数学建模汽车租赁问题沐风书苑

1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛

2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会

3、评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：教学f汽车租赁调度问题摘要本文针对汽车租赁市场实际情况，并结合所给的真实数据进行缜密地分析及研究，主要采用线性规划优化问题建立模型，再加以拟合分析法进行分析，最后运用lingo程序将所有数据进行整体求解，对模型结果全局优化处理，最大限度的保证结论的准确性。针对问题一，此问题为最优化问题，首先要根据数据建立相应的最优化模型，然后利用matlab

4、和lingo进行优化求解，得出未来四周转运费用最低的最佳优化方案。针对问题二，在问题一所得结果的基础上，从转运费和缺损费用考虑建立模型，利用lingo程序进行优化处理，使目标函数值最小，从而得到最优解。针对问题三，综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素建立规划模型，先运用matlab对缺少的数据进行拟合求得，再运用lingo辅助求解。 针对问题四，我们利用lingo进行优化求解，解出最有候选车辆，再结合往年数据，预测得求得最大值时的车辆数，并得到最终结论。关键词：最优化 租赁调度模型 数据拟合 一、问题重述某城市有一家汽车租赁公司，此公司年初在全市范围内有379辆可供租赁的汽车，分布于2

5、0个代理点中。每个代理点的位置都以地理坐标x和y的形式给出，单位为千米。假定两个代理点之间的距离约为他们之间欧氏距离（即直线距离）的1.2倍。附件1附件6给出了问题的一些数据。请解决如下问题：1给出未来四周内每天的汽车调度方案，在尽量满足需求的前提下，使总的转运费用最低；2考虑到由于汽车数量不足而带来的经济损失，给出使未来四周总的转运费用及短缺损失最低的汽车调度方案；3综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素，确定未来四周的汽车调度方案；4为了使年度总获利最大，从长期考虑是否需要购买新车？如果购买的话，确定购买计划（考虑到购买数量与价格优惠幅度之间的关系，在此假设如果购买新车，只购买一款车

6、型）。二、模型假设1、假设汽车运输成本只与距离有关，并且不考虑汽车在转运途中的损耗2、假设各个代理点绝对服从调度指示 3、假设在相应的运营时间内公司的转运成本的政策不变 4、每次调走的车辆当天不必返回原调出代理点，可作为调入代理点第二天调度使用三、符号说明i 供出车辆代理点j需求车辆代理点k第k天代理点横坐标代理点纵坐标两点间欧氏距离代理点i与代理点j间的距离代理点i到代理点j转运每千米所花费的费用 （单位：万元/千米）代理点i到代理点j转运每辆车所花费的费用 （单位：万元/辆）第k天从代理点i转到代理点j的车辆数四周内最小转运费用代理点j的需求车辆数 代理点i的供出车辆数j代理点的短缺损失费

7、 j代理点的获利租赁获利（万元/辆）n汽车的使用年限i代理点购买的车辆数 未来八年内总获利未来四周获利四、模型分析与求解4.1问题分析4.1.1问题一首先，我们应该运用matlab对附件1所给出的数据作出了各个代理点的相对位置分布图，以方便我们观察，并需要求出了各个代理点间的欧氏距离；其次，我们应附件3的数据分析求出总需求量大于总拥有量（求大于供）和总需求量小于总供应量（供大于求）得具体情况，以方便我们确定约束条劲啊。并综合以上数据运用lingo程序进行优化求解，得出未来四周转运费用最低的最佳优化方案。4.1.2问题二：本题基于第一题，将目标函数改为 再针对总需求量大于总拥有量（求大于供）和总

8、需求量小于总供应量（供大于求）分别建立两种约束条件，然后在lingo求解时运用if函数对数据进行选择判断，以求得全局最优解。4.1.3问题三：首先根据所给附录5数据，我们用matlab进行拟合，求得缺少的数据，然后基于问题二的模型，将目标函数改为，求得全局最优解。4.1.4问题四： 首先我们应根据去年的数据确定是否需要购买汽车，然后要分析出购买哪种车比较省钱，最后得出结论。4.2、模型的建立与求解4.2.1问题一根据各代理点的横纵坐标，用matlab做出个代理点的位置分布图如下：x/kmy/km 求得两个代理点之间的欧氏距离及两代理点间的实际距离如下根据附录6中的数据求得代理点i到代理点j转运

9、每辆车所花费的费用公式（计算结果详见附录）=目标函数约束条件 当 时， 当 时，对约束条件的说明：当总的需求量大于379辆时，约束条件是转运量要小于等于需求量，因为要尽量满足需求，因此供出量要全部供出，转运量等于供出量；当总的需求量小于379量时，约束条件发生变化，可以满足需求，所以转运量就等于需求量，并且转运量是小于等于供出量的。运用lingo程序求解得：（本文程序以前五天为例）：结论解释以第五天为例，详见附录gobal optimal solution found.objective value: 3.663876 objective bound: 3.663876infeasibilit

10、ies: 0.000000extended solver steps: 1141total solver iterations: 67231transport( k5, wh1, v1) 13.00000transport( k5, wh1, v2) 3.000000transport( k5, wh2, v2) 18.00000transport( k5, wh2, v13) 2.000000transport( k5, wh3, v3) 21.00000transport( k5, wh4, v4) 18.00000transport( k5, wh5, v5) 15.00000trans

11、port( k5, wh5, v10) 2.000000transport( k5, wh5, v17) 1.000000transport( k5, wh6, v6) 18.00000transport( k5, wh7, v7) 19.00000transport( k5, wh8, v8) 17.00000transport( k5, wh9, v9) 24.00000transport( k5, wh10, v3) 1.000000transport( k5, wh10, v6) 1.000000transport( k5, wh10, v9) 1.000000transport( k

12、5, wh10, v10) 10.00000transport( k5, wh11, v11) 18.00000transport( k5, wh12, v12) 11.00000transport( k5, wh12, v16) 4.000000transport( k5, wh13, v13) 18.00000transport( k5, wh14, v14) 15.00000transport( k5, wh14, v19) 1.000000transport( k5, wh15, v15) 18.00000transport( k5, wh16, v16) 25.00000transp

13、ort( k5, wh17, v17) 27.00000transport( k5, wh18, v18) 23.00000transport( k5, wh19, v19) 20.00000transport( k5, wh20, v17) 2.000000transport( k5, wh20, v20) 13.00000运行结果说明：代理点1转运13辆车到代理点1，代理点1转运3辆车到代理点2，代理点2 转运18辆车到代理点2，代理点2转运2辆车到代理点13，代理点3转运21辆车到代理点3，代理点4转运18辆车到代理点，代理点5转运15辆车到代理点5，代理点5转运2辆车到代理点10，代理

14、点5转运1辆车到代理点17，代理点6转运18辆车到代理点6，代理点7转运19辆车到代理点7，代理点8转运17辆车到代理点8，代理点9转运24辆车到代理点9，代理点10转运1辆车到代理点3，代理点10转运1辆车到代理点6，代理点10转运1辆车到代理点9，代理点10转运10辆车到代理点10，代理点11转运18辆车到代理点11，代理点12转运11辆车到代理点12，代理点12转运4辆车到代理点16，代理点13转运18辆车到代理点13，代理点14转运15辆车到代理点14，代理点14转运1辆车到代理点19，代理点15转运18辆车到代理点15，代理点16转运25辆车到代理点16，代理点17转运27辆车到代理

15、点17，代理点18转运23辆车到代理点18，代理点19转运20辆车到代理点19，代理点20转运2辆车到代理点17，代理点20转运13辆车到代理点20。前五日的最小转运费为3.663876万元。未来四周的最小转运费为11.5682万元。4.2.2问题二 本题解法基于问题一，目标函数为： 约束条件如下 ：当 时，当 时，对约束条件的说明即当总的需求量大于379辆时，约束条件是转运量要小于等于需求量，因为要尽量满足需求，因此供出量要全部供出，转运量等于供出量；当总的需求量小于379量时，约束条件发生变化，可以满足需求，所以转运量就等于需求量，并且转运量是小于等于供出量的。运用lingo程序求解得：f

16、easible solution found.objective value: 17.04869objective bound: 15.38397infeasibilities: 0.000000extended solver steps: 4238total solver iterations: 80997transport( k5, wh1, v1) transport( k5, wh1, v1) 13.00000transport( k5, wh1, v2) 3.000000transport( k5, wh2, v2) 18.00000transport( k5, wh2, v13)

17、2.000000transport( k5, wh3, v3) 25.00000transport( k5, wh4, v4) 17.00000transport( k5, wh4, v11) 1.000000transport( k5, wh5, v5) 15.00000transport( k5, wh5, v10) 3.000000transport( k5, wh6, v6) 18.00000transport( k5, wh7, v7) 19.00000transport( k5, wh8, v8) 17.00000transport( k5, wh9, v9) 24.00000tr

18、ansport( k5, wh10, v6) 1.000000transport( k5, wh10, v9) 1.000000transport( k5, wh10, v10) 9.000000transport( k5, wh10, v19) 2.000000transport( k5, wh11, v11) 20.00000transport( k5, wh12, v12) 11.00000transport( k5, wh12, v16) 4.000000transport( k5, wh13, v13) 18.00000transport( k5, wh14, v4) 1.00000

19、0transport( k5, wh14, v14) 15.00000transport( k5, wh15, v15) 18.00000transport( k5, wh16, v16) 25.00000transport( k5, wh17, v17) 27.00000transport( k5, wh18, v18) 23.00000transport( k5, wh19, v19) 22.00000transport( k5, wh20, v3) 3.000000transport( k5, wh20, v17) 3.000000transport( k5, wh20, v20) 1.

20、000000运行结果说明：代理点1转运13辆车到代理点1，代理点1转运3辆车到代理点2，代理点2转运18辆车到代理点2，代理点2转运2辆车到代理点13，代理点3转运25辆车到代理点3，代理点4转运17辆车到代理点4，代理点5转运15辆车到代理点5，代理点5转运3辆车到代理点10，代理点6转运18辆车到代理点6，代理点7转运19辆车到代理点7，代理点8转运17辆车到代理点8，代理点9转运24辆车到代理点9，代理点10转运1辆车到代理点6，代理点10转运1辆车到代理点9，代理点10转运9辆车到代理点10，代理点10转运2辆车到代理点19，代理点11转运20辆车到代理点11，代理点12转运11辆车到

21、代理点12，代理点12转运4辆车到代理点16，代理点13转运18辆车到代理点13，代理点14转运1辆车到代理点4，代理点14转运15辆车到代理点14，代理点15转运18辆车到代理点15，代理点16转运25辆车到代理点16，代理点17转运27辆车到代理点17，代理点18转运23辆车到代理点18，代理点19转运22辆车到代理点19，代理点20转运3辆车到代理点3，代理点20转运3辆车到代理点17，代理点20转运1辆车到代理点20。前五日的最小转运费及短缺损失费为17.04869万元。未来四周的最小转运费及短缺损失费为38.5595万元。4.2.3问题三本题基于问题二，运用matlab对附录5 的数

22、据进行拟合（程序见详见附录），拟合结果如下：最后五个代理点每天每辆车的租赁收入依次为：0.3780，0.4332，0.4384，0.2756，0.2651（单位：万元） 对此拟合结果检验：如图可示 ，这些数据的残差平方和（sse）为0.01862，接近于0，所以我们认为对这五个数据的预测是比较准确的。将模型变为：运用lingo程序求解得：global optimal solution found.objective value: 743.2941objective bound: 743.2941infeasibilities: 0.000000extended solver steps: 0t

23、otal solver iterations: 57772transport( k5, wh1, v1) 13.00000transport( k5, wh1, v2) 2.000000transport( k5, wh1, v11) 1.000000transport( k5, wh2, v2) 19.00000transport( k5, wh2, v13) 1.000000transport( k5, wh3, v3) 25.00000transport( k5, wh4, v4) 18.00000transport( k5, wh5, v10) 5.000000transport( k

24、5, wh5, v17) 3.000000transport( k5, wh6, v6) 18.00000transport( k5, wh7, v7) 19.00000transport( k5, wh8, v8) 17.00000transport( k5, wh9, v9) 24.00000transport( k5, wh10, v3) 3.000000transport( k5, wh10, v6) 1.000000transport( k5, wh10, v9) 1.000000transport( k5, wh10, v10) 7.000000transport( k5, wh1

25、0, v19) 1.000000transport( k5, wh11, v11) 20.00000transport( k5, wh12, v12) 11.00000transport( k5, wh12, v16) 4.000000transport( k5, wh13, v13) 16.00000transport( k5, wh14, v14) 15.00000transport( k5, wh14, v19) 1.000000transport( k5, wh15, v15) 18.00000transport( k5, wh16, v16) 25.00000transport( k

26、5, wh17, v17) 27.00000transport( k5, wh18, v18) 21.00000transport( k5, wh18, v19) 2.000000transport( k5, wh19, v19) 26.00000transport( k5, wh20, v18) 2.000000transport( k5, wh20, v20) 13.00000运行结果说明：代理点1转运13辆车到代理点1，代理点1转运2辆车到代理点2，代理点1转运1辆车到代理点11，代理点2转运19辆车到代理点2，代理点2转运1辆车到代理点13，代理点3转运25辆车到代理点3，代理点4转运

27、18辆车到代理点4，代理点5转运5辆车到代理点10，代理点5转运3辆车到代理点17，代理点6转运18辆车到代理点6，代理点7转运19辆车到代理点7，代理点8转运17辆车到代理点8，代理点9转运24辆车到代理点9，代理点10转运3辆车到代理点3，代理点10转运1辆车到代理点6，代理点10转运1辆车到代理点9，代理点10转运7辆车到代理点10，代理点10转运1辆车到代理点19，代理点11转运20辆车到代理点11，代理点12转运11辆车到代理点12，代理点12转运4辆车到代理点16，代理点13转运16辆车到代理点13，代理点14转运15辆车到代理点14，代理点14转运1辆车到代理点19，代理点15转

28、运18辆车到代理点15，代理点16转运25辆车到代理点16，代理点17转运27辆车到代理点17，代理点18转运21辆车到代理点18，代理点18转运2辆车到代理点19，代理点19转运26辆车到代理点19，代理点20转运2辆车到代理点18，代理点20转运13辆车到代理点20。前五日的公司获利最大为743.2941万元。未来四周的公司获利最大为4199.99万元。4.2.4问题四考虑到购买数量与价格优惠幅度之间的关系，在此假设如果购买新车，只购买一款车型，所以需要考虑购车的成本以及维修费用，首先将汽车使用几年所花费的费用总值计算出来，进而求出每年所花费的平均值，从下列数据可以看出如果汽车的使用寿命为

29、8年，平均每年所花费的费用最低的是第8类车，为5.1513万元。车型第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第一种31.650016.10510.98008.47257.05406.203335.68715.3988第二种32.770016.68011.40338.86007.44406.598336.10005.8325第三种 33.830017.24011.82339.21757.76606.898336.37146.0938第四种30.380015.47010.60338.26756.96806.203335.76145.5338第五种42.850021.80014.890011

30、.5339.62008.460007.73297.2875第六种39.400020.02513.646710.5338.75607.690007.04516.6625第七种 40.780020.74514.160010.9409.12807.998337.28146.8388第八种30.690015.65510.69678.26756.87806.023335.48145.1513第九种45.060022.92515.636712.08510.0608.806678.01577.5300第十种44.220022.45015.243311.7189.68608.418337.60717.0850

31、 n为汽车的使用年限，y为购买汽车的费用，为购买汽车每年所花费的费用的平均值本题基于问题三，选择第8种车型车每年的平均花费为5.1513万元，建立出i个代理站拥有汽车数量的模型，运用lingo软件对数据进行最优化处理，求得要使公司获利最多拥有的汽车数量 =391辆，公司原有的汽车数量为379辆，所以当补充的8号车型的数量为12辆时公司的获利最大。五、结果分析与检验问题一结果的分析：问题一是为了求解汽车的最低转运费用，为了尽量满足代理站的需求，我们假设对于供大于求的代理站在满足自身需求的前提下将多余的车辆都转运给汽车数量不足的代理站，并且前一天转运后每个代理站剩下的汽车数量都作为第二天它们自身的

32、拥有量，用软件对未来四周的数据进行全局优化处理后的出了最终的结果，虽然软件计算可能存在一定的误差，但是经过可靠性分析，运算结果还是比较真实的。问题二结果的分析：因为存在汽车数量不足而给代理站造成短缺损失的费用，问题二的模型可以在问题一的基础上考虑短缺损失费用这个因素，再用lingo进行求解，经过对运算结果的检验，发现这个方法是可行的，没有错误的数据出现问题三结果的分析：首先，运用数据拟合将最后5个代理点每天的租赁费用预测出来，经过对全部租赁费用数据的拟合结果检验，这些数据的残差平方和（sse）为0.01862，接近于0，所以我们认为对这5个数据的预测还是比较准确的。4、问题四结果的分析： 首先

33、通过计算找出一种车型使年均花费金额最少，建立年度获利值最大的数学模型，求解出得到最大利润所需要的汽车数量，然后跟20个代理站原来拥有的车辆数作比较，进而得到需要补充的新车数量。这种方法简便了数据的计算与分析，在lingo软件的计算中，可以比较便捷的得出最优值。模型优缺点与改进方向优点：1）算法在总体上较为简单，只利用了几个公式，便于理解。2）建立的模型模型具有坚实可靠的数学基础。且模型所运用的方法符合现实生活。3）求解模型所考虑的因素比较全面，从全局最优解考虑，这样避免陷入局部最优解的错误。4）使用lingo软件运算最优解的调配方案，为数据的分析提供了便利。缺点：1）各个问题的联系性大，计算项

34、目过多，容易出现计算错误，导致全局出错。2）应用拟合求解时由于给出的数据相差较大，可能对拟合的结果产生一定的影响。3）所需要运算的数据量过大，运算时间较长。模型的改进：1）使用spss、matlab等数学软件进行更精确的统计分析，以求解出更精确的模型结果。2）针对运算运算数据量大，运算时间过长的状况，我们可以限制程序的迭代次数，找出最优解。参考文献1胡运权，运筹学教程，清华大学出版社，2012.112李彦刚/祈忠斌数学建模方法引论北京大学出版社，2012.4.13李卫国，优化与策略，北京理工大学出版社，2012.7.14谢金星，优化建模与lindo/lingo软件，清华大学出版社，2005.7

35、.1附录问题一：00.03394112549695430.1233288287465670.06561279143581680.1445678802500750.1081258599965800.2543142025133480.1022478870197330.1139131247925370.2052988183112610.05588702890653610.07560000000000000.06118823416311340.08222233273265850.07711631733945810.09892018600872120.09496800303260040.09665811

36、916233420.2200097816007280.1776099321547080.033941125496954300.1799299863835930.04837116496426360.1728166658629890.1241347654768800.09266486712880990.06626955862234180.1310727431619560.1374088032114390.1051712888577490.06139087880133330.01368210510118970.04291405364213450.03148691156655410.051919938

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