带电球体电场与电势的分布

1、带电球体电场与电势的分布王峰（南通市启秀中学物理学科江苏南通226006 ）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们 一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电 体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝 缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常 会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法， 来推导出上述问题的答案，并给出相应的“ E r”和“r”的关系曲线图，供大家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是

2、指在真空环境.中，即相对介电常数o 1 ;对 电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 U 0。1、带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体 的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。1.1电场分布：1.1.1内部（rvR）：如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点P处，均有 E1P K 4 r2 OQK21Qsin且 Ep 与 E?p EP 0，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零1.1.2外部（rR）：如忍2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部 P点的电场强度, 可以把带电导体球的表面分割成许通过直径相似对称的两个

3、带电球冠面 S1和S2，当两条线夹角 很小时，S1和s2可以近似看 作两个带电圆面，且S1和S2两个面的尺寸相对它们距离 P点距离很小，这样S1和s2两个带 电面就可以近似处理为点电荷，它们在 P点各自产生电场强度E1P与E2P，计算如下所示： 设球体带电总量为Q ,且均匀分别在导体球外表面上-ds，将每个单元面上电荷在 P点产生的电场 dE进行叠加，求出P点的合场强EP園由于球面上单元面ds的对称性特点，可知P点的电图（1） 场强度EP的方向最终应该沿OP连线的方向。dEds二的带电圆环进行02的环积分，对求出的环形qE+dE电球体在- P点的合场强EP。积分过程上述求电场强度EP的理论方法

4、是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds和ds所在球I电场再进行沿直径方向的00的积分，4 R2如下：如图（2）所示，设OA R, OP r, AP x，球表面电荷的面密度为Epds2 cos x取球面极坐标，则ds Rd ?Rsin d ，其中 为沿直径方向的从0积分角，为带电圆环的从02的还积分。由 OAP 可知：x r2 R2 2rRcosr Rcosr Rcos乂 cosx彳 r2 R2 2rR cos2 2 2 2 2f i2r2 2rR cos r2 R2 r2 R2 2rR cos又 r Rcos2r2r由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空

5、间某点产生的电场强度E，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。E外=K当r R时，有E K ，所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在r R R2处电场强度的值有突变的情况。1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的 电场强度E的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线。1.2电势分布：1.2.1 内部旳 R）：由上述电势理论同样可得：R时，有kQ，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金 势 的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线。即电荷的2.1电场的分布

6、:2.1.1内部（r vR）：如图（5）所示，在此带电球体内部距离圆心r处的电场强度Ep 等于以0为圆心、r为半径的带电球体在此处产生的电场 E1和以0为圆心从r到R的带 电球壳在此处产生的电场E2的叠加；又已知带电球壳在内部产生的电场强度处处为零（即E20），所以P点处的电场强度就等于以r为半径的带电球体产生电场E1。EP = E1qr23-PR3 rQ4(0 r R)的大小与点距球心的半径r成正比。所以，带电绝缘体内部的电场强度2.1.2外部（r R）:和带电导体球（或球壳）产样，仍可视为集中在球心处的点电荷在 该处产生的电场（r只图（5）E外=K仝 外r2当r R时，有电场强度的最大值E

7、maxK -Q-，所以，带电绝缘体球的内、外部的电R2场强度是连续分布的；在r R处，电场强度最大。2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强度E的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线0外部（rR）:由上述电势理论同样可得：N/ I2.2电势的分布：2.2.1 内部（rR）:于对电场场强从该点到无穷远的积分。即:2.2.2可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等OO0时，即在球体的圆心处电势最高，有03KQ莎R，即在此球壳处处电势为 R空iER 2R的分布曲线是连续的。I带电绝缘体球的内、外部的电势的大小随P点到圆|/示，P所以带电绝缘体球的内、夕2.2.3 图景：如图（7） 所心0的距离r的关系图线0 OO本文运用数学的积分思想对度认识物理过程，加但高三学生复习本节知识点时，对论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存,A A tH A At1r电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角 识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维。 分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结以达到在高考时节省用在选择题中时间的目的。参考书目:2竇学1985年6月第二版高等教育出版社人民教育出1、赵凯华、陈熙、普通高中课程标准实验教材物理 312004年5月第一版 版社图（7）联系方式：单位 : 南通市启秀中学物理学科王峰Post: 226001Tel