裂项法优秀课件

1、裂项法（一）同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。（一）阅读思考例如 ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：即 或 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】例1. 计算： 分析与解答：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。例2. 计算： 公式的变式当 分别取1，

2、2，3，100时，就有例3. 设符号（    ）、<    >代表不同的自然数，问算式 中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算， 就变成 ，与前面提到的等式 相联系，便可找到一组解，即     另外一种方法设 都是自然数，且 ，当 时，利用上面的变加为减的想法，得算式 。这里 是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即 。又因为 是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，是的约数时，一定有，即 上面指出当

3、，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 故（    ）和<    >所代表的两数和分别为49，32，27，25。【模拟试题】二.尝试体验：1. 计算：2. 计算： 3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。【试题答案】1. 计算：2. 计算： 3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。    的值为：75，81，96

4、，121，147，200，361。    因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有（二）前一节我们已经讲过，利用等式 ，采用“裂项法”能很快求出 这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式： ，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。【典型例题】例1. 分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。下面我们用 ，现在给 、 一些具体的值，看看有什么结果。当 时，有 当 时，有 当 时，有 当 时，有 当 时，有 上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如 ，这样采用裂项法也能较快求出结果来。因为 ， ， 所以 例2. 因为 所以 同样可得 一般地，因为这里 是任意一个自然数。利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。例3. 计算： 分析与解：而 即 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。【模拟试题】（答题时间：15分钟）二. 尝试体验1. 求和： 2. 求和： 3. 求和： 【试题答案】1. 求和：     2. 求和：