人教版_教案_高三数学专题4向量及其应用

1、713400陕西永寿县中学安振0)第四讲向量及其应用陕西特级教师安振平高考风向标向量的概念 :向量的基本要素, 向量的表示 , 向量的长度 , 相等的向量 , 平行向量向量的运算： 向量的加减法， 数与向量的乘积， 向量的内积及各运算的坐标表示和性质重要定理与公式：平面向量基本定理，两个向量平行的充要条件，两个向量垂直的充要条件，线段的定比分点公式（特别是中点公式），平移公式，正弦定理，余弦定理典型题选讲例 1已知向量 m=（ 1,1），向量 n 与向量 m 夹角为 3，且 m· n=1.4（ 1）求向量 n；，向量 p=2 C（ 2）若向量n与向量q(c

2、os A,2 cos) ，其中 A、C=（ 1，0）的夹角为22为 ABC 的内角，且 A 、B 、 C 依次成等差数列 . 求 |n+p |的取值范围；讲解用向量的有关公式进行逐步翻译（ 1）设 n(x, y),由mn1,可得 xy1. m 与 n 夹角为 33，有 m · n =| m |· |n |· cos44所以| n | 1,则 x2y21.由解得x1,或 x0,即n( 1,0)或n(0,1).y0y1.（ 2）由 n与q 垂直知 n(0,1) ，由 2B=A+C 知 B=3， A+C= 2,0A2 .33若 n(0,1), 则 np(cos A,2

3、cos2C1)(cos A, cos C),2| np |2cos2Acos2 C1cos2A1 cos2C2211 cos2 Acos(42 A)11 cos(2A3).23202,2 A5,1cos(2A)1,A333233111cos(2A)5,即 | np |21,5),223424| np | 2, 5).221713400陕西永寿县中学安振0)点评在第（）小题中，应用的三角公式较多，这似乎应当寻找联系，产生一定的条件反射如：遇到高次想将次，即公式cos21cos22例 2设函数 f(x)=a· b，其中向量 a=(2cosx ，1) ， b=(

4、cosx ，3 sin2x) ， x R.（ 1）若 f(x)=1-3 且 x -， ，求 x；33（ 2）若函数 y=2sin2x的图象按向量c=(m， n)(|m|<) 平移后得到函数 y=f(x)的图象，求实数 m、n 的值2讲解 （ 1）同上题，遇到高次想将次，依题设可得f(x)=2cos2x+3 sin2x=1+2sin(2x+).6由 1+2sin(2x+)=1-3 ，得sin(2x+3)=-.662 - x， - 2x+ 5 ， 2x+=-，3326663即x=- .4（ 2）函数 y=2sin2x的图象按向量c=(m， n) 平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图

5、象，即函数 y=f(x)的图象 .由（）得f(x)=2sin2(x+12)+1. |m|<， m=-， n=1.212点评本题是2004 年高考试题福建卷数学试题（理科）第 17题 . 主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力例 3如图，在 Rt ABC中，已知 BC= a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问PQ与 BC的夹角取何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值讲解 解题思维的入手点是在“ Rt ABC 中”，据此进行翻译和转化CQaABAC ,ABAC0.APAQ, BPABAP AB,CQ AQ AC ，BP CQ

6、(APAB) (AQAC)PAP AQAP ACAB AQ AB ACa2APAC AB APa2AP (ABAC)2713400陕西永寿县中学安振0)a21PQ BC2a2a2 cos 故当 cos1,即0( PQ与 BC方向相同 )时, BP CQ最大 , 其最大值为 0点评 本题是 2004 年湖北高考卷第19 题，向量作为一种高中数学的新的知识，是高考的必考内容，它可能与三角函数、解析几何等知识综合，有时出现在选择题、填空题中，更多的时候有一道解答题例 4 椭圆的两焦点分别为 F1 (0,1) 、 F2 (0,1) ，直线 y4 是椭圆的一条准线（ 1）求椭

7、圆的方程；（ 2）设点 P 在椭圆上，且 | PF1 | PF2 | m 1，求PF1PF2的最大值和最小|PF2 |PF1 |值讲解 （）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程依据题意，设椭圆的方程为y2x21(a b 0) ，则由a2b2c1a24a2,c1,b3 ，c椭圆方程为 y2x21 43|PF1|PF2|4,| PF|4 m ,（）因为 P 在椭圆上，故12| PF1| | PF2 | m,4 m| PF2|.2PF1 PF2| PF1 | | PF2 | cos F1 PF2|PF1| |PF2 | |PF1|2| PF2 |2| F1F2 |22|PF1| |PF2 |m28P

8、F1PF24|PF1|PF2 |1 (m8 ).4m由平面几何知识得| PF1 | | PF2 | | F1F2|，即 m 2 ，所以 m 1,2 3713400陕西永寿县中学安振0)令 f (x) x81,2 且 x1x2 ，则，设 x1, x2xf (x1) f (x2 )(x1 x2 )(18) 0 ，x1x2所以函数 f ( x) 在 1,2 上是单调递减的，从而当m时，原式取得最大值9 ，当m2时14原式取得最小值3 2点评 本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水

9、到渠成例 5在 ABC 中，sinA、sinB、sinC 构成公差为正的等差数列，且其周长为 12以 AC为 x 轴， AC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系xoy（ 1）证明存在两个定点E、F，使得 |BE|+|BF|为定长；并求出点E、 F 的坐标及点 B 的轨迹 ；（ 2）设 P 为轨迹 上的任一点，点 M、 N 分别在射线 PA、 PC 上，动点 Q 满足PQPMPNPMPNQ()(0) ，经过点 A 且以为方向向量的直线与动点|PM |PN |PM |PN |的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得| DR | 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由？讲解（ 1）

10、由 sinA、 sinB、 sinC 构成公差为正的等差数列，得a+c=2b，且 a>b>c因 a+b+c=12 ，故 a+c=8，即 |BC|+|BA|=8 为定值注意到 8>|AC|=4，且 |BC|>|BA|，故 B 的轨迹是以 A、C 为焦点， 8 为长轴长，在 y 轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分并且存在定点 E、 F，它们分别为 A、C，从而它们的坐标分别为（ - 2， 0），（ 2， 0）（ 2）如图所示，不妨取|PM | PN | 1 ，则以 PMN 为顶点可作出一个菱形PMTN ，于是PMPNPMPNy， 且NMPTS|PM | |PN |PM | |P

11、N |PNN MP，从T而 PQ 为 APC 的外角 SPA 的平分RQM线过 A 且以 PMPNA T OCx为方向向量的直线AS|PM |PN|PQ从而 |SC| |PS|PC | |PA|PC | 8，于是只须取 AC 的中点为D（ O），即有 | DR | =4 为定值故存在定点D ，而 | DR | 为定值 .4713400陕西永寿县中学安振0)点评二次曲线的定义是历年高考常考常新的热门话题联系定义， 有时可以使问题的解答非常简洁，请读者认真反思本题的思维路线，看看会有什么启发例 6 已知动点 P 与双曲线 x 2y 21的两个焦点 F 1 、 F2的距离

12、之和为定值，且123cos F1 PF2 的最小值为9（ 1）求动点 P 的轨迹方程；（ ）若已知 D(0,3) ，M、N在动点P的轨迹上且 DMDN ，求实数的取值2范围讲解 (1) 由题意 c 25，设 | PF1| PF2| 2a （ a5），由余弦定理 ,得cos| PF1 |2| PF2|2| F1F2 |22a210F1PF22|PF1 | |PF2 |PF1| |PF2 |1又| PF1 |·| PF2 | (| PF1 | | PF2 |)2a 2 ，2当且仅当 | PF1 | | PF2 |时， | PF1 | · | PF2| 取最大值，此时 cos F

13、1 PF2 取最小值2a2101，令 2a21011 ，a 2a 29解得 a29 ， c5 ， b 24 ，故所求 P 的轨迹方程为x2y 21.94（ 2）设 N (s,t ) ， M ( x, y) ，则由 DMDN ，可得 ( x, y3)(s,t3) ，故 xs, y 3(t3). M 、 N 在动点 P 的轨迹上，故s2t 21 且 (s)2(t 33 ) 21 ，9494消去 s 可得 ( t 33)22t 212 ，解得 t135 ，46又 | t |2， |135 |2 ，解得15 ，61,55故实数的取值范围是 5点评 椭圆的焦点三角形是高考的又一个热点，应用余弦定理是解答

14、三角形的必用工具在数学的复习过程中，逐渐形成一些有用的解题模式，对提高解题的技能是必须的，也是很有用的5713400陕西永寿县中学安振0)例 7 抛物线 y1x2 的准线与 y 轴交于 A 点，过 A 作直线与抛物线交于M、N 两8点，点 B 在抛物线的对称轴上，且 ( BMMN) MN 0.2（ 1）求 |OB |的取值范围；（ 2）是否存在这样的点 B ，使得 BMN 为等腰直角三角形，且 B=90 ° .若存在，求出点 B ；若不存在，说明理由.讲解画出图形，肯定会帮助你快速找到解题的思维路线（ 1）抛物线为 x2=8y,准线为 y=2,A （0，2

15、） .设 MN 的中点为 P， ( BMMN )MN 0,2 PB 垂直平分线段MN.设 MN 为： y=k x+2,与 x2= 8y 联立，得2（* ）x +8kx+16=0由064k 2416 0k21.又点 P 坐标为，x pxMxN4k,y p422,2k直线 PB 方程为：y 4k221(xk.4 )k令 x=0,得 y= 2 4k2< 6, | OB |的取值范围是 (6,) .（ 2）设存在满足条件的点 B（ 0， 2 4k 2） ,M 、 N 坐标为 M( x1, kx1+2)， N( x2, kx2+2)由 KBM ·KBN=1，得kx1 2 2 4k 2 k

16、x22 2 4k2x1x21,即x1x2+k 2x1x2+4k(1+k 2)(x1+x2)+16(1+k 2)2=0,由（ 1）中（ *）式，韦达定理，代入上式得22 2216(1+k )+16(1+k ) +4k( 8k)(1+k )=0解得， k 22,k2 .故知点 B （ 0， 10）为所求 .点评对于抛物线的试题，考试中出现的较多的是y22px ( p0) 型例 8如图，已知三角形PAQ 顶点 P（ 3，0），点 A 在 y 轴上， 点 Q 在 x 轴正半轴上，PA AQ0,QM2 AQ.（ 1）当点 A 在 y 轴上移动时，求动点M 的轨迹 E 的方程；6713400陕西永寿县中学

17、安振0)（ 2）设直线 l : yk( x1) 与轨迹 E 交于 B、 C 两点，点D（ 1，0），若 BDC 为钝角，求 k 的取值范围讲解 （1） 设OM( x, y),OA(0, a)(a0), OQ( b,0)(b0)则PA(3, a), AQ(b, a), 又PA AQ0,a23b又QM(xb, y), AQ(b, a), QM2AQx3by2a由y 24x( x0)（2） 设OB(x1, y1), OC( x2 , y2 ), DB( x11, y1 ), DC(x21, y2 ) ，DB DC| DB | | DC | cos BDC 为钝角 ,c o

18、 sB D CD BD C0 ,，0B D C|D C|DB DC|DB|x1 x2( x1x2 ) 1 y1 y20由 y24x消去 y得 k 2 x 2( 2k 24) x k 20( k 0) ， 则yk (x 1)x1x24 2k 2, x1 x21 k 2y1y2=k(x 1+1)· k(x 2+1)=k 2x 1x2+(x 1 +x 2)+1将代入得 k212k2 ,此时0 222因为 k0, 所以 k的范围是 (2 ,0)(0,2 ) 22点评解答范围问题的关键在于建立不等关系，这常需要由等式导出不等式，一般用到判别式、 2 元均值不等式、三角函数的有界性等等针对性演练

19、1. 条件甲：“四边形 ABCD 是平行四边形”是条件乙： “ ABDC ”成立的 ()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件7713400陕西永寿县中学安振0)2.若向量a与 b的夹角为60， | b | 4,( a2b).(a3b)72则向量a的模为（）,A 2B4C6D123.已知平面上直线 l的方向向量 e(4,3) ，点 O(0,0)和 A(1,-2) 在 l上的射影分别是O155和 A1，则 O1 A1 e ，其中（）A 11B 11C2D 2554.下列条件中，不能确定三点A、 B、 P 共线的是（）A MPsin2

20、330 MAcos2 330 MBB MPsec2 330 MAtan2 330 MBC MPcsc2 330 MAcot 2 330 MBD MPsin2 330 MAcos2 570 MB5. 在直角坐标系中， O 是原点， OQ =( 2 cos, 2 sin ) ( R)，动点 P 在直线 x=3上运动，若从动点P 向 Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为()A4B5C26D266. 向量 a =（ cos23° , cos67°）， b =（ cos68°， cos22°）， u = a +t b =(t R)（ 1）求 a ·

21、 b 之值；（ 2）求 |u |最小值 .7. 已知向量 a (cos 3x,sin 3 x), b(cos x ,sin x ),且 x0, .22222（ 1）求 a b及 | ab | .（ 2）若 f ( x)a b2| ab |的最小值为3 ,求 的值 .218.已知椭圆的中心在原点，离心率为2 ，一个焦点是 F（- m,0） (m 是大于 0 的常数 ).( )求椭圆的方程；( )设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点M. 若 MQ2 QF ，求直线 l 的斜率 .9.椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22 ，相应于焦点F (c,0)(c0) 的准线 l

22、 与 x 轴相交于点 A ， | OF |2 | FA | ，过点 A 的直线与椭圆相交于P、 Q 两点。( )求椭圆的方程及离心率；( )若 OP.OQ0,求直线 PQ 的方程10. 如图，在直角坐标系中，点A （ 1， 0）， B （1， 0）， P（x， y）（ y 0） . 设 AP 、8713400陕西永寿县中学安振0)OP 、 BP 与 x 轴正方向的夹角分别为、，若，（ 1）求点 P 的轨迹 G 的方程；（ 2）设过点 C（ 0， 1）的直线 l 与轨迹 G 交于不同两点 M 、N. 问在 x 轴上是否存在一点 E( x0 ,0) ，使 MNE 为正三

23、方形 . 若存在求出x0 值；若不存在说明理由.参考答案 A.2. C.3. D. 4.D. 5. C.6. (1) ab2;(2)|u |t22t 1222（ 1） a bcos3 xcos xsin 3 xsin xcos2x 2222| ab |(cos3 xcos x ) 2(sin 3 xsin x)222cos 2x 2 cos2 x,2222x0,cos0则 | ab |2cos x.2（2） f ( x) cos2x2cosx2(cosx)2122 , 由x0, ，所以 0 cosx 1.2当 <0 时，当且仅当cosx=0 时， f(x)取最小值 1，与已知矛盾当 0

24、1 时，当且仅当 cosx= 时， f( x)取最小值 1 2 2，由已知得： 1 2 2= 3 ，解得： = 1 22当 >1时 ， 当 且 仅 当cosx=1时 ， f(x) 取 得 最 小 值1 4 ， 由 已 知 得 ：1 43,5,与1矛盾281为所求 .综上所述： =2（ 1） x2y21；（ 2） k2 6或04m23m2（）依据题意可设椭圆的方程为x2y21(a2). 由已知得a2b29713400陕西永寿县中学安振0)a2c22,c2( a2c).c解得a6, c 2.所以椭圆的方程为x2y21，离心率 e6 .623() 由()可得设直线 PQ 的方程为A(3,0).yk( x3). 由方程组x