第八章弯曲变形

1、材 料 力 学讲授:顾志荣 回回 顾：顾： 弯曲内力在外力作用下，梁的内力沿轴线 的变化规律。 弯曲应力在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。 本本 章章: : 弯曲变形在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。研究弯曲变形的目的研究弯曲变形的目的（1）刚度计算；（2）解简单的超静定梁。本章的基本内容：本章的基本内容：一、弯曲变形的量度及符号规定；二、挠曲线及其近似微分方程三、计算弯曲变形的两种方法 (1)积分法(2)叠加法四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施五、用变形比较法解简单的超静定梁。一、弯曲变形的量度及符号规定 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 ypxccwx1、度量弯曲变形的两个量：

2、（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角。 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 ypxccwx（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。2、符号规定：（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。w（-） （- -）二、挠曲线及其近似微分方程1、挠曲线： 在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条

3、曲线称为挠曲线。轴线轴线纵向对称面纵向对称面fqm弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）mabmcd0mbcconst答案答案 d d2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)fa0fb0mcdconst答案答案 d dabcdpplpplpplpplfa0pplabcdmbdconstfbp答案答案c cplmmbb纯弯曲纯弯曲 横力弯曲横力弯曲（ lh5）3、挠曲线的近似微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系.0175.010maxrador横力弯曲横力弯曲max（0.010.001）l ；meid2 2d dx2（x）2 2owxmm0022mdxdw选取如图坐标系，则选取如图坐标

4、系，则 弯矩弯矩m与与 恒为同号恒为同号22dxd(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释meid2 2d dx2（x）近似解释：（1）忽略了剪力的影响；（2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。2 22 2(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程 三、计算弯曲变形的两种方法1、积分法基本方法 利用积分法求梁变形的一般步骤：（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；(2

5、)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线方程：)(1)(cdxxmeidxdxdcxdxxmeix)(1)(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数 积分常数的数目取决于的分段数 m (x) n 段 积分常数2n个举例：)(xm分2段，则积分常数2x2=4个积分常数的确定边界条件和连续条件： 边界条件边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。 连续条件连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 边界条件积

6、分常数2n个=2n个 连续条件00aa右左右左bbbb边界条件： 连续条件：000caa右左右左右左bbdddd解：边界条件： 连续条件： 物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它的ei倍就是积分常数c； 即坐标原点处梁的挠度的ei倍就是积分常数d。几何意义：c转角 d挠度(4)建立转角方程和挠曲线方程；(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和 及其所在截面。oeicoeidmaxmaxaqbla例例题题 悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。axyx取参考坐标系取参考坐标系axy。解：解：1、列出梁的弯矩方程、列出梁的弯矩方程221)(q

7、xxm)0(lx2、22dxdzeixm)(221qxei积分一次：积分一次：cqxeiei361积分二次：积分二次：dcxqxei4241（1）（2）3、确定常数、确定常数c、d.由边界条件：由边界条件：0,lx代入（代入（1）得：）得：361qlc0,ylx代入（代入（2）得：）得：481qld代入（代入（1）（）（2）得：）得：)6161(133qlqxei)86241(1434qlxqlqxeieiqla630 x代入得：代入得：将将（与（与c比较知：比较知： ）ceiaeiqla84（与（与d比较知：比较知： ）deia常数常数c表示起始截面的转角表示起始截面的转角刚度刚度( (ei

8、) )因此因此常数常数d表示起始截面的挠度表示起始截面的挠度刚度刚度( (ei) )例例题题 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求 和和 。)(),(xxmax,aalfcabayfbyfyx解：解：1、求支座反力、求支座反力,lfbfaylfafbyx2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程,)(1xlfbxfxma,1xlfbei)(lxabc段段x)0 (axac段段b),()(2axfxlfbxm),(2axfxlfbei,21211cxlfbeiei)(lxabc段段)0 (axac段段,)(2222222caxfxlfbeiei,61131dxcxlfbei,

9、)(6622332dxcaxfxlfbei3、确定常数、确定常数由边界条件：由边界条件：0, 0ax（1）0,blx（2）由光滑连续条件：由光滑连续条件：21 时，ax（3）21 时，ax（4）可解得：可解得：)(6221bllfbc,2c021 dd则简支梁的转角方程和挠度方程为则简支梁的转角方程和挠度方程为),(36)(2221blxleifbx)(lxabc段段)0 (axac段段,)(6)(2231xblxleifbx,2)()(36)(22222axfblxleifbx)(6)(6)(32232axlxblxleifbx4、求转角、求转角0 x代入得：代入得：leiblfbxa6)(

10、2201lx代入得：代入得：leialfablxb6)(25、求、求 。max0dxd由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22leiblfba)(03)(1baleibafabaxc段。在ac00)(36)(2221blxleifbx则由则由解得：解得：322blx)(1xy代入代入 得：得：eiblfb39)(2322max2lba若若 则：则：eifllx4832maxmax积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁的 、 、 、 ：bbcc8)(21qlxm2l)2(21)2(8)(2222lxlxqqlxm222)2(28lxqqllxl22分段建立弯矩方程：ab段： （0 x

11、1 )bc段： （）eixmdxd)(121128)(211qlxmei1111)()(cdxxmeixei1128cxql111111)(dxcdxdxxmeixei ）11121216dxcxql二、分段建立近似微分方程，并对其积分两次： ab段：即： （1） （2）22222)2(28)(lxqqlxmei2322222)2(68)(clxqxqleixei2224222222)2(2416)(dxclxqxqleixeibc段： （3）（4）01x0a01x0a三、利用边界条件、连续条件确定积分常数由边界条件确定c1、d1：当当时， ,由（1）式得 c1=0 ；时， ,由（2）式得 d

12、1=0 。由连续条件确定c2、d2：212lxx)()(12xx23212)22(62828cllqlqlclql021 cc212lxx)()(12xx1122224222)2(162)22(24)2(16dlclqldlcllqlql当时，,即联立(1) 、(3)式子：，当时，即联立(2)、(4)式： 即得：d2=01218)(xqlxei212116)(xqlxei32222)2(68)(lxqxqlxei422222)2(2416)(lxqxqlxei四、分段建立转角方程、挠曲线方程：ab段： （5） （6）bc段：（7）（8）21lx eiqlb163eiqlb644lx 2eiql

13、lqqleic485)2(681333eiqllqlqleic38423)2(24)(1614422五求梁指定截面上的转角和挠度当时，由（5）式得，由（6）式得， 当时，由（7）式得， 由（8）式得， 挠度、转角与载荷（如挠度、转角与载荷（如p、q、m）均为一次线性关系）均为一次线性关系轴向位移忽略不计。轴向位移忽略不计。2、叠加法简捷方法 须记住梁在简单荷载作用下的变形挠曲线方程、转角、挠度计算公式。叠加法的两种处理方法：（1）荷载叠加： 叠加原理：叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和

14、转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。度和转角的代数和。www：例题www,2431eiqlbeiqlwc384541,33)(323eiqleilqlbeiqlwc48343,1616)(322eiqleilqlbeilqlwc48)(32321bbbbeiql243eiql33eiql163eiql48113321ccccwwwweiql38454eiql4834eilql48)(3eiql384114例题例题 wwwwww,631eiqlceiqlwc841w,6)2(322eilqbc2222lwwbbceilq8)2(

15、422lbw21cccwwweiql84eilq8)2(422lbeiql38441421ccceiql63eilq6)2(3eiql4874（2）逐段刚化法：21ccc)2(222lbbc例题例题: :试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端c c 的挠度的挠度由于梁的抗弯刚度由于梁的抗弯刚度ei 在在b 处不连续，若由挠曲线微分方程积处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。1. 假定假定ab段刚化，研究自由端段刚化，研究自由端c 对截对截面面b的相对挠度的相对挠度;

16、2. 解除解除ab段的刚化，并令段的刚化，并令bc段刚化。段刚化。abc2eieil/2l/2ppcbwc1c)(243)2(331eipleilpwc)(96522)2(2123)2(3232eipleilpleilpybwbeipleilpleilpb163222122)2(222pmb=pl/2abcwc2wbbbc 悬臂梁悬臂梁bcbc由梁的变形连续条件，直线由梁的变形连续条件，直线bc因因ab段的弯曲变形而移位到段的弯曲变形而移位到 的位置，使的位置，使c点有相应的挠度点有相应的挠度cb 将图（将图（b）和（）和（c）两种情况的变形叠加后，即可求得自由）两种情况的变形叠加后，即可求得

17、自由端端 c 的挠度的挠度 eipleipleiplwwwccc1634872433321 eipllwwbbc487232apmb=pl/2bcwc2wbbbc pcbwc1cpewe 1pwe 2pbpppleilp323ealp2eilpl222eapleipl21253wb2=ccwb3=cc四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施刚度条件：刚度条件：,maxmaxw许用挠度，许用挠度， 许用转角许用转角工程中，工程中， w 常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如：的若干分之一表示，例如：对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁：750500ll对于一般用途的轴：对于一般用途的

18、轴：100005100003ll在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：rad001.0梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：梁的变形与弹性模量梁的变形与弹性模量e e成反比；成反比；梁的变形与截面的惯性矩梁的变形与截面的惯性矩 成反比；成反比；zi梁的变形与跨长梁的变形与跨长l l的的n n次幂成正比次幂成正比例如受例如受q作用的简支梁：作用的简支梁：eiqly38454max)(,)(max明显yl方法：方法：labqlabqlabqlabq。可降低%60maxyzi )(常采用工字形、箱

19、形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。maxm方法：方法：使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：alfcaeiflwla48,5 . 03max时eiflwla48572. 0,8 . 03max时。可降低%8 .42maxw因钢的因钢的e基本相同，所以材料的杨氏模量对基本相同，所以材料的杨氏模量对 变形影响不大。变形影响不大。五、用变形比较法解简单超静定梁1、超静定的概念2、

20、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：(1)解除多余约束，变超静定梁为静定梁；(2)用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程；(3)通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。3、简单超静定梁求解举列。超静梁超静梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或静不定问题）。静不定问题）。超静次数超静次数=未知力的数目未知力的数目- 独立平衡方程数独立平衡方程数bql4 4个约束反力，个约束反力，3 3个平衡方程，个平衡方程，静不

21、定次数静不定次数=1=11、超静定的概念2 、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想(1) (1) 确定超静定次数。确定超静定次数。(2) (2) 选择基本静定梁。选择基本静定梁。 静定梁静定梁(基本静定基基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除，得到相应将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。及内力。 多余约束多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。或多余杆件。多余约束的数目多余约束的数目=超静定次数超静定次数bql多余

22、约束的数目多余约束的数目=1静定梁静定梁(基本静定基基本静定基)选取选取( (2)2)解除解除a端阻止转动的端阻止转动的支座反力支座反力矩矩 作为多余约束作为多余约束, ,即选择两端即选择两端简支的梁作为基本静定梁。简支的梁作为基本静定梁。ambqlama( (1)1)解除解除b支座的约束支座的约束, ,以以 代替，代替，即选择即选择a端固定端固定b端自由的悬臂梁端自由的悬臂梁作为基本静定梁。作为基本静定梁。byfbyfbqla(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单

23、，其次悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。是简支梁，最后为外伸梁。 基本静定基选取可遵循的原则：基本静定基选取可遵循的原则：(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；abqlbyfbqlabqlama3 3、列出变形协调条件。、列出变形协调条件。比较原静不定梁和静定基在解除约比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定梁的一束处的变形，根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。要求，得到变形协调条件。0by0a本例：本例： ( (1)1)4 4、用积分法

24、或叠加法求变形，并求出多余未知力。、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。仅有仅有q q作用，作用，b b点挠度为：点挠度为：eiqlybq84仅有仅有 作用，作用，b b点挠度为：点挠度为：byfeilfybybf33因此因此bqbfbyyyeiql84eilfby330解得解得:)(83qlfbybyfbqla5 5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。本例：本例： ( (1)1)byfbqlaayfaxfam0 xf, 0axf0yf),(85qlfay0am281qlma（ ）byfbqlaayfaxfam(+)图s

25、f(-)ql85ql83l85图m281ql21289qlbql因此因此2max81qlmqlfq85maxqlfqmax2max21qlm6 6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。例例题题 图示静不定梁，等截面梁图示静不定梁，等截面梁ac的抗弯刚度的抗弯刚度ei，拉杆，拉杆bd的抗拉的抗拉 刚度刚度ea，在，在f力作用下，试求力作用下，试求bd杆的拉力和截面杆的拉力和截面c的挠度的挠度 。bdblwfl/2l/2abcdl1 1、选择基本静定梁。、选择基本静定梁。解：解：fl/2l/2abcnf2 2、列出变形协调条件。、列出变形协调条件。nbfbfbwww而而)(485)3 (6322eiflxleifxwlxbf)(3)2(3eilfwnbfn（1）解得：解得：代入代入（1）：）：ealfeilfeiflnn2448533)241 (1252aliffn3 3、在基本静定梁上由叠加法求、在基本静定梁上由叠加法求 。cw)(33eiflwcf在在f力单独作用下：力单独作用下：在在 力单独作用下：力单独作用下：nf)(2411(9625)3 (62322aliei