、磁感应强度与磁场强度和磁化强度的关系8 8、常见磁媒质磁化强度与磁场强度的关系、常见磁媒质