例说高考题中的利用导数求参数范围

1、学习必备欢迎下载例说高考题中的利用导数求参数范围河北高亚平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具， 有着无可比拟的优越性。 也越来越受到高考命题专家的“青睐” 。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。在 04 年高考中，湖北、辽宁等地考查了这点；在 05 年的高考中，湖北、辽宁、湖南、山东、重庆、天津等地更着重考查了这一点，甚至很多都安排在倒数第一、二题的位置上！现以 04 和 05 年的几道高考题为例， 探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略： 利用“要使f ( x)a 成立，只需使函数的最小值f (x)

2、a 恒成立即可；min要使 f ( x)a 成立，只需使函数的最大值f ( x)a 恒成立即可” .max这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例 1（ 05 湖北理）已知向量a =( x2, x1 )， a =( 1x , t )，若 f ( x)ab 在区间 (-1,1)上是增函数，求t 的取值范围 .解析： 由向量的数量积定义，f ( x) = x2(1x )+( x1) t =x3+ x2+ tx + t f ( x) = 3x2 + 2x + t .若 f ( x) 在区间 (-1,1) 上是增函数，则有f(x) 0t 3x2- 2x 在 (-1,1) 上恒成立 .若令 g ( x)

3、 = 3x2 - 2x=-3( x1)2-133在区间 -1,1上， g( x)= g ( 1) =5，故在区间 (-1,1) 上使 t g( x) 恒成立，max只需 t g (1) 即可，即 t 5.即 t 的取值范围是 5，） .点评： 本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。例 2 使不等式 x4- 2x2> 2a 对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围 .解析： 注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令 f ( x) = x4-2x2，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于f ( x)> 2 a .min学习必备欢

4、迎下载又 f (x) = 4x3 - 4x =4 x2 ( x1)，令 f ( x) =0，解得， x =0 或 x =1.f ( x) 的符号及 f ( x) 的单调性如下：x(- ,0)0(0,1)1(1,+ )f ( x)-0-0+f ( x)无极极小值值因为 f ( x) 在 R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即f ( x) = f (1) = -1，min f (x)=-1>2a ，即 a >3.min点评： 本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例 3（ 05 天津理）若函数f ( x) = log ( x3ax) ( a >0, a 1)

5、在区间 (-1 ,0)内单调递增，则 aa2的取值范围是（）A 1 ,1)B 3 .1)C( 9 ,+)D(1,9 )4444解析： f ( x) 是复合函数，须按0< a <1 及 a >1 两种情况考虑 .3ax ， f ( x) 在 (- 1 ,0)上为增函数，令 g( x) = x2 若 0< a <1，则 g ( x) 在 (- 1 ,0)上为减函数，即g ( x) = 3x21 ,0)上恒成立，a <0 在 (-22即 a >3 x2在 (-1 ,0)上恒成立 , a 3 (1)2= 3 ,此时， 3 a 1；2244 若 a >1，

6、则 g( x) 在 (- 1 ,0)上为增函数，须使21 ,0)上恒成立，g ( x) = 3xa 0 在 (-22即 a 3 x2在 (- 1 ,0)上恒成立 , 即 a 0，不合题意 .2综上， a 3 .1).4.点评： 解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙例 4（ 04 辽宁）已知函数 f ( x) ln( exa)(a0).（1）求函数 yf (x) 的反函数y f1 ()及 f()的导数 f(x);xx学习必备欢迎下载（ 2）假设对任意xln( 3a), ln( 4a) ,不等式 | mf 1 ( x) |ln( f ( x)0 成立，求实数 m 的取值

7、范围 .解析： (1) 解略 .f1 ( x) = ln(exa) ， fx；得 ln(f( x) = xxa) ；( x) = eln(eexa(2) 解此绝对值不等式得f1( x) < m < f1( x) + ln( f( x) - ln( f ( x)把（ 1）代入上式，得ln( exa) - ln( exa) + x < m< ln(exa) + ln( exa) - x若把此不等式左右两边设为两个新函数，即令 ( x) = ln( exa) - ln( exa) + x ， g( x) = ln( exa) + ln(exa) - x则原不等式对于任意x l

8、n( 3a), ln( 4a) 恒成立，意即( x) < m< g ( x) 成立，只需满足( x)< m < g( x)即可 .maxmin( x) = exex1， g ( x) = exex1，exa exaexa exa注意到 0< exa < exxa ，即 ex<1< ex< e，exaexa故 ( x) >0 ,g ( x) >0 ,故( x) 、 g (x) 均为增函数，在 ln( 3a), ln( 4a) 上，( x)= (ln( 4a) = ln(12a) ， g ( x)= g(ln( 3a) = ln(8

9、a) ，max5min3(ln( 4a) < m< g (ln( 3a)12a8a故原不等式成立，当且仅当，即 ln(5) < m < ln( ) .3点评： 问题（ 2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。 再借用导数判断出新函数的单调性， 即可求出在给定区间的最值， 问题即迎刃而解。二 与极值点的个数有关求解策略： 按方程 f ( x) =0 的根的个数分情况谈论。例 5（04 湖北文）已知 b1, c 0 ,函数 f (x) = x b2的图象与函数 g (x) = x bx c的图象相切，( )求 b 与 c 的关系式（用

10、c 表示 b ）；( )设函数 F ( x) = f ( x) g ( x) 在 (- ,+ )内有极值点，求c 的取值范围 .学习必备欢迎下载解析： ( ) f ( x)与 g (x) 的图象相切，切线的斜率相等，即 f ( x) = g ( x) 即 2xb 1，故 x1b2，1b1b(b24c ，切点的纵坐标为f () = g() ，解得1)22又 b1, c0 ， b 12 c ，即 b1 2 c .32bx22c)xbc ，( ) F ( x) = f ( x) g( x) = x(b F ( x) = 3x 24bx b2c ，令 F ( x) =0，即24bx b23xc =0

11、( 这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况 )=16b2223c)12(bc) = 4(b 若=0， F( x) =0 有一个实根 x0 ，则 F ( x) = 3(xx0 )2，F(x) 的变化如下：xx0（ x0 ，+）（ -， x0 ）F ( x)+0+故 x = x0 不是 F ( x) 的极值点； 若 0 ， F ( x) =0有 两 个 不 同 的 实 根 x1 、 x2 ， 不 妨 设 x1 x2 ， 则F (x) = 3(x x1 ) (xx2 ) ， F ( x) 的变化如下：xx（ x ，x2 ）x2（ -， x ）111+0-0F ( x)（ x2

12、， +）+故 xx1 、 xx2 分别为函数 F ( x) 的极大值点和极小值点.综合，当 0， F ( x) =0 在(- ,+)内有极值点 .由= 4(b 23c) 0，即 b2 3c ，又由 ()b12c ，学习必备欢迎下载得，(1 2c )2c743 或 c 7 43 . 3c 解得， 0故 c 的取值范围是（0，7 4 3）（743，+）.点评： 解决要明了切线与导数之间的关系；解决借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系 .三 与集合之间的关系相联系例 6（ 05 湖南文）设 t 0，点 P(t,0) 是函数 f ( x)x32c 的图象的一ax 与 g ( x)

13、= bx个公共点 .两函数的图象在点P 处有相同的切线，( )用 t 表示 a ， b ， c ；( )若函数 y = f ( x) g ( x) 在 (-1,3)上单调递减，求t 的取值范围 .解析： ( ) P 为切点，切线相同，此问与例5大同小异。把 P 点代入两函数解析式，有t 3atbt 2c0 ，又 t 0，故at 2，0cab又在点 P 处切线相同，故f ( x)g ( x) ，即 3t 2a2bt ，at 2将 at 2代入，得 b = t ，从而， c =x3，即b t .ct 3( ) 由( ) f ( x)322t3xt x ， g( x) = tx， y = f ( x)3223g ( x) = xtxt xt ， y22tx2t )( xt ) ，= 3xt = (3x函数 y = f ( x) g ( x) 单调递减，即y 0，由 y= (3xt )( x t ) 0，当 t 0 时，tt x t ； t 0 时， t x .33故函数 y 的单调区间，当t 0 时，为 (t, t ) ；当 tt3 0 时，为 ( t,) .3tt故要使函数y 在 (-1,3) 上