14二次函数与一元二次方程的联系

1、1.4 二次函数与一元二次方程的联系探究： 画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？ 二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1,0），（3,0）.由交点坐标可知，当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.小结： 一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴有两个不同的交点（x1,0），

2、（x2,0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x=x1，x=x2.动脑筋： 观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象（如图），分别说出一元二次方程x2-6x+9=0，x2-2x+2=0的根的情况.二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，其坐标都是（3,0），而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实根，x1=3，x2=3.二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.小结： 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点

3、.这对应着ax2+bx+c=0（a0）的根三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实数根.反过来，由一元二次方程根的情况，也可以确定相应的图象与x轴的位置关系.从上面的分析可知，我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根，由于作图或者观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.221yxx解求一元二次方程求一元二次方程 的解的近似值（精确到的解的近似值（精确到0.1）0122 xx 从例从例1受到启发，一元二次方程受到启发，一元二次方程 的解就是：抛物线的解就是：抛物线 与与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线

4、，然后从图上找出它与找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.0122 xx2(21 1) 1xx 2(1)2.xx对称轴是 ，顶点坐标是（，）列表x122.53210.2522(1)2yx从图量得抛物线与从图量得抛物线与x轴的交点的横坐标约为轴的交点的横坐标约为0.4或或2.4，因此方程，因此方程 的的解的近似值为解的近似值为0.4或或2.4221 0 xx 描点和连线：画出图象在对称轴右边的描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，这就得到了的

5、图象，如图分，这就得到了的图象，如图24224211例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？58106102xxy解 （1）由抛物线的表达式得即x2-6x+5=0，解得x1=1，x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（2）由抛物线的表达式得即x2-6x+9=0，解得x1=x2=3.当铅球离地面的高度为2.5时，它

6、离初始位置的水平距离是3m.（3）由抛物线的表达式得即x2-6x+14=0，因为=（-6）2-41140，所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.58106101 . 22xx58106105 . 22xx581061032xx1.1.求下列抛物线与求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：轴的交点的横坐标： 212yxx它与它与x轴有交点，则轴有交点，则y=0220 xx解这个方程解这个方程 （x2）（）（x+1）= 0 x1=2, x2=1 与与x轴交点的横坐标为（轴交点的横坐标为（2,0）（）（1，0）解解 229124yxx它与它与x轴有交点，则轴有交点，则y=0291240 xx x1= x2= 与与x轴交点的横坐标为（轴交点的横坐标为（ ，0）2323解解 2321yxx它与它与x轴有交点，则轴有交点，则y=02210 xx x=1 与与x轴交点的横坐标为（轴交点的横坐标为（ 1 ，0）解解3.用图象法求一元二次方程用图象法求一元二次方程 的解的近似值的解的近似值（精确到（精确到0.1）210 xx 解：设二次函数y=x2+x-1做出二次函数y=x2+x-1的图象如图所示通过观察图象可知，抛物线与