高考必备备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题41巧构二面角Word版含解析原创精品

1、【高考地位】立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。其求解的策略主要有三种方法：其一是定义法，即按照二面角的定义进行求解；其一是射影法，即找其中一个平面的垂线；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一 定义法使用情景：空间中面面角的求法解题模板：第一步 首先分别在两个平面中找出与交线垂直的直线；第二步 然后运用平移或解三角形的知识求其夹角；第三步 得出结论.例1. 在边长为的正三角形中，于，沿折成二面角后，这时二面角的大小为 【答案】.

2、考点：二面角的求法点评：本题考查二面角平面角的概念及求法，属中档题.弄清图形折叠前后的变化，认识到等边三角形的高线也是中线是解题的关键，根据已知条件能够说明为二面角的平面角，连接，从而容易说明为正三角形，从而得出二面角的大小为.【变式演练1】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】（本小题满分15分）如图, 以为斜边的等腰直角三角形与等边三角形所在平面互相垂直, 且点满足.（1）求证：平面平面；（2）求平面 与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设借助面面角的定义运用

3、解三角形探求. （2）由（1）可知四边形为直角梯形, 延长、交于点,连接,则平面平面.平面平面,且平面平面.易知是线段的中点, 故,从而,平面,就是平面与平面所成的锐二面角的平面角, 所求角的正弦值为.考点：空间线面的位置关系及二面角的概念及求法等有关知识的综合运用方法二 射影法使用情景：空间中面面角的求法解题模板：第一步 首先求出其中一个平面的垂线；第二步 然后过垂足作交线的垂线即可得到二面角的平面角；第三步 运用解三角形等相关知识即可求出其大小.例2. 【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，19】（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且（1）求证：；（2）若直线与平

4、面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接 因，则，由平面侧面，且平面，得平面，又平面，所以 因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以又，从而侧面，又侧面，故 即为二面角的一个平面角 且直角中，又，且二面角为锐二面角，即二面角的大小为【变式演练2】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，分别是棱的中点（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明详见解析；（2） 考点：直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角的求法【变式演练3】如图，在三棱锥中，平面，分别在线段，上，是的中点.（1）证明：平面；（2）若二面

5、角的大小为，求.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（）取的中点，则，从而平面，由中位线定理得，从而平面，进而平面平面，由此能证明平面（）法1：推导出，从而平面，进而得到是二面角的平面角，由此能求出的正切值法2：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的正切值（2）解：由平面知，由，知，故平面. 由（1）知，而，故.所以是二面角的平面角，则. 设，则，又易知在中，可知，在中，.考点：1.线面线面平行的判断；2.二面角. 方法三 空间向量法使用情景：空间中面面角的求法解题模板：第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然

6、后求出两个平面的法向量；第三步 再利用即可得出结论.例3 . 如图，在四棱锥中，底面为等边三角形，为的中点（1）求；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】(1) ab1；() .【解析】试题解析：（1）连接ac, 因为pa底面abcd，平面abcd，所以pabc，又因为pbbc，所以bc底面pab，因为平面pab，所以abbc，因为bcd为等边三角形，所以abd30°又已知abad，bd，可得ab1（）分别以bc，ba所在直线为x，y轴，过b且平行pa的直线为z轴建立空间直角坐标系p(0，1，)，c(，0，0)，e(，)，d(，0)由题意可知平面pab的法向量为m(1，0，0)

7、设平面bde的法向量为n(x，y，z)，则即则n(3，2)cosám，nñ所以平面bde与平面abp所成二面角的正弦值考点：1.线面垂直的判定定理与性质定理；2.空间向量求立体几何问题；3.空间想象能力;4.推理论证能力【易错点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理、空间向量求立体几何问题、推理论证能力、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能准确找出线线关系，尤其是线线垂直、线面垂直的关系，进而不能正确地求出所得的结果；其二是对于第二问不能正确地运用空间向量求立体几何问题，进而导致失误.

8、例4、如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. 求二面角的余弦值.【答案】.【解析】,设平面dpe的法向量，则，令，得 ，又为锐二面角,所以二面角的余弦值为.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.点评：本题考查平面与平面垂直的证明，属中档题解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题【变式演练4】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题解析：（1）取的中点，连接，则四边形为矩形，为等边三角形，.，平面.平面，.（2）由（1）知，过作平面，则两两垂直，分别

9、以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设二面角为，则，二面角的正弦值.考点：1、线面垂直的判定和性质；2、空间向量夹角余弦公式.【变式演练5】如图，在边长为的菱形中，点分别是边，的中点，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且.（1）求证：平面;（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题解析：（1）点分别是边的中点, 菱形的对角线互相垂直, 平面平面平面平面.（2）设,连接为等边三角形, 在中, 在中, 平面平面,平面,以为原点, 所在直线为轴, 所在直线轴， 所在直线为轴, 建立空间直角坐标系,则考点：线面垂直判定定理，利用空间向量求二面角。【思路点睛】利用法向

10、量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练6】如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，实质为证明线面垂直，而线面垂直的证明，往往从两个方面进行，一是结合平几知识寻找线线垂直，本题直角给出另一方面，结合立几中线面垂直条件平面得线线垂直（2）涉及二面角问题，一般利用空间向量进

11、行解决，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，结合向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角的关系，求出二面角的余弦值所以， 以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，设平面的一个法向量为，由得，令，得， 考点：面面垂直判定定理，利用空间向量求二面角【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以a,b,c,d,e,f为顶点的五面体中,面abef为正方形,af=2fd, ,且二面角d-af-e与二面角c-be-f都是（i）证明：平面abef平面efdc；（ii）求二面角e-bc-a的余弦值【答案】（i）见解

12、析（ii）【解析】试题分析：（i）先证明平面,结合平面,可得平面平面（ii）建立空间坐标系,分别求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用求二面角.由已知,所以平面又平面平面,故,由,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值为考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问

13、一般考查角度问题,多用空间向量解决.2. 【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）证，再证，最后证；（）用向量法求解.又，而，所以.（ii）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性质线面垂直的性质，常用来证明线线垂

14、直求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角3. 【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，ac是下底面圆o的直径，ef是上底面圆o的直径，fb是圆台的一条母线.（i）已知g,h分别为ec，fb的中点，求证：gh平面abc；（ii）已知ef=fb=ac=，ab=bc.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）根据线线、面面平行可得与直线gh与平面abc平行；（）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系

15、求解；解法二则是找到为二面角的平面角直接求解. 试题解析：（ii）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以所以二面角的余弦值为.解法二：考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等.4. 【2016

16、高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形abcd的中心为o，四边形obef为矩形，平面obef平面abcd，点g为ab的中点，ab=be=2.（i）求证：eg平面adf；（ii）求二面角o-ef-c的正弦值；（iii）设h为线段af上的点，且ah=hf，求直线bh和平面cef所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）【解析】试题解析：依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（i）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（iii）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角

17、的正弦值为.考点：利用空间向量解决立体几何问题5. 【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面,be=ef=fc=1,bc=2,ac=3.(i)求证：ef平面acfd；(ii)求二面角b-ad-f的平面角的余弦值.【答案】（i）证明见解析；（ii）【解析】试题分析：（i）先证，再证，进而可证平面；（ii）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值所以平面（ii）方法一：过点作，连结因为平面，所以，则平面，所以所以，是二面角的平面角在中，得在中，得所以，二面

18、角的平面角的余弦值为方法二：如图，延长，相交于一点，则为等边三角形取的中点，则，又平面平面，所以，平面以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系于是，所以，二面角的平面角的余弦值为考点：1、线面垂直；2、二面角【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线6.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b.，（当时取等号），【考点定位】立体几何中的动态

19、问题【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题，属于较难题，由于的形状不确定，与的大小关系是不确定的，再根据二面角的定义即可知，当且仅当时，等号成立以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，12年，13年选择题压轴题均考查了立体几何背景的创新题，解决此类问题需在平时注重空间想象能力的培养，加强此类问题的训练.7.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于f. （）证明：； （）求二面角余弦值.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）证明：依据正方形的性质可知，且，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质

20、定理知 （）因为四边形，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为. 设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取【考点定位】1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解。【名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.8.【201

21、5江苏高考，22】（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯 形，, （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）点q是线段bp上的动点，当直线cq与dp所成角最小时，求线段bq的长pabcdq【答案】（1）（2）则各点的坐标为，【考点定位】空间向量、二面角、异面直线所成角【名师点晴】1求两异面直线a，b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|.2求直线l与平面所成的角可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn，a|.3求二面角 ­l ­的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则n1，

22、n2或n1，n29.【2015高考重庆，理19】如题（19）图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且 （1）证明：平面 （2）求二面角的余弦值。【答案】（1）证明见解析；（2）. (2)解：由（）知，cde为等腰直角三角形，dce，如（）图，过点作df垂直ce于，易知dffcef，又已知eb，故fb 由acb得dfac，故acdf由（1）可知de平面pcd，故平面pcd的法向量可取为,即.从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角a-pd-c的余弦值为.【考点定位】考查线面垂直，二面角考查空间想象能力和推理能力【名师点晴】立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系(一般考虑使用综合几何方法进

23、行证明)，然后是与空间角有关的问题，综合几何方法和空间向量方法都可以，但使用综合几何方法要作出二面角的平面角，作图中要伴随着相关的证明，对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题完全代数化了，这种方法对运算能力有较高的要求两种方法各有利弊，在解题中可根据情况灵活选用10.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线平面（3）求二面角的余弦值.【答案】（1

24、）点f、g、h的位置如图所示.（2）详见解析.（3）【解析】（1）点f、g、h的位置如图所示.（3）连结ac，过m作于p. 【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的计算. （1）注意abcd是底面，将平面展开图还原可得点f、g、h的位置. （2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明mn平行于平面bdh内的一条直线.连结o、m，易得是平行四边形，从而，进而证得平面.（3）要作出二面角的平面角，首先要过m作平

25、面aegc的垂线，然后再过垂足作棱eg的垂线，再将垂足与点m连结，即可得二面角的平面角. 【反馈练习】1. 【2016辽宁大连高三双基测试卷,理19】如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,.面,且.在棱上,且,在棱上.（）若面,求的值；（）求二面角的大小.又为中点,为中点,为中点,。法二:取中点,连接,是的菱形,又面,分别以、为、轴正方向建立空间直角坐标系如图所示.则,设面的一个法向量,则由可得,不妨令,则解得,.设,则,面,即,解得.,二面角的大小为.2【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】（本小题满分12分）如图所示，四边形为等腰梯形，且于点为的中点将沿着折起至的位

26、置，得到如图所示的四棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，根据中位线，且，而，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面；（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，计算平面与平面的法向量，利用两个法向量求得二面角的余弦值为.四边形为平行四边形，5分平面平面，平面6分由图知平面与平面所成的二面角为锐角，所以所求的余弦值为12分考点：空间向量与立体几何3【四川巴中市2017届“零诊”，19】 (本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，交于点，证明，根据线面平行的判定即可求解；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.易得平面的法向量为，故，故平面与平面所成二面角的正弦值为. 考点：1.线面平行的判定；2.二面角的求解.4【湖南永州市2017届高三第一次模拟，18】（本小题满分12分）如图1，在的平行四边形中，垂直平分，且，现将沿折起（如图2），使（）求证：直线平面；（）求平面与平面所成的角