(江苏专版)2020版高考数学一轮复习导数与函数的单调性教案(理)(含解析)苏教版

1、第二节 导数与函数的单调性函数的单调性在( a，b)内可导函数 f ( x) ，f (x)在( a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f (x) 0? f (x) 在( a， b)上为增函数 f (x) 0? f ( x)在( a，b)上为减函数 小题体验 1函数 f(x)exx 的减区间为 答案： ( ， 0)32已知 a 0，函数 f(x)x3ax 在1 ， )上是增函数，则实数 a 的取值范围为答案： (0,31求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决2注意两种表述“函数 f ( x)在( a，b)上为减函数”与“函数 f ( x)的减区间为 ( a，b)

2、 ”的区别 小题纠偏 121函数 y 2x2 ln x 的单调递减区间为 21 x 1x 1x 1解析： y xx x x( x 0) ，令 y 0得 0x 0) ，1从而 f(x)2ax(2a1) x2ax22a1 x 1x2ax 1x 1x当 a0时，由 f (x) 0，得 0x 1；由 f (x)1， 所以 f(x)在(0,1) 上单调递增，在 (1 ， )上单调递减2a当 0a2时，由 f (x) 0，得 0x1；由 f(x)0 得2ax 0，得 0x21a；由 f(x)0，得 1x 0 时，令 3x a0，得 x，33a或f (x) 0；当 33ax 33a时， f (x) 0 时，

3、f(x)在 ，3a， 上为增函数，在 3a， 3a 上为减函数3 3 3考点二 求函数的单调区间 重点保分型考点师生共研 典例引领 2x已知函数 f ( x) ( x2 axa)e x，其中 aR， e是自然对数的底数(1) 当 a1 时，求曲线 yf (x)在 x0 处的切线方程；(2) 求函数 f ( x)的单调减区间 解：(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，所以 f(0) 1. 因为 f(x)(x23x2)ex，所以 f(0) 2. 所以切线方程为 y12(x0) ，即 2xy10.2xx(2) 因为 f(x)x2(a2)x2aex(xa)( x2)ex，当 a2 时，f (x)

4、( x 2) 2ex0，所以 f( x)无单调减区间 当a 2，即 a2 时，列表如下：x( ， 2)2( 2， a)a( a，)f (x)00f (x)极大值极小值所以 f ( x)的单调减区间是 ( 2，a) 当a2 时，列表如下：x( ， a)a( a， 2)2( 2，)f (x)00f (x)极大值极小值所以 f ( x)的单调减区间是 ( a， 2) 综上，当 a2时， f ( x)无单调减区间；当 a2 时， f(x) 的单调减区间是 ( a， 2) 由题悟法 求函数的单调区间的 2 方法 法一： (1) 确定函数 yf(x) 的定义域；(2) 求导数 f (x) ；(3) 解不等

5、式 f(x) 0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4) 解不等式 f(x) 0在(0 ， )上恒成立， f ( x)的单调递增区间是 (0 ， ) ，无单调递减区间 当 a0 时，由 f (x) 0，解得 xa，函数 f ( x)单调递增；由 f (x) 0，解得 0xa，函数 f( x) 单调递减， f ( x)的单调递减区间是 (0，a) ，单调递增区间是 (a，)a 当 a 0，解得 x 2，函数 f(x) 单调递增；a由 f (x) 0，解得 0x0，符合题意；当 a0 时， f ( x)的单调递减区间是 (0，a) ，单调递增区间是 ( a， ) ，2 2 2f(x)minf(

6、a)aaaln a0，解得 0 a1；a 当 a0，2所以当 m m恒成立故实数 m的取值范围为 ( ， 2e2) 考点三 由函数的单调性求参数的取值范围 重点保分型考点师生共研 典例引领 (2019木渎高级中学模拟 )已知函数 f(x)2xln xx2ax(aR是常数 )(1) 当 a2 时，求曲线 yf ( x)在点(1 ，f (1) 处的切线方程；1(2) 若 f( x) 在区间 e，e 内单调递增，求 a 的取值范围2解： (1) 因为 a2 时， f (x) 2xln xx22x，f (x) 2(ln x1) 2x2 2ln x 2x4，所以 f (1) 2，f (1) 1，故切线方

7、程是 y12(x1) ，即 2xy10.(2) f (x) 2ln x 2xa 2，11若 f (x)在区间 e，e 内单调递增，则 a22( xln x) 在区间 e，e 内恒成立，11 x 1设 h(x)xln x，x e，e ，则 h(x) 1x x ，ex x1由 h(x) 0，得 1 xe；由 h(x) 0，得 ex1，e1故 h(x)在 e，1 内单调递减，在 (1，e 内单调递增，e11而 h 1 0 恒成立，即 f (x) 在 R 上单调递增；若 a0，令 e a0，解得 xln a，即 f (x) 在 ln a， ) 上单调递增，因此当 a0时， f ( x)的单调递增区间为

8、 R；当 a0 时， f (x) 的单调递增区间为 ln a，) (2) 存在实数 a 满足条件因为 f (x) exa0在( 2,3) 上恒成立，所以 aex在( 2,3) 上恒成立又因为 2x3，所以 e2 ex e3，要使 aex在( 2,3) 上恒成立，只需 ae3. 故存在实数 ae 3， ) ，使 f (x)在(2,3) 上单调递减一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数 f( x)xln x 的单调减区间为 1 x 1 解析：函数的定义域是 (0，)，且 f(x)1x x ，令 f(x) 0，得 0xxx1.答案： (0,1)2(2018启东中学检测 ) 已知函数 f( x) x1(

9、e1)ln x，其中 e为自然对数的底 数，则满足 f(ex)0) ，得 x e 1.x当 x(0，e1)时，f (x) 0，函数 f ( x)单调递减； 当 x(e 1， )时，函数 f( x)单调递增又 f (1) f (e) 0,1 e1 e，所以由 f (e x) 0 得 1 ex e，解得 0x0，则只要当 x1或 x 1时，满足条件即可，此时 a1，即 0 a1. 综上 a 1.答案： ( ， 1二保高考，全练题型做到高考达标1若幂函数 f ( x)的图象过点22，12 ，则函数 g(x) exf ( x)的单调递减区间为解析：设幂函数 f ( x) x，因为图象过点 22，12

10、，所以12 22 ，2，所以 f (x) x2，故 g(x)exx2，令 g(x)exx22exxex(x22x)0，得 2 x0 时，函数 f ( x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)e x 0，解得 x2.答案： (2 ，)13若函数 f ( x) 3x3 x2 ax3a 在区间 1,2 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 3解析：因为 f (x) x2 2x a，且函数 f(x)在区间 1,2 上单调递增，所以 f (x) 0在1,2 上恒成立，所以 a(x 2x) min 3，所以 a3. 答案： ( ， 3124(2018淮安期末 )若函数 f(x)2x2aln x 在其定义

11、域内的一个子区间 (a2，a 2)上不单调，则实数 a 的取值范围是 解析：函数 f(x) 的定义域是 (0 ， ) ，故 a20，解得 a2， aa而 f (x) xx，令 xx0，解得 x a.因为 f(x)在(a2，a2)上不单调，所以 a 2 a a 2，解得 0a 4.综上， a 2,4) 答案： 2,4)5(2018姜堰中学学情调研 )函数 f( x) 在定义域 R内可导，若 f( x)f(2x)，且当 1x ( ，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf 2 ，cf (3) ，则a，b，c 的大 小关系为 解析：依题意得， 当 x0，f ( x)在( ， 1)上为增函数 又

12、 f(3) f(1 1 11)，且 1 0 2 1，因此 f(1)f(0) f 2 ，即 f(3) f(0) f 2 ，cab.答案： ca0，且 f(0) 1，则不等式 f(x)0，所以 g(x)在 R上单调递增，而 f(0) 1，故 g(0) 1.f(x)ex等价于 exf (x)1，则 g(x) g(0) ，解得 x0.答案： ( ， 0)7已知定义在 R上的可导函数 f(x)满足 f (x) 1，若 f(2m)f(m)22m，则实 数 m的取值范围是 解析：令 g( x) f (x)x，所以 g(x) f (x) 10，即 g(x)在 R上单调递减，由 题可知 f(2m)f(m)22m

13、，即 f(2m)(2 m) f ( m) m，也即 g(2m) m，即得 m 1.答案： ( ， 1)1x线垂直于直线 y2x.(1) 求 a 的值；(2) 求函数 f ( x)的单调区间解：(1) 对 f(x)求导得 1a1 f (x) 2 ， x x8已知函数 f(x)( xR)满足 f(1) 1，且 f(x)的导数 f (x) 2，则不等式 f(x2)21 2的解集为 解析：设 F(x)f (x)21x，所以 F(x) f (x) 21，因为 f (x)21，所以 F(x)2 x2 1 2 x2 f(x2)22，所以 f(x2) 2f(1)1f (x) 2 0，即函数 F(x) 在 R上

14、单调递减因为12，所以 F( x2) 1，即 x(，1)(1， )答案： ( ， 1) (1 ，)x a39已知函数 f (x)4xln x2，其中 a R，且曲线 yf(x)在点(1，f (1) 处的切4 x21 3 5 由f ( x)在点(1 ，f (1) 处的切线垂直于直线 y 2x知f (1) 4a 2，解得 a4.x 5 3(2) 由(1) 知 f(x) 44xln x2，x 4x 5 则 f (x) 2 .4x令 f (x) 0，解得 x1或 x5.因为 x 1 不在 f (x) 的定义域 (0 ，) 内，故舍去当 x(0,5) 时，f (x)0，故 f (x) 在 (5 ， )

15、内为增函数 综上， f ( x)的单调增区间为 (5 ， ) ，单调减区间为 (0,5) 1210(2018前黄高级中学期末 ) 已知函数 f( x) 2ax22xln x( a R)(1) 当 a3 时，求函数 f(x) 的单调区间；(2) 若函数存在单调增区间，求实数a 的取值范围解：(1) 当 a3时，f (x)23x22xln x，其定义域为 (0 ， ) 13x 1x 1f (x)3x2xx ，1 当 x 0，3 时，f (x) 0，f(x) 单调递增11 f ( x)的单调减区间为 0，3 ，单调增区间为 3， .12(2) f ( x) 2ax 2 2x ln x，其定义域为 (

16、0 ，)，21 ax22x 1 f (x)ax2xx .若函数存在单调增区间，则 f (x)0在区间 (0 ， )上有解， 即 ax22x10在区间 (0， ) 上有解1 2x1 2x分离参数得 a x2 ，令 g( x) x2 ，则依题意，只需 ag(x) min即可 xx1 2x 1 2 g(x) x2 x1 1， g(x) min 1，故所求 a 的取值范围为 (1，) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校11已知函数 f (x)是函数 f ( x)的导函数， f(1) e，对任意实数 x，都有 f ( x) f (x) e0，则不等式 f (x)0， g(x)0，即 g(x)为 R上的减函数

17、g(1)f1e1由不等式 f ( x) ex2f x 2 1得f exx e2e12，即 g( x) 1，不等式 f (x) 0 时， f ( x)的增区间为 (0,1) ，减区间为 (1 ，)； 当 a0 时， f ( x)的增区间为 (1 ， ) ，减区间为 (0,1) ； 当 a0 时，f ( x)不是单调函数a(2) 由(1) 及题意得 f(2) 21，即 a2，2x2 所以 f(x) 2ln x2x3，f (x) x 所以 g(x) x3 2m2 x2 2x，2所以 g(x) 3x2( m 4) x 2.因为 g(x)在区间 (t, 3)上总不是单调函数，g t 即 g(x) 0在区间( t, 3)上有变号零点由于 g(0) 2，所以g 32当 g(t)0，即 3t 2