高中物理竞赛光学试题 -文档资料

1、例1、证明：入射到光纤一端的光线锥的最大夹角为2221arcsinnn 2n1n2证明：i1i2 两次折射关系：11cossinin2211sinsininin 角越大，i1 越小，i1 必须大于临界角121arcsinnniic结果得证例2、设曲面 S 是有曲线 CC 绕 X 轴旋转而成的。曲面两侧的折射率分别为 n 和 n，如果所有平行于X 轴的平行光线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n = - n，结果如何？CCOXY解：FfAB 分析解本题可用折射定律求曲面法线方程的方法，再结合已知条件，可求得CC曲线方程。 用等

2、光程原理求解本题更简单nnCCOXYFfAB (x, y) 选取一条入射光线AB 和一条沿 X 轴入射 的光线;nn 等光程：OFnBFnABn 几何关系：xAB 22yxfBF CC曲线方程：fOF 0222222fxnnnynxnn n = - n 时：fxy42椭圆方程抛物型反射镜例1 有一半导体发光管，发光区为半径为 r 的圆盘，发光面上覆盖一折射率为 n、半径为 R 的半球型介质，如图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发生全反射，介质半球的半径 R 至少应多大？（第11届全国中学生物理竞赛题）R发光区Onrnic1arcsin解： 第一步：全反射条件OAPB 第二步：反射光

3、的几何性质 考察任意一点 A 发出的光线在球面上任意一点P 反射后的光线 因此反射光线一定在 APO 平面内，与发光面交点 B 在 AO 延长线上，即AO所在的直径上PRBR P 点的法线沿 PO 方向反射线、折射线、法线三者共面 A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交 第二步：数学推导EFROnrP EO区内E点光线的入射角iE最大，同样FO区内F点的光线的入射角iF最大;iEiF 求 F点光线的最大入射角niicF1arcsinmax 不发生全反射:RriFarcsinmax 如果 P 点在右半边，则有 iF iE , P 点在左边,则反之;EPEOPriEsinsinFPEOP

4、FPFOPriFsinsinsinFPEP nrR rROFPiFsinsin例2 图示一个盛有折射率为 n 的一体的槽，槽中的中部扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB 的中点有一亮点 C。 试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可不计它对光线产生折射的影响）（第13届全国中学生物理竞赛予赛题）解：ABDn = 1nCq 在液面上折射时，所有光线都发生全反射时，则光线出不来。ABDn = 1nCqbg 全反射条件：nC1arcsingEF 三角几何关系E点和F点法线的夹角DB和水平方

5、向的夹角：只要 g 的最小值小于临界角，则总会有光线出来bsinsinng 最小 b 最大 C点发出光线 CD的 最大q2max11tan2nqqbg2例3： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，若平板折射率按 变化，q 为常数，并在 A 点以 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板的厚度。qxn410AOXYd解： 折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹； 介质折射率连续变化，可将平板沿 X 方向切成一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。 折射定律的级联形式：AAxxnnnnbbbsinsinsin110bxqxnnx410AOXYdAAxxnnnnbbbsinsi

6、nsin110bxqxnnx410P(x, y) P点光线的方向由bx 决定:qxnnxx411sin0b P点光线的切线斜率 kp :qxkxp41tanb 曲线 y = f(x)与斜率 kp：dxdykp A点的条件：bsin90sinAoAnAAnn0sinb和qxy 2 光线轨迹方程：220sinnnA 结论：qnxA2024sinqnydA02sin和例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地降低： ，在xoy 平面内有一光线以入射角qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。 qynyn0OXY解:q0 从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲，而且

7、是倾向于向折射率大的方向偏折。 从图可知：光线 X 轴最远点 为切线在水平方向时的切点处。 qynyn0 沿Y 方向分割成一系列薄层，应用折射定律。sinsin00nn 由初始条件 求出0:0090sin30sinoonqnny41200max0例5、图示三棱镜的顶角 60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距均为 f = 30cm的两个完全相同的凸透镜 L1和 L2，若在 L1 的前焦面上距主光轴下方 y =14.3cm 处放一单色点光源 S，已知其像 S 与 S 对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国中学生物理预赛题）FfySSL1L2解： 分析：光路系统及物像左右对称，

8、考虑到光线的可逆性原理， 因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边n = ?FfySSL1L2 选取一条特征光线通过透镜光心的光线i1i4i3i2 几何关系：b41ii 32ii b21ii32iifybtann = ? 计算得：65. 1sinsin21iin例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成像位置和大小如图中所示。试用作图法求物经 L1 成像位置与大小，作出 L1 及透镜组合系统的焦点位置（画出物方或像方中的一个即可），说明 L1 和 L2 的凹凸性。L1L2解：物P像P 物点P发出的光线1通过 L1 光心； 通过像点P并经过 L2光心的光线2 ；12光线1经过 L2 后的

9、光线1 的延长线通过像点P；12 在 L2 上对应于2 的入射光线为2 ； 1 和 2 交点是物点 P 经 L1 所成的中间像点；P”L1L2物像1212 物点 P 发出的水平光线经 L1 后与 P” 相交确定 L1 的焦点 F1F313F 出射光线 3 通过 P 与光轴相交于 F L1为负透镜，L2 为正透镜例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴方向放置一细条形发光体A1A2（如图示），其长度为l=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此外可能还有亮度更暗的像不必考虑），当条形

10、发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上跟着移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，试利用以上数据求出此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。OA1A2a2解： 分析 两个像一为平面反射的像； 另一个为经过平面折射 球面反射 平面折射nROA1A2a2 求光轴上一点A（在O左方a处）的A经过三次所成的像，Ru 注意点：半球的 r = -Rnrnnsnsn计算可得，最后的像A在O右边sA处：RnaaRsA2显然 sA sA2 A1A2A”2A”1 A 经平面反射的像 A” 在O右边 a 处，两条形

11、像头尾相接， A1 与A2” 重合l6 . 12laalRn例9、一块玻璃台板厚度为 d，折射率为 n，看到压在台板下的报纸上的字相对于真实位置要上移一个距离 l，试求 l。SSndlO1O2解：S” S相对于O1的物距 为 s其像S”相对于O1的像距nss 1例如 n=1.5，l= d/3 分析利用公式 求解两次成像过程snsn 中间像S”相对于O2的物距为dnss2S相对于O2的像距:ndnss2S相对于O1的像距:dndnss1dnnssl11例10、长度为 h=4mm 的物体由图示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标于图中。求

12、：1）像的位置；2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。（第13届全国物理竞赛复赛题）AB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cm f2=10cm解： 分析 棱镜不仅起反射作用，两个直角面上的折射也必须考虑； AB经过棱境全反射后，再分别经L1和L2成像； 棱镜反射相当于反射镜，两次折射等效于平板玻璃的作用。6cmAB平板折射像ABAB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cmf2=10cm 全反射条件 ：o421arcsinniC近轴成像 棱镜的等效成像:AB与AB等高，在AB右侧cmdnnl21lAB反射像6cm 最后的像成在

13、L2的焦点上，即L2左侧10cm处，像高2mmABL1L2 作图F1F2A”B”例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、棱镜折射率为n、棱角很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n的肥皂膜遮住棱镜的一半，发现条纹上下移动了a，求肥皂膜的厚度。SS2S1解：SS2S1L1L2屏n 分析采用等效的虚光源后，有类似于扬氏干涉的干涉条纹；DxXt（2）肥皂膜厚度t ： 求等效光源S1和S2的间距d ：SS2S1L1L2屏nOd棱镜角 很小q偏向角q1 nq12211nLLdX（1）条纹间距 Dx ：l1212121DnLLLdL

14、LxDxa光程差的变化tn 1xatnDl1l112211nLLanLt例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到1.15um之间的电磁波初值垂直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。(第3届国际奥林匹克题）解： 下表面反射的光要比上表面反射的光多走2d的光程d 在玻璃表面反射时，有180o的相位改变（半波损失） 干涉增强条件：11122llkd21222llkd和21211212llkk 可筛选出k1和k2的可能值： k1=2 和 k2=1l2=0.66

15、7mm例13、沿着肥皂膜法线成45o角的方向观察时，膜显绿色(l1=500nm)。设肥皂膜折射率为1.33，求：(1)肥皂膜的最薄厚度。(2)如改为垂直观察，膜是何种颜色？解：2cos2lq ndrdn=1.33i=45oq112cos2llqknd(1) 干涉极大条件inkd221sin221l膜最薄nmind111sin221221l(2) 垂直入射：i = 0o, q = 0o1242122kndkndl122 .585k可见光范围k只能取0nm2 .5852l例14、两平板玻璃间构成劈形空气膜，波长为500nm的单色光正入射时，观测到膜上的干涉条纹间距为1mm，求劈角。解：2cos2l

16、q ndr 分析XDx 光程差主要决定于厚度，形成等厚条纹； 正入射时，q0，2222llxdr 光程差86. 0105 . 24弧度 光程差改变一个波长，条纹变化一个周期lDx2？条纹条纹图示：平板平整度的检测 条纹llqkxr2cos2亮条纹位置例14的讨论：例15、一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径小孔直径为d，暗盒中像成在小孔厚距离为D 的感光胶片上，物体位于小孔前L处，所用照明波长为 l 。（1）估计成像清清晰时小孔半径的大小； （提示：函数 ，对于 x 0， 时， y 最小）（2）若使用（1）中算出的小孔，试问物体上两点间的 最小距离多少时，两点的像是可分辨的？针孔成像xbaxyabx AdDL解：分析 分析 小孔成像利用光的直线传播 小孔越小越好；AdDLa 几何投影像的直径dLDLa 小孔衍射使得像点成为像斑 小孔越小越好；a”/2 衍射效应增加的直径Ddal22. 12A 的像的总直径 a = a + a”（