微机控制技术 第6章6-2

1、内容提要 惯性因子法 大林算法 小结最少拍随动系统的设计 最少拍控制 要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉冲传递函数式 其中，N是可能情况下的最小正整数，即闭环脉冲响应(z)在N个周期后变为0 实质上是时间最优控制，最少拍控制系统也称为最小调整时间系统或最快响应系统 11( )NNzm zm z最少拍随动系统的设计（2） 一 对最少拍控制系统设计的具体要求 (1)(1) 对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差。 (2) 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数最少。 (3)

2、 数字控制器必须在物理上可以实现。 (4) 闭环系统必须是稳定的。最少拍随动系统的设计（3） 二 最少拍控制系统的设计步骤 (1)(1) 根据控制系统的 性能要求和其它约束条件，确定所需要的闭环脉冲传递函数M(Z)(z)。 (2) 求广义对象的脉冲传递函数G(z)。 (3) 确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)。 (4) 根据D(z)求取控制算法的递推计算公式。最少拍随动系统的设计（4） 三 最少拍控制系统的设计方法： 1 最少拍控制系统的框图最少拍随动系统的设计（5）2 2 系统的闭环传递函数为3 误差脉冲传递函数为 4 因此最少拍系统的数字控制器为 5 广义对象G(Z) ( )( )( )

3、1( )1( )( )( )1( ) ( )eE zR zY zzzR zR zD z G z 1( )( )( )( )1( )( ) ( )eezzD zG zzz G z( )( )( )1( )( )D z G zzD z G z 为分析问题简单起见，假设广义对象满足以下条件： 1) 广对象G(Z)的零极点全部集中在Z平面的单位园内，即对象是稳定的。 2)对象G(Z)没有纯滞后。11( )(1)!qr ttq对于典型输入的分析： ，其z变换为： 其中B(z)为不含1-z-1因子的z-1多项式；q =1，输入为单位阶跃输入函数；q =2，输入为单位速度输入函数；q =3，输入为单位加速度

4、输入函数。1( )( )(1)qB zR zz1)1) 根据Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)，即： 因此： 这里 则有：( )Z1111( )lim(1) ( )lim(1) ( )( )lim(1)( )0(1)eeqzzzB zezE zzR zzzzz1( )1( )(1)( )qezzzF z 11()1ppFzfzfz1( ) 1( ) 1 (1)( )qezzzF z 7 找闭环脉冲传递函数( )Z11( )1ppF zf zf z 最少拍随动系统的设计（7）2) 2) 根据最少拍控制，确定最少拍控值的闭环脉冲传递函数(z) （快速性约束条

5、件） 根据 可知，(z)中z-1的最高次幂为N = p + q，故系统在N拍可以达到稳态 当 p = 0时，系统可以在最少 q 拍达到稳态 上述两点可得最少拍控制器选(z) 为： 最少拍控制器D(z)为：1( )1( )1 (1)( )qezzzF z 1( )1 (1)qzz 11( )1 (1)( )( )1( )( )(1)qqzzD zG zzG zz最少拍随动系统的设计（11） 3 3 ) ) 最少拍控制器的可实现性 所谓控制器的可实现性，是指在控制算法中，不允许出现未来时刻的偏差值，即要求数字控制器D(z)中不能有 z 的正幂次项 如果广义对象的脉冲传递函数为 ，则由于广义对象中包

6、含零阶保持器，它是滞后的，因此有： 设数字控制器D(z)为 ，则要求： 其含义是：要产生k时刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k时刻的误差e(k)、e(k-1)、.以及过去的控制量u(k-1)、u(k-2).( )( )( )G zQ zP zdeg ( )deg ( )P zQ z( )( )( )D zA zB zdeg( )deg( )B zA z4) 4) 最少拍控制器的稳定性 在最少拍控制中，闭环传函 ，其全部极点都在 z = 0处，因此系统输出值在采样时刻的稳定性可以得到保证。但系统在采样时刻的输出稳定并不能保证联系物理过程的稳定。如果控制器D(z)选择不当，控制量u就可能时发散

7、的。系统在采样时刻之间的输出值以振荡形式发散，则实际连续过程是不稳定的 在最少拍系统设计中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变量收敛，才能使闭环系统在物理上真实稳定 1( )1 (1)qzz ()()()()MzzRzGz最少拍随动系统的设计（8）四四 典型输入下的最少拍控制系统分析。 1 单位阶跃输入（q =1） ，其Z变换为 ，系统闭环传函为 误差函数 上式说明只在1拍内有误差，一拍以后准确跟踪上输入。 用长除法： 因此系统只需1拍就可以达到稳态( )1r t 11( )1R zz11( )1 (1)qzzz 111()()()()1()(1)11eEzRzzRzzzz11

8、2311( )( ) ( )1Y zR zzzzzzz最少拍随动系统的设计（9）2 单位速度输入（q = 2） ，其Z变换为 ，系统闭环传函为 误差函数为： 上式说明只在2拍内有误差， 2拍后就能准确跟踪上输入。 用长除法有： 因此系统只需2拍就可以达到稳态( )r tt112()(1)T zR zz1 212( )1 (1)2zzzz 112112( )( )( )( )1( )(12)(1)eTzE zR zzR zzzzTzz11223412()()()(2)234(1)T zYzRzzzzT zT zT zz最少拍随动系统的设计（10）3 单位加速度输入（q =3） ，其Z变换为 ，系

9、统闭环传函为 误差函数为 上式说明只在3拍内有误差，三拍后就能准确跟踪上输入。 用长除法 因此系统只需3拍就可以达到稳态21()2rtt21113(1)()2(1)TzzRzz1 3123( )1 (1)33zzzzz 12211()()1()22EzRzzT zTz222339( )( ) ( )22Y zR zzT zT z举例例一 设被控对象具有传递函数经采样（T=1）和零阶保持，其广义对象的脉冲传递函数为： 试求其对于单位阶跃输入的最少拍控制器。(1) 求闭环脉冲传递函数，对于这个系统，如果我们按表6-1的设计考虑，令)252. 1(1 . 2)(20sssG1( ) zz01()()

10、T SeGZZGSS (2) 其对应的脉冲传递函数为：)286. 01 ()1 ()2 . 01)(78. 21 (265. 0)(121111zzzzzzG(3) 数字控制器：)2 . 01)(78. 21 ()286. 01)(1 (774. 3)(1111zzzzzD由此可导出输出量及控制量的Z 变换：1231111123( )( ) ( )( )3.774(1)(1 0.286)( )( )( )(12.78)(10.2)3.774 16.146.96130.985Y zz R zzzzzzzU zR zG zzzzzz 从零时刻起的输出系列为0，1，1，表面上看来可一步到达稳态，但控

11、制系列为3.774，16.1，49.96，130.985，故是发散的。事实上，在采样点之间的输出值也是振荡发散的，所以实际过程是不稳定的，如图6-3所示。( )( )( )( )M zzR zG z 系统在采样时刻的输出稳定并不能保证联系物理过程的稳定。如果控制器D(z)选择不当，控制量u就可能时发散的。系统在采样时刻之间的输出值以振荡形式发散，则实际连续过程是不稳定的 在最少拍系统设计中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变量收敛，才能使闭环系统在物理上真实稳定 。 例2. 设对象模型为 现在设计一个对阶跃输入为最小拍的数字控制器。(T=1) 112 .2()11 .2zGzz

12、(1) 1( )zz求闭环脉冲传递函数，对于这个系统，如果我们按表6-1的设计考虑，令(2) 其对应的脉冲传递函数为：112.2( )1 1.2zG zz1( )( )( )( )1( )( ) ( )eezzD zG zzz G z(3)当输入为单位阶跃时,数字控制器：110.4545(1 1.2)( )1zD zz(4) 输出量的Z变换：12( ).Y zzz11()();()()()()1()1YZZYZZRZRZYZZZ 六 最少拍系统中确定 (z)的一般设计方法： 前面的最少拍设计是针对G(z)稳定无滞后要求而设计的特殊系统，对一般系统大部分是不稳定，有滞后的系统需要改进，我们知道最

13、少拍系统设计实质上是零极点对消方式。在这里不能采取D(z)和G(z)零极点对消方式，而从理论上得到稳定的闭环系统，其原因是：当D(Z)参数漂移时，零极点对消不能准确实现，系统将出现不稳定的极点，因此应注意在控制器中不应出现与对象不稳定极点相消的极点，我们知道闭环脉冲传递函数有()()()1()()1()1()1()()eD Z G ZZD Z G ZZZD Z G Z 看出看出D(Z)G(Z)是成对出现的，但不允许用是成对出现的，但不允许用控制器D(Z)的另极点来抵消G(Z)中的另极点，原因是这样做系统会不稳定，故 G(Z)中不稳定的另极点，只用 (z) e(z)的另极点来抵消。 一般说来，若

14、被控对象有 l 个采样周期的纯滞后，并有 u 个在单位圆上或圆外的零点 bi ，v 个在单位圆上或圆外的极点 aj ，即1111(1)( )( )(1)uliivijzb zG zG za z则选择系统闭环传函必须满足如下约束条件： (1) e (z)零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的极点 。 (2) (z)的零点包括G(z)的单位圆上或圆外的零点 。 (3) (z)中增加滞后时间大于等于G(z) 纯滞后时间的纯滞后环节。设被控对象具有传递函数 经采样（T=1）和零阶保持，其对应的传递函数为 试求其对于单位阶跃输入的最少拍控制器。对于这个系统，如果我们按一般要求设计考虑，对象G（Z） 在单

15、位圆外有一个零点Z= -2.78 ,为保证系统稳定性，M(Z)必须含有相同的零点，则 (A)这样，根据 _(B) F(Z)=?在选取F(Z)时，就不能简单地令F(Z) =1，而应根据(A)中的M(Z)中1/Z幂次来确定的F(Z)次数。故F(Z)应取 )252. 1(1 . 2)(20sssG)286. 01 ()1 ()2 . 01)(78. 21 (265. 0)(121111zzzzzzG111zm)78z. 21 ()Z(M)()1 ()(1q1zFzzM111zf由(A)(B)联立可得从而可得数字控制器的传递函数以及控制量的 变换 即控制量从零时刻起的值为1，1.486，0.5832，

16、0.1166，故是收敛的。输出量的变换为输出量系列为0，0.265，1，1，故可得到稳定的控制，如图6-4所示。 )1)(1 ()(1111zfzzM735.0,265.011fm)735. 01)(2 . 01 ()286. 01)(1 ()(1111zzzzzD3211111166. 05832. 0486. 112 . 01)286. 01)(1 ()(zzzzzzzU321111265.01)78.21(265.0)(zzzzzzzY 从这里看出，调节时间延长了一拍。原因是被控对象在单位圆外有一个零点，为满足系统稳定性条件，必须在调节时间上做出牺牲。 对象不稳定的零极点的数目越多，调节

17、时间越长。同样，对象滞后时间越长，调节时间也越长。 七 最少拍控制器的局限性 1 1 最少拍控制器对典型输入的适应性差 最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入 设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差 例如，按单位速度输入来设计(z)： 比较三种不同输入的响应： 1 212( )1 (1)2zzzz 对单位阶跃输入 ，Z变换为 其输出： 在各采样时刻的输出值为0，2，1，1，即系统在1拍后出现100%超调，2拍后稳定，并达到设定值( )1r t 1212311()()()(2)21YzRzzzzzzzz11( )1R zz 对单位速度输入 ，Z变换为 其输出： 在各采

18、样时刻的输出值为0，0，2T，3T，即系统在2拍后就能准确跟踪速度输入( )r tt1122341 2( )( ) ( )(2)234(1)TzY zR zzzzTzTzTzz11 2( )(1)TzR zz 对单位加速度输入 ，Z变换为 其输出： 在各采样时刻的输出值为0,0,1, 3.5, 7,11.5，系统在2拍后出现稳定的静差ei=ri-yi=121( )2r tt21113(1)( )2(1)T zzR zz2111222232413(1)( )( )( )(2)3.572(1)TzzYzR zzzzTzTzTzz 最少拍控制器的适应性特点： 针对某典型输入R (z)设计得到的最少拍

19、(z)， 用于次数较低的R(z)，系统将出现大超调，但能稳定无静差 用于次数较高的R(z)，系统将有稳定的静差 结论：一种典型的最少拍(z)只适用于该类型的输入 2 2 最少拍控制器对参数变化过于敏感 按最少拍控制设计的闭环系统只有多重极点 z = 0，从理论上可以证明，这一多重极点对系统参数变化的灵敏度可达无穷，因此如果系统参数发生变化，将使实际系统控制严重偏离期望状态 例如，对一阶对象 ，选择单位速度输入来设计(z)： ，由此得到数字控制器为：12( )2zzz110.5( )1 0.5zG zz11 24(1 0.5)( )(1)zD zz 若被控对象的时间常数发生变化，如对象的传函变为

20、 ，则系统的闭环传函为 在单位速度输入时其输出为 各采样时刻的输出值为0，0，2.4，2.4，4.44，显然与期望值0，1，2，3，相差甚远110.6( )10.4zG zz112232.4(10.5)( )10.60.2zzzzz2234( )( ) ( )2.42.44.44Y zR zzzT zz 3 3 控制作用易超出范围 在最少拍控制设计中，对控制量未作限制，因此，所得到的结果应该是在控制能量不受限制时系统输出稳定地跟踪输入所需要的最少拍过程。从理论上讲，由于通过设计已经给出了达到稳态所需的最少拍，如果将采样周期取得充分小，便可使系统调整时间任意短。这一结论是不实际的，因为当采样频率

21、加大时，被控对象传函中的常数系数将会减小 例如，对一阶惯性环节 ，式中 ，采样周期 T 的减小将引起 增大，与此同时，控制量 将随着 的减小而增大。由于执行机构的饱和特性，控制量将被限制在最大值内。这样，按最少拍设计的控制量将不能实现11(1)( )1zG zz1exp(/)T T()()()()zMzRzGz1 4 4 在采样点之间存在波纹 最少拍控制只能保证在采样点上的稳态误差为零，在许多情况下，系统在采样点之间的输出出现波纹，这不但使实际控制不能达到预期目的，而且增加了执行机构的功率损耗和机械磨损 例如，对被控对象 经采样和零阶保持后(T=1)，其广义脉冲传递函数为：10( )(1)G

22、ss s11111103.679(10.718)( ), ,?(1)(1)(1 0.3679)TsezzG zZa b lss szz 针对单位速度输入设计最少拍控制器，选择 因此112121( )(1)( ),0,0uliizzb zzm zm zlu11121( )1( )(1) (1)( )(1) ,1,2 ?vqejjzza zzFzzvq12( )2zzz1111( )0.5434(1 0.5)(1 0.3679)( )( )1( )(1)(1 0.718)zzzD zG zzzz11 211 2( )( )( )(1)(1)eTzE zR zzzzz1122341 2( )( ) ( )(2)234(1)TzY zR zzzzzzzz111123110.5434(1 0.5)(1 0.3679)( )0.540.320.40(1)(10.718)zzM zzzzzzz最少拍无波纹随动系统的设计 最少拍无波纹系统的设计，是在最少拍控制存在波纹时，对期望闭环响应(z)进行修正，以达到消除采样点之间波纹的目的 一 波纹产生的原因： 系统输出在采样点之间的