随机事件与概率课件

1、2021-10-23随机事件与概率课件1第第1章章 随机事件与概率随机事件与概率 1.1 随随 机机 事事 件件 1.2 事件的概率事件的概率 1.3 概率的加法公式概率的加法公式 1.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 1.6 事件的独立性与贝努里概型事件的独立性与贝努里概型 2021-10-23随机事件与概率课件21.1.1 随机试验与样本空间随机试验与样本空间 为了研究随机现象，就要进行实验或对随机现象进行观为了研究随机现象，就要进行实验或对随机现象进行观察。这种实验或观察的过程称为随机试验察。这种实验或观察的过程称为随机试验。

2、概率论里概率论里所研究的随机试验具有下面两个特征：所研究的随机试验具有下面两个特征：(1) 可以在完全相同的条件下重复进行；可以在完全相同的条件下重复进行；(2) 试验会出现哪些可能的结果在试验前是已知的，但每试验会出现哪些可能的结果在试验前是已知的，但每次试验究竟会出现哪一个结果在试验前是无法准确预次试验究竟会出现哪一个结果在试验前是无法准确预知的。知的。在随机试验中，每一个可能出现的不可再分解的最简单在随机试验中，每一个可能出现的不可再分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点；由全体基的结果称为随机试验的基本事件或样本点；由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，样本事件

3、构成的集合称为基本事件空间或样本空间，样本空间通常用表示。本空间通常用表示。 2021-10-23随机事件与概率课件31.1.1 随机试验与样本空间随机试验与样本空间n 例例1 射击环靶的试验，用表示射击环靶的试验，用表示“击中环击中环”，则为这个，则为这个试验的全体基本事件，样本空间。试验的全体基本事件，样本空间。n 例例2 记录某电话总机在一天内接到呼唤的次数，是一记录某电话总机在一天内接到呼唤的次数，是一个随机试验。试验结果个随机试验。试验结果(接到呼唤的次数接到呼唤的次数)可能值为所可能值为所有的非负整数有的非负整数(因为难以规定一个呼唤次数的上界因为难以规定一个呼唤次数的上界)。所以

4、样本空间。所以样本空间。n例例3 掷一颗骰子，观察出现的点数。用表示掷一颗骰子，观察出现的点数。用表示“出现出现点点”，则为这个试验的全体基本事件。这个随机试验，则为这个试验的全体基本事件。这个随机试验的样本空间。的样本空间。 2021-10-23随机事件与概率课件41.1.2 随机事件随机事件 n在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。事件常用大写英文字母表示。事实事件，简称事件。事件常用大写英文字母表示。事实上随机试验中的每个基本结果上随机试验中的每个基本结果(基本事件基本事件)都是随机事都是随机事件。但随机事件也可以是由

5、多个基本事件件。但随机事件也可以是由多个基本事件(或多个样或多个样本点本点)组合而成的，这种随机事件叫复合事件。组合而成的，这种随机事件叫复合事件。n作为极端情况，把每次试验中都必然出现的事件称为作为极端情况，把每次试验中都必然出现的事件称为必然事件；把每次试验中都不可能发生的事件称为不必然事件；把每次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件。例如掷一颗骰子，可能事件。例如掷一颗骰子，“出现点数大于出现点数大于7”7”和和“出现点数既是奇数又是偶数出现点数既是奇数又是偶数”都是不可能事件，都是不可能事件，“出现点数小于出现点数小于8”8”则是必然事件。则是必然事件。 2021-10-23随机事件

6、与概率课件51.1.2 随机事件随机事件n特别的，必然事件对应样本空间，不可能事件对应空特别的，必然事件对应样本空间，不可能事件对应空集集(当然和也是的子集当然和也是的子集)。本书中用表示必然事件，用。本书中用表示必然事件，用表示不可能事件。表示不可能事件。 2021-10-23随机事件与概率课件61.1.3 事件间的关系和运算事件间的关系和运算 1事件的包含与相等事件的包含与相等n 定义定义 如果事件如果事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，则称事件发生，则称事件B包含事包含事件件A，或事件或事件A包含于事件包含于事件B，记作记作 或或 。 这种关系如这种关系如图图1.1所示。所示。

7、ABBA图图1.11.1 2021-10-23随机事件与概率课件71.事件的包含与相等事件的包含与相等n例如在验收机械零件时，设例如在验收机械零件时，设A表示表示“尺寸不合格尺寸不合格”，B表示表示“零件不合格零件不合格”，则，则 。 n定义定义 若事件若事件B包含事件包含事件A，同时事件同时事件A又包含事件又包含事件B，则称事件则称事件A与事件与事件B相等，记作相等，记作 。 BABA 2021-10-23随机事件与概率课件82.事件的和事件的和 n定义定义 “事件事件A与事件与事件B中至少有一个发生中至少有一个发生”也是一个也是一个随机事件，称之为事件随机事件，称之为事件A与事件与事件B的

8、和的和(或和事件或和事件)，记，记作作 。 A与与B的和如图的和如图1.2中的阴影部分所示中的阴影部分所示 BA图图1.21.22021-10-23随机事件与概率课件9 n例如在验收机械零件时，规定只要尺寸和粗糙度有一例如在验收机械零件时，规定只要尺寸和粗糙度有一不合格则零件就不合格，则不合格则零件就不合格，则“零件不合格零件不合格”(用用C表示表示)就是就是“尺寸不合格尺寸不合格”(用用A表示表示)与与“粗糙度不合粗糙度不合格格”(用用B表示表示)的和，即的和，即n一般地，称一般地，称“事件事件 中至少有一个发生中至少有一个发生”为事件为事件 的和，记作的和，记作 或或 或或 。nAAA,2

9、1nAAA,21nAAA21niiA1niiA1 2.事件的和事件的和2021-10-23随机事件与概率课件10 3 3事件的积事件的积n定义定义 “事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生”也是一个随机事也是一个随机事件，称为事件件，称为事件A与事件与事件B的积的积(或积事件或积事件)。A与与B的的积如积如图图1.31.3中的阴影部分所示。中的阴影部分所示。 图图1.3 1.3 2021-10-23随机事件与概率课件114 4互不相容事件与对立事件互不相容事件与对立事件 定义定义 如果两个事件如果两个事件A与与B不能同时发生，即不能同时发生，即“A与与B同同时发生时发生”是不可能事件：是不可

10、能事件： ，则称事件，则称事件A与与B互不相互不相容容(或互斥或互斥)。如图。如图1.4所示。所示。 图图1.41.4 AB2021-10-23随机事件与概率课件124 4互不相容事件与对立事件互不相容事件与对立事件n定义定义 如果事件如果事件A与事件与事件B必有一个发生且仅有一个发必有一个发生且仅有一个发生，即生，即 ， 则称事件则称事件A与与B互为对立事件。互为对立事件。记作记作 , ,读作读作A为为B的对立事件或的对立事件或B为为A的对立事件。的对立事件。A的对立事件的对立事件 , ,如图如图1.5所示的阴影部分所示。所示的阴影部分所示。 图图1.5 BAABBA A2021-10-23

11、随机事件与概率课件134 4互不相容事件与对立事件互不相容事件与对立事件 例如掷一颗骰子，设例如掷一颗骰子，设A表示表示“出现偶数点出现偶数点”，B表示表示“出现出现3点点”，C表示表示“出现奇数点出现奇数点”，则，则A与与B互不互不相容，相容，A与与C互不相容，而且互不相容，而且A与与C互为对立事件。但互为对立事件。但B与与C是相容的。是相容的。 2021-10-23随机事件与概率课件14 5事件的差事件的差 n定义定义 “事件事件A A发生而事件发生而事件B B不发生不发生”称为事件称为事件A A与事件与事件B B的差，记作的差，记作A-BA-B。事件事件A A与与B B的差如图的差如图1

12、.6中的阴影部分中的阴影部分所示。所示。 图图1.61.6 2021-10-23随机事件与概率课件151.1.3 事件间的关系和运算事件间的关系和运算n事件之间的关系和运算具有下列性质事件之间的关系和运算具有下列性质 (1) 交换律交换律 ； 。(2) 结合律结合律 ； 。(3) 分配律分配律 ； A(BC)=(AB)(AC) 。(4) 摩根法则摩根法则 ； 。对于对于n n个事件个事件 有有 ABBABAAB CBACBA)()(CABBCA)()(ACABCBA )(BABABAAB),2,1(niAinnAAAAAA2121nnAAAAAA21212021-10-23随机事件与概率课件1

13、61.1.3 事件间的关系和运算事件间的关系和运算n例例 从一批产品中每次取出一个产品进行检验从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不每次取出的产品不放回放回)，事件，事件 表示第表示第i次取到合格品。试用事件的运算表示下列次取到合格品。试用事件的运算表示下列事件；事件；(1) 三次都取到了合格品；三次都取到了合格品；(2) 三次中至少有一次取到合格品；三次中至少有一次取到合格品；(3) 三次中恰有两次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；(4) 三次中最多有一次取到合格品。三次中最多有一次取到合格品。解解 (1)“三次取到合格品三次取到合格品”= ； (2)“三次中至少有一次取

14、到合格品三次中至少有一次取到合格品”= ; (3)“三次中恰有两次取到合格品三次中恰有两次取到合格品”= ; (4)“三次中最多有一次取到合格品三次中最多有一次取到合格品”= 。 iA321AAA321AAA321AAA321AAA321AAA21AA31AA32AA2021-10-23随机事件与概率课件171.2 事件的概率事件的概率n研究随机试验，不仅需要分析它在一定条件下可能产研究随机试验，不仅需要分析它在一定条件下可能产生的各种结果，而且还要分析各种结果发生的可能性生的各种结果，而且还要分析各种结果发生的可能性大小。刻画随机事件发生可能性大小的量，则是本节大小。刻画随机事件发生可能性大

15、小的量，则是本节要研究的概率的概念。此外本节还涉及概率的性质和要研究的概率的概念。此外本节还涉及概率的性质和简单的计算。简单的计算。 2021-10-23随机事件与概率课件181.2.1 概率的统计定义及性质概率的统计定义及性质 n定义定义1 在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大，在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大，事件事件A出现的频率在某个常数出现的频率在某个常数p附近摆动并逐渐稳定于附近摆动并逐渐稳定于p，则称则称p为事件为事件A的概率，记为的概率，记为 。这个定义称。这个定义称为概率的统计定义。为概率的统计定义。 由事件的频率的性质可以推想事件的概率也应有相应的由事件的频率的性

16、质可以推想事件的概率也应有相应的性质：性质： (1) 0P (A)1。 (2) ， 。 (3) 当事件当事件A与与B互不相容时，则有互不相容时，则有 。这条。这条性质称为概率的可加性，并称此等式为互斥事件的加性质称为概率的可加性，并称此等式为互斥事件的加法公式。法公式。 pAP)(1)(P0)(P)()()(BPAPBAP2021-10-23随机事件与概率课件191.2.2 概率的古典定义概率的古典定义 观察观察“掷骰子掷骰子”、“掷硬币掷硬币”的试验，它们都具有下列的试验，它们都具有下列特点。特点。(1) 试验的所有基本事件的个数是有限的。试验的所有基本事件的个数是有限的。(2) 每次试验中

17、，各基本事件发生的可能性是相等的。每次试验中，各基本事件发生的可能性是相等的。 满足上述特点的试验模型称为等可能性模型，这类模满足上述特点的试验模型称为等可能性模型，这类模型在概率论的发展初期是重要的研究对象，因此称为型在概率论的发展初期是重要的研究对象，因此称为古典概型。古典概型。n定义定义2 如果古典概型中的所有基本事件的个数为如果古典概型中的所有基本事件的个数为n，事件事件A包含的基本事件的个数为包含的基本事件的个数为m，则事件则事件A的概率为的概率为 所有基本事件的个数包含的基本事件的个数事件AnmAP)(2021-10-23随机事件与概率课件201.2.2 概率的古典定义概率的古典定

18、义n例例 某年级有某年级有6名同学都是名同学都是9月出生的，求这月出生的，求这6人中没有人中没有任何任何2人在同一天过生日的概率。人在同一天过生日的概率。 解解 9月共有月共有30天，每个人生日都可以是天，每个人生日都可以是30天中的任一天，天中的任一天，故基本事件总数为故基本事件总数为 。设。设A表示表示“6人中没有任何人中没有任何2人在同一天过生日人在同一天过生日”，则，则A含有含有 个基本事件，因此所求概率为个基本事件，因此所求概率为630252627282930630P4 586.030)(6630PAP2021-10-23随机事件与概率课件211.2.3 几何概率几何概率 n如左图所

19、示如左图所示, ,关于几何概型的关于几何概型的随机事件随机事件“向区域向区域G G中任意投中任意投掷一个点掷一个点M M，点点M M落在落在G G内的部内的部分区域分区域g g”的概率的概率P P定义为：定义为：g g的度量的度量m m( (g g)()(面积面积) )与与G G的度量的度量m m( (G G)()(面积面积) )之比，即之比，即 ，并称为几何概率。并称为几何概率。 2021-10-23随机事件与概率课件221.2.3 几何概率几何概率n例例 两人相约两人相约8点到点到9点之间在某地点之间在某地会面，先到者等候会面，先到者等候20分钟分钟(1/3小时小时)后即离去，试求此两人能

20、会面的概后即离去，试求此两人能会面的概率。率。 解解 设设( (x,y)x,y)分别表示两人到达的时分别表示两人到达的时刻。由题设，两人到达时刻是刻。由题设，两人到达时刻是8点点到到9点之间点之间(即即1小时之内小时之内)，故，故( (x,y)x,y)点必落在边长为点必落在边长为1的正方形区域的正方形区域G G内，内，而两人能会面的点所在的区域而两人能会面的点所在的区域g为为如左图所示的影印面积。如左图所示的影印面积。所求概率所求概率为为951)32(1)()(222的面积的面积GgGmgmP2021-10-23随机事件与概率课件231.2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义 n定义定义 设

21、设E是一个随机试验，是一个随机试验， 为它的基本事件空间。为它的基本事件空间。以以E中所有的随机事件中所有的随机事件(或或 的全体子集的全体子集)组成的集合为组成的集合为定义域，定义一个函数定义域，定义一个函数P(A)(其中其中A为任一随机事件为任一随机事件)，且且P(A)满足以下三条公理，则称函数满足以下三条公理，则称函数P为事件为事件A的概的概率。率。 公理公理1 0P (A)1； 公理公理2 ； 公理公理3 若若 两两互斥，则两两互斥，则 =1)(PnAAA,21)(21nAAAP)()()(21nAPAPAP2021-10-23随机事件与概率课件241.3 概率的加法公式概率的加法公式

22、n定理定理1 若事件若事件A与与B互不相容，则互不相容，则 定理定理2 (两个随机事件的加法公式两个随机事件的加法公式)对于任意两个事件对于任意两个事件A与与B(不要求不要求A，B互不相容互不相容)有有)()()(BPAPBAP)()()()(ABPBPAPBAP2021-10-23随机事件与概率课件251.3 概率的加法公式概率的加法公式n例例 某企业生产的电子产品分一等品、二等品与废品某企业生产的电子产品分一等品、二等品与废品三种，如果生产一等品的概率为三种，如果生产一等品的概率为0.8，生产二等品的概，生产二等品的概率为率为0.19，问生产合格品的概率是多少？，问生产合格品的概率是多少？

23、 解解 设设A=“A=“生产的是一等品生产的是一等品”，B=“B=“生产的是二等生产的是二等品品”，A+BA+B则表示则表示“生产的是合格品生产的是合格品”。因为。因为A,BA,B互斥，互斥，所以所以 99. 019. 08 . 0)()()(BPAPBAP2021-10-23随机事件与概率课件261.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式n1.4.1 条件概率条件概率 定义定义 设设A，B是两个随机事件，且是两个随机事件，且P(B=0)，则在则在B事件已发生的条事件已发生的条件下，事件件下，事件A发生的条件概率定义为发生的条件概率定义为例例 设某种动物能活到设某种动物能活到20岁的概率为岁

24、的概率为0.8，能活到，能活到25岁的概率为岁的概率为0.4，某个这种动物现龄某个这种动物现龄20岁，问它能活到岁，问它能活到25岁的概率是多少？岁的概率是多少？解解 设设A=“能活到能活到20岁岁”，B=“能活到能活到25岁岁”。因为。因为“能活到能活到25岁岁”一定一定“能活到能活到20岁岁”，所以，所以 。由条件概率的定义式得。由条件概率的定义式得)()()|(BPABPBAPAB 5 . 08 . 04 . 0)()()()()|(APBPAPABPABP2021-10-23随机事件与概率课件271.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式1.4.2 概率的乘法公式概率的乘法公式由条件

25、概率的定义可得重要的乘法公式。由条件概率的定义可得重要的乘法公式。若若 ，则，则若若 ，则，则 它表明：两个事件同时发生的概率等于其中一个事件它表明：两个事件同时发生的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。利用条件概率去计算乘积事件的概率，这在概率积。利用条件概率去计算乘积事件的概率，这在概率计算中有广泛的应用。计算中有广泛的应用。 )|()()(BAPBPABP0)(BP0)(AP)|()()(ABPAPABP2021-10-23随机事件与概率课件281.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 n1.5.

26、1 全概率公式全概率公式 定理定理 设设 为一个完备事件组，且为一个完备事件组，且 则对任意事件则对任意事件B，有有 例例 12 12个不同号码中有个不同号码中有2 2个号码为有奖号码，甲从中抽取个号码为有奖号码，甲从中抽取1 1个号码后，个号码后，不放回，由乙从剩余的号码中任取不放回，由乙从剩余的号码中任取1 1个号码，求乙抽到中奖号码个号码，求乙抽到中奖号码的概率。的概率。解解 设设 “甲抽到有奖号码甲抽到有奖号码”， “甲抽到无奖号码甲抽到无奖号码”，B=“乙抽到乙抽到有奖号码有奖号码”，则由全概率公式有，则由全概率公式有 nAAA,21), 2 , 1(0)(niAPi)|()()(1

27、iniiABPAPBP1A2A)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP6111212101111222021-10-23随机事件与概率课件291.5.2 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式 n定理定理 (贝叶斯公式贝叶斯公式)设设 是一个完备事件组，是一个完备事件组，且且 ， 则有公式则有公式 (|)iP ABni,2, 1nAAA,211() (|)() (|)iinjjjP A P B AP A P B A), 2 , 1( 0)(niAPi0)(BP2021-10-23随机事件与概率课件301.5.2 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式n例例 已知一批零件是由甲、乙、丙已

28、知一批零件是由甲、乙、丙3名工人生产的。名工人生产的。3人的产量分别占总量的人的产量分别占总量的20%、40%和和40%。若已知。若已知3人的次品率分别为各自产量的人的次品率分别为各自产量的5%、4%和和3%，现任，现任意抽取意抽取1个零件检验。若已知取到的是次品，问它是个零件检验。若已知取到的是次品，问它是甲工人生产的概率是多少？甲工人生产的概率是多少？解解 设设B=“取到的零件是次品取到的零件是次品”， 分别表示取到的零分别表示取到的零件是甲、乙、丙工人生产的，则按贝叶斯公件是甲、乙、丙工人生产的，则按贝叶斯公 = = 321,AAA31111)|()()|()()|(iiiABPAPAB

29、PAPBAP03. 04 . 004. 04 . 005. 02 . 005. 02 . 0%3 .262021-10-23随机事件与概率课件311.6 事件的独立性与贝努里概事件的独立性与贝努里概型型 n1.6.1 事件的独立性事件的独立性 n定义定义 如果事件如果事件B B的发生与否不影响事件的发生与否不影响事件A A发生的概率，发生的概率，即即P(A/B)=P(A)P(A/B)=P(A)，则称事件则称事件A A对事件对事件B B是独立的。否则是独立的。否则就是不独立的。就是不独立的。n定理定理1 1 若事件若事件A A对事件对事件B B是独立的，则事件是独立的，则事件B B对事件对事件A

30、 A也是独立的。也是独立的。 n定理定理2 事件事件A A与与B B独立的充要条件是独立的充要条件是 。n定理定理3 若四对事件若四对事件A A与与B B；A A与与 ； 与与B B； 与与 中有中有一对独立，则另外三对也独立。一对独立，则另外三对也独立。 )()()(BPAPABPBAAB2021-10-23随机事件与概率课件321.6.1 事件的独立性事件的独立性n定义定义 如果有如果有 则称事件则称事件A,B,CA,B,C相互独立。相互独立。 显然，当显然，当 相互独立时，有相互独立时，有 nAAA,21()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( ) ( )P

31、ABP A P BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A P B P C)()()()(2121nnAPAPAPAAAP2021-10-23随机事件与概率课件33 1.6.1 事件的独立性事件的独立性n例例 设某型号的高射炮，每一门炮设某型号的高射炮，每一门炮(发射一发炮弹发射一发炮弹)击中击中飞机的概率为飞机的概率为0.6。现若干门炮同时发射。现若干门炮同时发射(每炮发射一每炮发射一发炮弹发炮弹)。问欲以。问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机，的把握击中来犯的一架敌机，至少需配置几门高射炮？至少需配置几门高射炮？ 解解 设设n n是以是以99%的概率击中敌机需配置的高射

32、炮门数。的概率击中敌机需配置的高射炮门数。令令 “第门炮击中敌机第门炮击中敌机”， ;A=“敌敌机被击中机被击中”，则，则 因为因为 , ,且且 是是相互独立的，所以相互独立的，所以iA), 2 , 1(ninAAAA21nnAAAAAAA2121nAAA,212021-10-23随机事件与概率课件341.6.1 事件的独立性事件的独立性 = = = = 因此，不等式因此，不等式(1-5)就化为就化为 0.99 0.99 由此得由此得 n 故至少需配置故至少需配置6门高射炮方能以门高射炮方能以99%以上的把握击中来犯的敌机。以上的把握击中来犯的敌机。 )(1)(APAP)(121nAAAP12

33、1() ()()nP A P AP A1(0.4)nn)4 . 0(1026. 53979. 024 . 0log01. 0log2021-10-23随机事件与概率课件351.6.2 贝努里概型贝努里概型 n定义定义 在完全相同的条件下重复进行在完全相同的条件下重复进行n n次试验，如果每次试验，如果每次试验的结果互不影响，即每次试验的结果与其他各次试验的结果互不影响，即每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，则称这次试验的结果无关，则称这n n次重复试验为重次重复试验为重n n独立试独立试验。验。n特别地，如果每次试验只有两个对立的结果，即事件特别地，如果每次试验只有两个对立的结果，即事件A A和和 , ,且且 , , 则称这则称这n n重独立重独立试验为重试验为重n n贝努里试验，或贝努里概型。贝努里试验，或贝努里概型。 ApAP)(qpAP1)(2021-10-23随机事件与概率课件361.6.2 贝努里概型贝努里概型n定理定理 如果在如果在n重贝努里试验中，事件重贝努里试验中，事件A在每一次试验在每一次试验中发生的概率为中发生的概率为 ，则事件在，则事件在n次试验中恰好次试验中恰好发生发生k次的概率次的概率 , 其中，其中， q=1-p 则上式则上式称为贝努里公式称为贝努里公式 ，由于由于