空间曲面与空间曲线

1、7.5 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线1 1 曲面方程的定义曲面方程的定义s0),( zyxf如果曲面如果曲面与三元方程与三元方程有下述关系：有下述关系：s（1 1） 曲面曲面上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；s上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；（2 2）不在曲面不在曲面0),( zyxfs那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的的方程方程，s就叫做方程的就叫做方程的图形图形而曲面而曲面一一 曲面方程的概念曲面方程的概念解解,21|0 mmmo根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所

2、求方程为o)4 , 3 , 2(0m2:1例例1 1 求与原点求与原点及及的距离之比为的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程的点的全体所组成的曲面方程. .设设),(zyxm是曲面上任一点，是曲面上任一点，根据题意有根据题意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解),3 , 2 , 1(a),4 , 1, 2( bab例例2 2 已知已知求线段求线段面的方程面的方程. .的垂直平分的垂直平分设设),(zyxm是所求平面上任一点，是所求平面上任一点，（1）球面球面rmm |0根据题意有根据题意有 rzzyyxx 2020

3、20 2222000 xxyyzzr 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222rzyx 设球心在点设球心在点0000(,),mxy z半径为半径为,r下面建立下面建立球面方程球面方程. .2 几种常见的曲面几种常见的曲面设设),(zyxm是球面上任一点，是球面上任一点，(球面方程的标准式球面方程的标准式)将标准方程展开得将标准方程展开得由此可见球面方程的特点由此可见球面方程的特点1) 1) 是是, ,x y z的二次方程的二次方程2 2）222,xyz的系数为的系数为1 1（或相等）（或相等）3 3）不含）不含,xy yz zx项项( (球面方程的一般式

4、球面方程的一般式) )2220 xyzaxbyczd 球面方程又可表示为球面方程又可表示为02222202020000222rzyxzzyyxxzyx定义定义（2 2）柱面）柱面c并沿定曲线并沿定曲线所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .l移动的直线移动的直线柱面柱面c这条定曲线这条定曲线叫叫的的准线准线，平行于定直线平行于定直线llcll叫叫母线母线. .柱面的柱面的动直线动直线下面建立母线平行于下面建立母线平行于z轴，准线为轴，准线为xoy平面曲线平面曲线( , )0f x y 的柱面方程。的柱面方程。设设( , , )m x y z为柱面上为柱面上任意一点，任意一点，过过m作平行

5、作平行z轴的直线交轴的直线交xoy平面平面曲线曲线( , )0f x y 上的点上的点111(,0),mxy因此因此11,xx yy 将将11,xx yy 代入得柱面方程代入得柱面方程( , )0f x y 由于由于1m在在xoy平面曲线平面曲线( , )0f x y 上，上，xyzo),(zyxm )0 ,(111yxm 从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：yx,z0),( yxf 只含只含而缺而缺的方程的方程z系中表示母线平行于系中表示母线平行于在空间直角坐标在空间直角坐标轴的柱面，轴的柱面，zy,x0),( zyfxyoz.c 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系

6、中表示母线平行于面上面上在空间直角坐标在空间直角坐标曲线曲线轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为xz,y0),( xzfyzox.c 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于面上面上在空间直角坐标在空间直角坐标曲线曲线轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为xoy.c面上面上曲线曲线其准线为其准线为柱面举例柱面举例xozyxy yzxoxyzo母线平行于母线平行于12222 byaxz轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面轴的轴的平面平面xy 母线平行于母线平行于z轴的轴的抛物柱面抛物柱面22pyz 母线平行于母线平行于x定义定义 一条平面曲线一条平面曲线绕其所在平面上的一条定绕其所在平

7、面上的一条定直线旋转一周所成的曲面直线旋转一周所成的曲面称为称为旋转曲面旋转曲面. .（3 3）旋转曲面旋转曲面线线叫旋转曲面的叫旋转曲面的轴轴这条定直这条定直旋转轴旋转轴xyz,1zz |122yyx 求由求由yoz平面曲线平面曲线( , )0f y z 绕绕z轴旋转一周所得轴旋转一周所得的旋转面方程。的旋转面方程。设旋转面上任意一点设旋转面上任意一点( , , )m x y z则则 ), 0(111zym ),(zyxmo 0),( zyfo是由是由yoz平平面的曲线面的曲线111(0,)my z绕绕z( , )0f y z 上上轴旋转而得的，轴旋转而得的，一点一点将上式代入将上式代入0)

8、,(11 zyf得方程得方程 , 0,22 zyxfyoz0),( zyfz面上曲线面上曲线绕绕轴的轴的旋转曲面方程旋转曲面方程. . . 0,22 zxyf22(, )0fxzy 同理：同理：yoz0),( zyfy坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为xoy( , )0f x y y坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕一周一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为轴旋转轴旋转xyzxyzo 例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程122222 czxay122

9、222 czayx旋转双曲面旋转双曲面绕绕y轴旋转轴旋转绕绕z轴旋转轴旋转o12222 czay面上双曲线面上双曲线分别绕分别绕y轴和轴和z轴；轴；yozxyzoyzx122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pyzx222 旋转抛物面旋转抛物面z绕绕轴；轴；12222 czay面上椭圆面上椭圆yozoy绕绕轴；轴；22xpy 面上抛物线面上抛物线xoyxyzoyz 面上直线面上直线yoz22yxz222yxz圆锥面圆锥面z绕绕轴；轴；（4 4）锥面锥面通过定点通过定点m动直线动直线l沿定曲线沿定曲线c移动所形成的移动所形成的曲面称为曲面称为锥面锥面， 定点定点m称称为锥面的为锥面的顶点顶点

10、，定曲线定曲线称为锥面的称为锥面的准线准线。clc ml称为锥面的称为锥面的母线母线，动直线动直线xyzo ),(zyxm ),(cyxm 例例4 建立以椭圆建立以椭圆0, 12222 czbyax为准线，为准线，坐标原点为顶点的锥面方程。坐标原点为顶点的锥面方程。解解 设点设点),(zyxm 锥面锥面 上任意一点，上任意一点， 过点过点m 的母线的母线交椭圆于点交椭圆于点),(cyxm 由由/omom czyyxx zcyyzcxx ,锥面方程为锥面方程为222222czbyax 椭圆锥面椭圆锥面 0),(0),(zyxgzyxfxozy1s2s空间曲线空间曲线c c可看作空间两曲面的交线可

11、看作空间两曲面的交线. .1 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程c 二二 曲线方程的概念曲线方程的概念例例5 5 方程组方程组 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆. .表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ )()()(tzztyytxx2 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程)( t出发，以角速度出发，以角速度轴旋转，轴旋转， 同时又以线速度同时又以线速度)0 , 0 ,(aa 绕绕zm222ayx 例例6 6 如果空间一点如果空间一点在圆柱面在圆柱面上从点上从点vzv、 沿平

12、行沿平行轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中都是常数），都是常数），于于m构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程那么点那么点a mm t 取时间取时间t t为参数，为参数，解解xyzomxoy)0 ,(yxm 在在面的投影为面的投影为动点从动点从a点出发，点出发，经过经过t t时间，运动到时间，运动到),(zyxm点点,则则tax cos tay sin vtz ，记，记vbt, bzayaxsincos即有即有例例7 将曲线方程将曲线方程 zyzyx4222化为参数式方程。化为参数式方程。解解 将将yz 代入代入4222 zyx得得,4222yx参数式方

13、程为参数式方程为:txcos2 tysin2 tzsin2 . 12422yx即即 0),(0),(zyxgzyxf3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影消去变量消去变量0),( yxhz后得：后得：设空间曲线设空间曲线l的一般方程：的一般方程：称此曲面为曲线称此曲面为曲线xoy面的面的投影柱面投影柱面。关于关于ll称曲线称曲线 00),(zyxh为曲线为曲线在在面的面的投影曲线投影曲线。xoy类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影. . 0),(0),(zyxgzyxf, 0),( zxr 0),(0),(zyxgzyxf, 0),

14、(zyq的的投影柱面投影柱面：消去消去y得曲线得曲线zox关于关于l面面 00),(yzxr面上的面上的投影曲线投影曲线zox；的的投影柱面投影柱面：消去消去x得曲线得曲线yoz关于关于l面面00),(xzyq面上的面上的投影曲线投影曲线yoz.例例8 8 求曲线求曲线 231)1(222zzyx解解,4322 yx在在 面上的投影面上的投影.消去变量消去变量z后得关于后得关于xoy的投影柱面的投影柱面,04322 zyx在在xoy面上的投影为面上的投影为yzoxoy例例9 9解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzc, 122 yxz 得投影柱面得

15、投影柱面消去消去面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyc .0, 122zyx面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xoy. 122 yx一个圆面一个圆面: :xyzo.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成 和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面二次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面 1 1 椭球面椭球面1222222 czbyaxxyzo o椭球面与平面椭球面与平面1zz 的交线为椭圆的交线为椭圆 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆. .1xx 1yy 椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 12