远期与期货定价

1、2 一、远期价值一、远期价值 指远期合约（约束力）价值。依赖于交割价指远期合约（约束力）价值。依赖于交割价格与标的价格（变化），格与标的价格（变化），因此不同时刻合约有不因此不同时刻合约有不同价值。同价值。 在合约签订时在合约签订时，如果信息对称的，而且合约，如果信息对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约（理论上的，实际难以实现），多空双方所选择（理论上的，实际难以实现），多空双方所选择的交割价格应的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零使远期价值在签署合约时等于零。 在合约签订后在合约签订后，由于交割价格不变，但标的，由于交割价格不变

2、，但标的价格变，多空双方的价格变，多空双方的远期价值随标的资产价格的远期价值随标的资产价格的变化而变化变化而变化。 3 二、远期价格二、远期价格 它是指使远期合约签订时价值为零的交割价它是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。远期价格是理论上的交割价格。格。远期价格是理论上的交割价格。 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零多空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套利空，

3、实际上隐含了套利空间。间。 在远期合约签订之后，交割价格已经确定，在远期合约签订之后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。等于交割价格。 4 三、远期交易的损益曲线三、远期交易的损益曲线 在远期交易时应该取远期价格作为交割价格，在远期交易时应该取远期价格作为交割价格，使使 合约双方都处于公平合理，这时合约双方的成合约双方都处于公平合理，这时合约双方的成本都是本都是0。所以在交易远期合约时双方都不必向对。所以在交易远期合约时双方都不必向对方支付任何费用，即方支付任何费用，即远期交易具有远期交易具有0成本性成本性。 但

4、是合约一经签订，由于标的价格的变化，但是合约一经签订，由于标的价格的变化，可使其中一方获利，而另一方造成损失。可使其中一方获利，而另一方造成损失。 如果标的价格上升，则多方获得利益而空方如果标的价格上升，则多方获得利益而空方受到损失；如果标的价格下跌，则空方获得利益受到损失；如果标的价格下跌，则空方获得利益而多方受到损失。而多方受到损失。56 这种获利或损失对双方是对称的，即这种获利或损失对双方是对称的，即远期交易的损益具有对称性。远期交易的损益具有对称性。 设合约在设合约在t时刻到期，此时标资产的价时刻到期，此时标资产的价格为格为st，则合约多空双方在，则合约多空双方在t时刻的回报分时刻的回

5、报分别是别是 r=st-x，r=x- st 再根据再根据0成本性和对称性，就得到远期成本性和对称性，就得到远期交易的损益曲线：交易的损益曲线： 收益收益 多方损益多方损益 0 标的价格标的价格 空方损益空方损益 远期交易多空双方的损益曲线远期交易多空双方的损益曲线四、期货价格（与习惯称呼的期货价格不四、期货价格（与习惯称呼的期货价格不同，这里是指理论上合理的期货价格）同，这里是指理论上合理的期货价格） 在期货合约中，我们定义在期货合约中，我们定义期货价格期货价格（futures prices）为使期货合约价值为零为使期货合约价值为零的理论交割价格。的理论交割价格。 注意，在实际交易的期货价格是

6、向这个注意，在实际交易的期货价格是向这个理论上的期货价格靠拢，但不一定真正等理论上的期货价格靠拢，但不一定真正等于这个理论价格。于这个理论价格。 8 因税收、交易费用、保证金、违约风险、流因税收、交易费用、保证金、违约风险、流动性等方面的差异，远期价格与期货价格是有差动性等方面的差异，远期价格与期货价格是有差异的。但是当有效期只有几个月时，远期价格与异的。但是当有效期只有几个月时，远期价格与期货价格的差距通常很小。因此，常常假定远期期货价格的差距通常很小。因此，常常假定远期价格与期货价格相等。下面分析二者的异同价格与期货价格相等。下面分析二者的异同 一、在一定条件下，期货价格一、在一定条件下，

7、期货价格=远期价格远期价格 条件：期货合约与远期合约期限（条件：期货合约与远期合约期限（t=0交易，交易，t到期）相同，在合约期内无风险利率到期）相同，在合约期内无风险利率r不变，且远不变，且远期合约无违约风险。期合约无违约风险。 结论：结论：期货价格期货价格f0=远期价格远期价格g0。 9证：设证：设t时标的资产价格为时标的资产价格为st，考虑两个组合，考虑两个组合 组合组合a（关于远期）（关于远期）金额金额g0投资无风险资产投资无风险资产+买入买入exp(rt)个远期合约个远期合约 a在时刻在时刻t价值价值g0exp(rt)+（st-g0）exp(rt) =stexp(rt)， 组合组合b

8、（关于期货）（关于期货）金额金额f0投资无风险资产投资无风险资产+在持有期每一天各买入在持有期每一天各买入一定的期货合约，使第一定的期货合约，使第i天末持有的期货合约达天末持有的期货合约达到到exp(ri)个个（逐步买进，到逐步买进，到t天持有量与远期合约数相天持有量与远期合约数相等等）。）。 。10设第设第t(0t远期价格（远期价格（ f0g0 ） 因为当标的价上涨时因为当标的价上涨时,期货价涨，利率也涨，期货价涨，利率也涨，期货多头期货多头卖期货而进行高利率的投资卖期货而进行高利率的投资。所以期货。所以期货比远期有利；当标的价下跌时，期货价跌，利率比远期有利；当标的价下跌时，期货价跌，利率

9、也跌。期货多头因此要追加保证金，但也跌。期货多头因此要追加保证金，但可按低利可按低利率融资率融资，所以期货也是方便的。可见期货多头比，所以期货也是方便的。可见期货多头比远期多头有利，期货价高于远期价。远期多头有利，期货价高于远期价。13 3、当标的价与利率负相关，则期货价格、当标的价与利率负相关，则期货价格远期价格远期价格(f0fsf时时，b0b0；当当sfsf时时，b0b 现货价，则买入现货，卖出期货进行交现货价，则买入现货，卖出期货进行交割获利，从而使期货价格下降，现货价格上割获利，从而使期货价格下降，现货价格上升，使二者相等。升，使二者相等。 为简便，本章分析是建立在如下假设前提下的：为

10、简便，本章分析是建立在如下假设前提下的：1没有交易费用和税收。没有交易费用和税收。2市场参与者能以相同的市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出无风险利率借入和贷出资金资金。3远期合约远期合约没有违约风险没有违约风险。4允许现货卖空允许现货卖空。5当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使动，从而使套利机会消失套利机会消失，我们得到的理论价格就，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。是在没有套利机会下的均衡价格。 6期货合约的期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和

11、期货的这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或空头地位。多头或空头地位。20本章将要用到的符号主要有：本章将要用到的符号主要有：t：远期和期货合约的到期时间，单位为年。：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量：现在的时间，单位为年。变量t 和和t 是从合约是从合约生效之前的某个日期开始计算的，生效之前的某个日期开始计算的，t-t 代表远期和代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期时间的剩余时期货合约中以年为单位的距离到期时间的剩余时间。间。s：远期（期货）标的资产在时间：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。时的价格。st：远期（期货）标的资产在时间：远期

12、（期货）标的资产在时间t时的价格时的价格（在（在t时刻这个值是个未知变量）。时刻这个值是个未知变量）。k：远期合约中的交割价格。：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在：远期合约多头在t时刻的价值，即时刻的价值，即t时刻的远期价时刻的远期价值。值。21 f：t时刻的远期合约和期货合约中的时刻的远期合约和期货合约中的理论理论远期价格和理论期货价格远期价格和理论期货价格，如无特别注明，分，如无特别注明，分别简称为远期价格和期货价格。别简称为远期价格和期货价格。 r：t时刻到期的以连续复利计算的时刻到期的以连续复利计算的t时刻的时刻的无风险利率无风险利率（年利率），如无特别说明，利率（年利率），如

13、无特别说明，利率均为均为连续复利连续复利的年利率。的年利率。2223 （一（一) )问题问题： 远期合约的情况远期合约的情况：多头持有：多头持有t t时刻签约，时刻签约，t t时时刻到期的远期合约，合约规定在刻到期的远期合约，合约规定在t t以价格以价格k k买入买入1 1单位标的物。设合约多头价值为单位标的物。设合约多头价值为f f。 标的物情况标的物情况：在：在t t到到t t的期间内，标的物无收的期间内，标的物无收益益 （1 1）f=f=？ （2 2）远期价格）远期价格f=f=？（二）用复制技术和无套利定价方法求解问题（二）用复制技术和无套利定价方法求解问题 组合组合a a： 一份远期合

14、约多头（价值为一份远期合约多头（价值为f f）+ +现金现金keke-r-r（t-tt-t）； 组合组合b b：一单位标的物：一单位标的物 比较两个组合比较两个组合： 在在t t时，组合时，组合a a价值价值= =组合组合b b价值，价值，a a复制了复制了b b。 在在t t时，组合时，组合a a价值价值= =组合组合b b价值（？原理）。价值（？原理）。即：即： f+kef+ke-r-r（t-tt-t）=s=s（三）结果（三）结果 1 1、无收益资产的远期合约价值公式、无收益资产的远期合约价值公式： f=s-kef=s-ke-r-r（t-tt-t） 意义：在时刻意义：在时刻t t，无收益资

15、产的远期合约多头价，无收益资产的远期合约多头价值等于标的资产现货价格与交割价格现值之差。值等于标的资产现货价格与交割价格现值之差。 2 2、无收益资产的远期价格公式：、无收益资产的远期价格公式： 在远期合约价值公式中，令在远期合约价值公式中，令f=0f=0，解出，解出k k，这个，这个特殊的交割价格就是远期价格，记特殊的交割价格就是远期价格，记f f。远期价格：。远期价格： f=sef=ser r（t tt t） 意义：在时刻意义：在时刻t t，无收益资产的远期价格等于标，无收益资产的远期价格等于标的资产现货价格的终值。的资产现货价格的终值。 当用远期价格表示远期合约价值时：当用远期价格表示远

16、期合约价值时： f=f=（f-kf-k）e e-r-r（t-tt-t） 这里这里f-kf-k表示合约在时刻表示合约在时刻t t的远期与交割价之的远期与交割价之差，当差，当f=kf=k时，合约价值为时，合约价值为0 0。 当无风险利率当无风险利率r r按按一年派息一次的复利一年派息一次的复利计算计算，且，且t-tt-t小于小于1 1年年时，时， （1 1）无收益资产的远期价值公式：）无收益资产的远期价值公式： f=s-k/1+rf=s-k/1+r（t-tt-t） （2 2）无收益资产的远期价格公式：）无收益资产的远期价格公式： f=s1+rf=s1+r（t-tt-t） 五、现货五、现货- -远期

17、平价定理远期平价定理1 1、远期价格公式远期价格公式： f=sef=ser r（t tt t） 因为远期价格是合约价值为因为远期价格是合约价值为0 0的交割价格。所以令远的交割价格。所以令远期合约价值等于期合约价值等于0 0，远期价格，远期价格f f等于交割价格等于交割价格k k。由。由此，远期价格为此，远期价格为：f=sef=ser r（t tt t）2 2、现货现货- -远期平价定理（现货远期平价定理（现货- -期货平价定理）期货平价定理）：无：无收益资产的远期价格等于其标的资产现货价格的终收益资产的远期价格等于其标的资产现货价格的终值。值。 3 3、可用远期价格公式、可用远期价格公式f=

18、sef=ser r（t-tt-t）确定远期合约的交割价确定远期合约的交割价格。否则就会出现无风险套利。格。否则就会出现无风险套利。 （1 1）若）若kf=sekf=ser r（t-tt-t），即交割价格大于现货价格的终，即交割价格大于现货价格的终值。值。交割价定高了交割价定高了，套利思路：套利思路：以以s s价格买入标的，持有空头远期合约价格买入标的，持有空头远期合约 t t时刻时刻 组合组合a a：按无风险利率按无风险利率r r借入借入s s现金，期限为现金，期限为t-tt-t，期末，期末本息为本息为se se r r（t-tt-t）；用用s s购买一单位标的资产；购买一单位标的资产；同时卖

19、同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为出一份该资产的远期合约，交割价格为k k。 t t时时a a价值价值=0=0 t t时刻时刻 可将一单位标的资产用于交割换来可将一单位标的资产用于交割换来k k金额，并归还借款金额，并归还借款本息本息se se r r（t-tt-t），所以，所以 a a的价值的价值=k-se=k-ser r（t-tt-t） 这是无风险利润。这是无风险利润。（2 2）若）若kf=se kf=se r r（t tt t），即交割价值小于现货价格，即交割价值小于现货价格的终值。的终值。交割价定低了交割价定低了，套利过程如下：，套利过程如下：在在t t时刻：时刻：（卖出标的得资

20、金（卖出标的得资金s s，并且拥有多头远期，并且拥有多头远期合约，将来可买入）合约，将来可买入）借标的资产并且以价格借标的资产并且以价格s s卖卖出，将所得收入出，将所得收入s s以无风险利率进行投资，期限以无风险利率进行投资，期限为为t-tt-t，期末本息为，期末本息为seser r（t tt t）。同时买进一份该。同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为标的资产的远期合约，交割价为k k。在在t t时刻：时刻：套利者收到投资本息套利者收到投资本息seser r（t tt t），并以，并以f f现现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产

21、，从而实现标的资产，从而实现seser r（t tt t）-k-k的无风险利润。的无风险利润。例例例：例： 假设某一种零息债券的远期合约在假设某一种零息债券的远期合约在6个月后到个月后到期，无风险利率为期，无风险利率为8%，债券的现价为，债券的现价为$90。 （1）求远期价格。并指出当交割价格与远期价）求远期价格。并指出当交割价格与远期价格不相符合时，可能存在的无风险套利机会。格不相符合时，可能存在的无风险套利机会。 （2）如果交割价格定为平价，即）如果交割价格定为平价，即k=$90，求远，求远期合约价值。期合约价值。 零息债券：零息债券：中途不付息的债券。中途不付息的债券。六、远期价格的期限

22、结构六、远期价格的期限结构 远期价格的期限结构：远期价格的期限结构：不同期限远期价格之不同期限远期价格之间的关系。间的关系。 设设f f为在为在t t时刻交割的远期价格，时刻交割的远期价格，f f* *为在为在t t* *时时刻交割的远期价格刻交割的远期价格, r, r为为t t时刻到期的无风险利率时刻到期的无风险利率,r,r* *为为t t* *时刻到期的无风险利率时刻到期的无风险利率, , 为为t t到到t t* *时时刻的无风险远期利率。刻的无风险远期利率。 f=sef=ser r（t tt t） )(*ttrsefr 两式相除消掉两式相除消掉s s后后, , 我们可以得到不同期限远期价

23、格之间的关系：我们可以得到不同期限远期价格之间的关系： )()(*ttrttrfef)( *ttrfef 其中用到连续复利率的即期利率与远期利率关系，其中用到连续复利率的即期利率与远期利率关系，公式（公式（3.9）。）。36一、支付已知现金收益一、支付已知现金收益i资产远期合约定价资产远期合约定价 （一）（一）问题问题： 远期合约的情况远期合约的情况：多头持有：多头持有t t签约，签约，t t到期的到期的远期合约，必须在远期合约，必须在t t以价格以价格k k买入买入1 1单位标的物。单位标的物。设合约多头价值为设合约多头价值为f f。 标的物情况标的物情况：在：在t t到到t t的期间内，从

24、标的获得的期间内，从标的获得收益，该收益用无风险利率收益，该收益用无风险利率r r折现到折现到t t，其金额为，其金额为i i。( (例如股票分红、债券派息、黄金存储费等例如股票分红、债券派息、黄金存储费等) ) 求：求：（1 1）f=f=？ （2 2）远期价格）远期价格f=f=？（二）用复制技术和无套利定价方法求解问题（二）用复制技术和无套利定价方法求解问题 组合组合a a： 一份远期合约多头（价值为一份远期合约多头（价值为f f）+ +现金现金keke-r-r（t-tt-t）； 组合组合b b：一单位标的：一单位标的+ +一笔负债（其现值为一笔负债（其现值为i i） 比较两个组合比较两个组

25、合： 在在t t时，时，a a的结果是获的结果是获1 1单位标的资产；而单位标的资产；而b b从标的资产获从标的资产获得收益刚好用来偿还负债的本息。所以，在得收益刚好用来偿还负债的本息。所以，在t t时，组合时，组合a a价价值值= =组合组合b b价值，价值，a a复制了复制了b b。 在在t t时，组合时，组合a a价值价值= =组合组合b b价值。即：价值。即： f+kef+ke-r-r（t-tt-t）=s-i=s-i另外处理：另外处理：1 1、取新资产资产有收益资产资产收益、取新资产资产有收益资产资产收益; ;2 2、用、用s-is-i代替（一）的代替（一）的s.s.（三）结果（三）结

26、果 1 1、有现金、有现金i i收益资产的远期合约价值公式收益资产的远期合约价值公式： f=s-i-kef=s-i-ke-r-r（t-tt-t） 意义：有现金意义：有现金i i收益资产的远期合约多头价值收益资产的远期合约多头价值等于标的资产现货价格扣除等于标的资产现货价格扣除i i后的余额与交割价后的余额与交割价格现值之差。格现值之差。 2 2、有现金、有现金i i收益资产的远期价格公式：收益资产的远期价格公式： f=(s-i)ef=(s-i)er r（t tt t） 意义：有现金意义：有现金i i收益资产的远期价格等于标的收益资产的远期价格等于标的资产价格与资产价格与i i差额的终值。差额的

27、终值。例例3.53.5 设黄金的现价为每盎司设黄金的现价为每盎司450450美元美元, ,其储存成本为每其储存成本为每年每盎司年每盎司2 2美元，在年底支付美元，在年底支付, ,无风险利率为无风险利率为7%7%。求一年期的黄金远期价格。求一年期的黄金远期价格。 解：黄金在合约期内收益的现值为解：黄金在合约期内收益的现值为 注意这里注意这里i i为负值为负值 美美元元/ /盎司盎司 所以所求远期价格为所以所求远期价格为 美元美元/ /盎司盎司43一、支付已知收益率一、支付已知收益率q资产远期合约定价资产远期合约定价（一）（一）问题问题： 远期合约的情况远期合约的情况：多头持有：多头持有t t签约

28、，签约，t t到期到期的远期合约，必须在的远期合约，必须在t t以价格以价格k k买入买入1 1单位标的单位标的物。设合约多头价值为物。设合约多头价值为f f。 标的物情况标的物情况：在：在t t到到t t的期间内，从标的物的期间内，从标的物按收益率按收益率q q获得收益。获得收益。 求求： （1 1）f=f=？ （2 2）远期价格）远期价格f=f=？（二）用复制技术和无套利定价方法求解问题（二）用复制技术和无套利定价方法求解问题 组合组合a a： 一份远期合约多头（价值为一份远期合约多头（价值为f f）+ +现金现金keke-r-r（t-tt-t）。）。 现考虑复制组合现考虑复制组合b b，

29、到，到t t时与时与a a等效。等效。 到终点到终点t t时，组合时，组合b b持有持有1 1单位标的，但由于途中标单位标的，但由于途中标的按收益率的按收益率q q获得收益，收益还可再投资，问获得收益，收益还可再投资，问在起点在起点t t时应持有多少个单位标的资产？时应持有多少个单位标的资产？ 组合组合b b： e e-q-q（t-tt-t）单位标的单位标的+ +利息收入再投资于该资产。利息收入再投资于该资产。比较两个组合比较两个组合： 在在t t时，组合时，组合a a价值价值= =组合组合b b价值，价值，a a复制了复制了b b。 在在t t时，组合时，组合a a价值价值= =组合组合b b价值，价值， 根据无套利原理。即：根据无套利原理。即： f+kef+ke-r-r（t-tt-t）= se= se-q-q（t-tt-t）（三）结果（三）结果 1 1、有收益率、有收益率q q收益资产的远期价值公式收益资产的远期价值公式： f= sef= se-q-q（t-tt-t）-ke-ke-r-r（t-tt-t） 2 2、有收益率、有收益率q q收益资产的远期价格公式：收益资产的远期价格公式： f=sef=se（r-qr-q）（）（t tt t） 这