达朗伯原理和动静法课件

1、达朗伯原理和动静法动动 力力 学学达朗伯原理和动静法 达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍方法，即用静力学中研究平衡一个新的普遍方法，即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法动静法。 达朗伯原理和动静法第第五五章章达达朗朗贝贝尔尔 原原理理目录动动 力力 学学53 53 动静法应用举例动静法应用举例52 52 惯性力系的简化惯性力系的简化5 1 5 1 达朗达朗贝尔贝尔原理原理达朗伯原理和动静法 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表

2、示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 达朗贝达朗贝尔原理。尔原理。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理引 言达朗伯原理和动静法工程实际问题工程实际问题第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗伯

3、原理和动静法第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗伯原理和动静法 质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理达朗伯原理和动静法abmnffam该质点的动力学基本方程为该质点的动力学基本方程为 设质量为设质量为m的非自由质点的非自由质点m，在主动力，在主动力f f和约和约束力束力f fn n作用下沿曲线运动，作用下沿曲线运动，f f* *f ff fn n或或0)(naffm引入质点的惯性力引入质点的惯性力f f* * = =ma a 这一概念，于是上式可改写成这一概念，于是上式可改写成 上式表明，上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主

4、动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。这就是质点的达朗伯原理。0nf*ffa ama a 5 5- -2 2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理一、质点达朗伯原理达朗伯原理和动静法质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理的投影形式000*n*n*nzzzyyyxxxfffffffff 5 5- -2 2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0nf*ff达朗伯原理和动静法 这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。力和该质点的

5、惯性力在形式上构成一平衡力系。 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将达朗贝尔原理上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将达朗贝尔原理应用于每个质点，得到应用于每个质点，得到n n个矢量平衡方程。个矢量平衡方程。0*niiifff这就是质点系的达朗这就是质点系的达朗贝尔贝尔原理。原理。 5 5- -2 2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理达朗伯原理和动静法 对于所讨论的质点系，有对于所讨论的质点系，有n n个形式如上式的平衡方程，即有个形式如上式的平衡方程，即有n n个形式上个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在一起，所构成的任意力系仍然是平的平衡力系。将其

6、中任何几个平衡力系合在一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中空间任意力系的平衡条件，有衡力系。根据静力学中空间任意力系的平衡条件，有0n*ifffii0)()()(n*ioioiofmfmfm 5 5- -2 2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0*niiifff达朗伯原理和动静法 考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有因此，该式并不表示仅有6 6个平衡方程，而是共有个平衡方程，而是共有3 3n n个独立的平衡方程。同时注意，个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所

7、有内力都将自动消去。在求和过程中所有内力都将自动消去。 上式表明上式表明在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点的惯性在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点o o的主矩也等于零。的主矩也等于零。 达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方程的方法，这达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方程的方法，这种方法称为种方法称为动静法动静法。这些方程也称为。这些方程也称为动态平衡方程。动态平衡方程。 5 5- -2 2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0*niiifff0)()()

8、(n*ioioiofmfmfm达朗伯原理和动静法达朗伯原理和动静法0 f*f0*mmoo由质心运动定理有由质心运动定理有 f f = = ma ac , ,得得 对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向任意点对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向任意点o o简化后所得的主矢、主矩分别记作简化后所得的主矢、主矩分别记作f f，m mo o 和和f f* * ，m m* *o o ，于是，由力系平衡条件，于是，由力系平衡条件，可得可得cm af*即即, ,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而取相反质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速

9、度的乘积，而取相反方向。方向。一、 惯性力系的简化1.1.惯性力系的主矢惯性力系的主矢 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化达朗伯原理和动静法由对任意固定点由对任意固定点o o的动量矩定理有的动量矩定理有 ， toodd lmto*oddlm现将上式两端投影到任一固定轴现将上式两端投影到任一固定轴oz上，上，tlmzddz*上式表明上式表明质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，等于质质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。2.2.惯性力惯性力系的主矩系的主矩代

10、入代入0*oomm得得 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化达朗伯原理和动静法tlmzdd*z 上式表明：上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主矩，等质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。以及它在通过质心以及它在通过质心c c的某一平动轴的某一平动轴zc上的投影表达式上的投影表达式 利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力对质心利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力对质心c c的主矩的主矩表达式表达式t*cddclm 5-2

11、惯性力系的简化惯性力系的简化达朗伯原理和动静法惯性力惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。系的主矩与刚体的运动形式有关。惯性力惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。系的主矢与刚体的运动形式无关。 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化达朗伯原理和动静法1. 1. 刚体作平动刚体作平动a aca a1a a2a anmm2mnm1f f* *nf f* *1f f* *2f f* *0*m 刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。 刚体平移时，惯性力系向质心简化刚体平移时，惯性力系向质心简化 )(iima*f主矢主矢主矩主矩ccimmaa )( 5-

12、2 惯性力系的简化惯性力系的简化二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩达朗伯原理和动静法oc2. 2. 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴oz转动，在任意瞬时的角速度为转动，在任意瞬时的角速度为，角加速度为，角加速度为。 主矢主矢ncatca*nf*tf具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。ciimmaaf )(* 设质心设质心c c的转动半径为的转动半径为r rc c，则，则 和和 的大小可分别表示为的大小可分别表示为*ft*fnntcccaaa*fffnt 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化;tt

13、cmaf*;nncmaf*rc达朗伯原理和动静法ccmrmat2nccmrma 显然，当质心显然，当质心c c在转轴上时，刚体的惯在转轴上时，刚体的惯性力主矢必为零。性力主矢必为零。;ttcmaf*;nncmaf*其中其中)(ntcccmmaaaf* 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化*fffntoczyxncatca*nf*tfrc达朗伯原理和动静法 主矢主矢 具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化，得称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化，得到的到的惯性力系主矢的大小等于刚体质量与质心加速度惯性力系主矢的大小

14、等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化)(ntcccmmaaaf*oczyxncatca*nf*tfrc达朗伯原理和动静法oczyxncatca*nf*tftjjttlmzzzzdd)(dddd*即即zzjm*对转轴的主矩对转轴的主矩将刚体对转轴将刚体对转轴oz的动量矩的动量矩 代入代入 可得刚体惯性力对轴可得刚体惯性力对轴oz的主矩的主矩tlmzzdd*zzjl 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化rc达朗伯原理和动静法 具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平

15、面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到合力偶的力偶矩即为的结果，得到合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。乘积，方向与角加速度方向相反。对转轴的主矩对转轴的主矩 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化zzjm*oczyxncatca*nf*tf达朗伯原理和动静法主矢主矢对转轴的主矩对转轴的主矩 合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度

16、大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。 具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个果，得到一个合力合力和一个和一个合力偶合力偶。 合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。oc*fm m* *z 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化zzjm*)(ntcc

17、cmmaaaf*达朗伯原理和动静法3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。作进一步简化。 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化达朗伯原理和动静法3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 若取质心若取质心c为基点，则刚体的平面运动

18、可以分解为基点，则刚体的平面运动可以分解为随质心为随质心c的平动和绕质心（通过质心且垂直于运动平面的的平动和绕质心（通过质心且垂直于运动平面的轴）的转动。轴）的转动。ca acrimia actr ianr ia 刚体上各质点的加速度及相应的惯性力也可刚体上各质点的加速度及相应的惯性力也可以分解为以分解为随质心的平动和绕质心轴的转动随质心的平动和绕质心轴的转动两部分。两部分。 于是，此刚体的于是，此刚体的牵连平动惯性力牵连平动惯性力可合成为作用可合成为作用线通过质心、且在对称面内的一个力线通过质心、且在对称面内的一个力f f* *。 因质心因质心c在相对运动的转轴上，故刚体的在相对运动的转轴上

19、，故刚体的相对相对转动的惯性力合成为一力偶。转动的惯性力合成为一力偶。f f* *m m* *c 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化达朗伯原理和动静法cmaf* 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化的结果得到互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化的结果得到一个合力一个合力和和一个合力偶一个合力偶，二者都位于质量对称平面内。二者都位于质量对称平面内。 合力的矢量即为惯性力系的主矢，合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘其大小等于刚体质量与质

20、心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。积，方向与质心加速度方向相反。 主矢主矢 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化ca acrimia actr ianr iaf f* *m m* *c达朗伯原理和动静法 合力偶的力偶矩即为惯性力系的合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对通过质心的转动轴主矩，其大小等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。速度方向相反。zccjm*主矩主矩 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化ca acrimia actr ianr iaf f* *m m* *c达朗伯原理和动静法

21、zccjm*主矩主矩cmaf*主矢主矢ciimmaaf* )(主矢主矢主矩主矩0*m主矢主矢)(ntcccmmaaaf*zjm*z对转轴的主矩对转轴的主矩综上所述：综上所述： 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化达朗伯原理和动静法达朗伯原理和动静法 例题例题 5-15-1 汽车连同货物的总质量是汽车连同货物的总质量是m ，其质心，其质心 c 离前后轮的水平距离离前后轮的水平距离分别是分别是 b 和和 c ，离地面的高度是，离地面的高度是 h 。当汽车以加速度。当汽车以加速度a a沿水平道路行驶时，求沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质

22、量不计。abc ccbh5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-1达朗伯原理和动静法 取汽车连同货物为研究对取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有：重力象。汽车实际受到的外力有：重力 g g，地面对前、后轮的铅直反力，地面对前、后轮的铅直反力 f fn na a 、 f fn nb b 以及水平摩擦力以及水平摩擦力 f fb b ( (注意：前轮注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计其摩擦力可以不计) )。解： 因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 c c 上的一个力上的一个力 f f

23、* *= = ma a 。ccbh5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法) 1 ( 0)( , 0n*cbfmgchfmab于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程由式由式(1)(1)和和(2)(2)解得解得cbahgbmfcbahgcmfba)()(nn)2( 0)( , 0n*cbfmgbhfmba5-3 动静法应用举例动静法应用举例ccbh达朗伯原理和动静法 无无absabs系统时，刹车会产生侧滑现象系统时，刹车会产生侧滑现象5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死抱死”？车轮

24、防抱死装置车轮防抱死装置abs:abs: anti-brake anti-brake systemsystem5-3 动静法应用举例动静法应用举例 思考题1l2lhgm达朗伯原理和动静法1l2lhgm1f1nf2f2nf分析汽车刹车时的动力学特性分析汽车刹车时的动力学特性*f0)(, 0*2211nhfmglllfmb21*21nllhfmglf0)(, 0*1212nhfmglllfma21*12nllhfmglf刹车时的动力学特性：刹车时的动力学特性：车头下沉；车头下沉； 若质心在中间，后轮容易打滑。若质心在中间，后轮容易打滑。a ab b达朗伯原理和动静法底盘可升降的轿车底盘可升降的轿车

25、5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 例题例题5-2 5-2 如图所示，匀如图所示，匀质滑轮的半径为质滑轮的半径为r，质量为，质量为m，可，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为绳的两端各挂质量为m1和和m2的重物的重物, ,且且m1 m2 。绳的重量不计，绳与。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度和轴忽略不计。求重物的加速度和轴承反力。承反力。 oabro5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-2达朗伯原理和动静法5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法

26、以滑轮与两重物一起组成所研究的质点系。以滑轮与两重物一起组成所研究的质点系。作用在该系统上的外力有重力作用在该系统上的外力有重力m1g g，m2g g，mg g和轴承约和轴承约束反力束反力f fn。,1*1amf amf2*2oabry解：解： 已知已知m m1 1 m m2 2，则重物的加速度，则重物的加速度a a方向如图所示。方向如图所示。*1f*2f 在系统中每个质点上假想地加上惯性力后，在系统中每个质点上假想地加上惯性力后，可以应用达郎伯原理。可以应用达郎伯原理。 重物的惯性力方向均与加速度重物的惯性力方向均与加速度a a的方向的方向相反，大小分别为：相反，大小分别为：o5-3 动静法

27、应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 滑轮定轴转动，惯性力向转轴滑轮定轴转动，惯性力向转轴o o简化。简化。0(*2211o*mg)rmffgm应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 f* *= =mao o= =0主矩主矩 m m* *o o= =jo = =marramr21212oabry*1f*2fo , 0yf, 0)(fom02121n*ffgmgmmgf, 1*1amf amf2*25-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法gmmmmma212121解得解得0*2211o*mgrmrfrfgrm , 0yf, 0)(fom02121n

28、*ffgmgmmgf02121namamgmgmmgf, 1*1amf , 2*2amf marmo21*oabry*1f*2fo 5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 例题例题5-35-3飞轮质量为飞轮质量为m，半径为，半径为r，以，以匀角速度匀角速度转动。设轮缘较薄，转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。 例题 5-35-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。将轮缘分成无数

29、微小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力 n*iiimaf 2n*2rrrmamfiiii建立平衡方程建立平衡方程 , 0 xf0 cos*aiiff令令 ，有，有0i2d cos22202mrrmfa解：*if5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。同。 再建立平衡方程再建立平衡方程 , 0yf0 sin*biiff22mrfb同样解得同样解得*if5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法xyoca 例题例题5-4 5-4 车辆的主动轮如图车辆的主动轮如图所示。设轮的

30、半径为所示。设轮的半径为r，重为，重为w w1(w1= mg)，在水平直线轨道上运动。车身对，在水平直线轨道上运动。车身对轮子的作用力可分解为轮子的作用力可分解为w w和和f f，驱动力，驱动力偶矩为偶矩为m。车轮对通过其质心并垂直于。车轮对通过其质心并垂直于车轮对称面的轴的回转半径为车轮对称面的轴的回转半径为c ，轮轮与轨道间的滑动摩擦系数为与轨道间的滑动摩擦系数为fs，不计，不计滚动摩阻的影响。求在不滑动条件下，滚动摩阻的影响。求在不滑动条件下，驱动力偶矩驱动力偶矩m的最大值。的最大值。 5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-4达朗伯原理和动静法惯性力系：因车轮作平面运动，设车身有

31、向前的惯性力系：因车轮作平面运动，设车身有向前的加速度加速度a a，则惯性力系向质心，则惯性力系向质心c简化的主矢量简化的主矢量f f* *和和主矩主矩m*c为：为：af*mramjmccc)(2*分析车轮的受力情况如下。分析车轮的受力情况如下。主动力系主动力系: : 车身的载荷车身的载荷f f和和w w，驱动力偶矩，驱动力偶矩m m，车轮的重量车轮的重量w w1 1= =mgmg。约束力系：法线约束力约束力系：法线约束力f fn ，滑动摩擦力，滑动摩擦力f ff 。解：解：xyoca5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法应用动静法，写出动态平衡方程：应用动静法，写出动态平衡方

32、程： , 0 xf0*ffff , 0yf01nwwf, 0)(fcm0f*mrfmcxyoca0)(fam是否可以是否可以？0)(*mrffmc5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法再利用再利用f ff f f fs sf fn n的条件，可得的条件，可得222frfmrfcc1nwwf 上三式包含上三式包含f ff ，f fn和和a a三个未知量，三个未知量，故可解出故可解出xyooa22221s)1)( rfrwwfrmcc5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 例题例题5-55-5 如图所示，匀如图所示，匀质圆盘的半径为质圆盘的半径为r，质量为，质量为m

33、，可，可绕水平轴绕水平轴o o转动。突然剪断绳，求转动。突然剪断绳，求圆盘的角加速度和轴承圆盘的角加速度和轴承o o处的反力。处的反力。 abroc5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-5达朗伯原理和动静法abrocyxtcanca*ft*fn圆盘定轴转动，惯性力向转轴圆盘定轴转动，惯性力向转轴o o简化。简化。0(*tooym)rff应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 f*t= =matc c= = m r主矩主矩 m*o o= = jo = =223mr , 0yf, 0)(fcm fox +f*n=0 , 0 xffoy + f*tmg= 0f*

34、n= =mr2= = 00)(fom是否可以是否可以？0*ommgr5-3 动静法应用举例动静法应用举例解：解：达朗伯原理和动静法abrocyxtcanca*ft*fn若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心c c简化。简化。0*coymrf应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 f*t= =matc c= = m r主矩主矩 m*c c= = jc = =221mr, 0yf, 0)(fcm fox +f*n=0 , 0 xffoy + f*tmg= 0f*n=mr2= = 05-3 动静法应用举例动静法应用举例 讨论达朗伯原理和

35、动静法 例题例题 5-6 5-6 用长用长 l 的两根绳子的两根绳子 ao 和和 bo 把长把长 l ，质量是质量是 m 的的匀质细杆悬在点匀质细杆悬在点 o ( (图图 a ) )。当杆静止时，突然剪断绳子。当杆静止时，突然剪断绳子 bo ，试求刚剪断瞬，试求刚剪断瞬时另一绳子时另一绳子 ao 的拉力。的拉力。olllbac（a）5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-6达朗伯原理和动静法5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 绳子绳子bo剪断后，杆剪断后，杆ab将开始在铅直面内作平面将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳运动。由于受到绳oa的约束，点的约束，点a将在铅

36、直平面内作圆周将在铅直平面内作圆周运动。在绳子运动。在绳子bo刚剪断的瞬时，杆刚剪断的瞬时，杆ab上的实际力只有绳上的实际力只有绳子子ao的拉力的拉力f f和杆的重力和杆的重力mg g。解：解： 在引入杆的惯性力之前，须对杆作在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度加速度分析。分析。取坐标系取坐标系axyz 如图如图( (c) )所示。所示。a aa = = a ana + + a ata= = a acx + + a acy + + a atac + + a anacobacoxyba（c）tacataacyacxacyacxa 利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质利用刚体作平面运动的加速度

37、合成定理，以质心心c作基点，则点作基点，则点a的加速度为的加速度为5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 在绳在绳bo刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度 = = 0 ，角，角加速度加速度 0。因此。因此又又 ana=0，加速度各分量的方向如图，加速度各分量的方向如图( (c) )所示。把所示。把 a aa a 投影投影到点到点a轨迹的法线轨迹的法线 ao上，就得到上，就得到anac = ac 2 = 0atac = l2 sin sin cos0taccycxaaa这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。即即0 si

38、n2lsin - cos cycxaa（1）obacoxyba（c）tacataacyacxacyacxa5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 杆的惯性力合成为一个作用在质心的力杆的惯性力合成为一个作用在质心的力 f f*c 和一个力偶和一个力偶m* *c ，两者都在运动平面内，两者都在运动平面内， f f*c的两个分的两个分量大小分别是量大小分别是f*cx = macx , f*cy = macy力偶矩力偶矩 m m* *c 的大小是的大小是m*c = jcz旋向与旋向与相反相反( ( 如图如图b) )。obacoxyba（c）tacataacyacxacyacxa5-3

39、动静法应用举例动静法应用举例f f* *c cxf f* *cycym m* *c c达朗伯原理和动静法由动静法写出杆的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆且对于细杆 , , jcz = ml 212 。联立求解方程联立求解方程( (1) )( (4) )，就可求出，就可求出mgmgf1332cossin4 sin220sin2, 0)(0sin, 00cos, 0 lfj m fmgma f fma fzcccyycxxf（2）（3）（4）obacoxyba（c）tacataacyacxacyacxa5-3 动静法应用举例动静法应用举例f f* *c cxf f* *c

40、ycym m* *c c达朗伯原理和动静法 例题例题5-8 半径为半径为r，重量为，重量为w w1 1的大圆轮，由绳索牵引，在重量为的大圆轮，由绳索牵引，在重量为w w2 2的重的重物物a的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。轮与地面之间的滑动摩擦力。5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-8达朗伯原理和动静法5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 解：解：先应用动能定理，求出加速度，先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法

41、。 swtrvrgwvgwvgw202212122)(21(2121211. 1. 应用动能定理。应用动能定理。a5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法swtrvrgwvgwvgw202212122)(21(212121swtvgwgw20212)23(21vtsdd12223wwgwa1. 1. 应用动能定理。应用动能定理。两边对时间两边对时间t t求导，且求导，且得得a5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法12223wwgwa0 0,)(frjmccf)23( 212122wwwwrajrjfcc2. 2. 应用动静法。应用动静法。取轮子为研究对象。取轮子为

42、研究对象。agw1将将 带入上式带入上式得得ra5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法例例5-95-9 铅直轴铅直轴abab以匀角速度以匀角速度转动，轴上固连两水平杆转动，轴上固连两水平杆cdcd和和efef，两杆分别和转轴形成的平面夹角是，两杆分别和转轴形成的平面夹角是，两杆长，两杆长度都是度都是l l，其余尺寸如图，其余尺寸如图14-914-9所示。今在两杆端上各固连所示。今在两杆端上各固连一小球一小球d d和和f f，它们的质量都是，它们的质量都是m m，不计转轴和杆的质量。，不计转轴和杆的质量。试求轴承试求轴承a a、b b对轴的动反力。对轴的动反力。xf fbyf f

43、bxf faxf fazbcg gq qdyazaahlledfg gq qff fay5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法2fdlaa2fdmlqq 当转轴以匀角速度当转轴以匀角速度转动时，两小球只有法转动时，两小球只有法向加速度，其大小是向加速度，其大小是两小球惯性力的大小是两小球惯性力的大小是方向分别沿方向分别沿cdcd和和efef，真实力与惯性力构成空间任意力系，真实力与惯性力构成空间任意力系，如图所示。因对象上的惯性力是两个集中力，所以不必如图所示。因对象上的惯性力是两个集中力，所以不必简化。简化。xf fbyf fbxf faxf fazbcg gq qdyaza

44、ahlledfg gq qff fay5-3 动静法应用举例动静法应用举例解：解：取转轴连同两杆和两小球为研究对象。它所受的取转轴连同两杆和两小球为研究对象。它所受的真实力有两球的重力真实力有两球的重力g=mgg=mg和轴承和轴承a a、b b的反力。的反力。达朗伯原理和动静法, 0 xf0sin2bxaxmlff, 0yf0cos22byaymlmlff, 0zf0mgmgfaz, 0)(fmxcos)(amlhmlhf22by0cosmglmgl, 0)(fmy0sinsinmglamlhf2bx 取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程 xf

45、fbyf fbxf faxf fazbcg gq qdyazaahlledfg gq qff fay5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法sin)(2axhghmlfgaahhmlf22ay)cos1 (cos)(mgfaz2sin)(gahmlf2bxgaahhmlf22by)cos1 (cos)( 联立求解上列联立求解上列5 5个方程，得到轴承的反力是个方程，得到轴承的反力是（1）5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 上述解答式中，不含上述解答式中，不含2 2的项是转子（机器中的转动部件，本题中是转轴、的项是转子（机器中的转动部件，本题中是转轴、杆及小球所

46、组成的转动刚体）静止时的杆及小球所组成的转动刚体）静止时的静反力静反力；而含；而含2 2的项是转子匀速转动时的项是转子匀速转动时的惯性力引起的的惯性力引起的附加动反力附加动反力，它们的反作用力是轴承所受的，它们的反作用力是轴承所受的附加动压力附加动压力。 转子匀速转动时的附加动压力随转子匀速转动时的附加动压力随的增大而急剧增大（与的增大而急剧增大（与2 2成比例），成比例），且其在空间的方向随时间而周期性变化它将影响轴承的使用寿命，并引起周围物且其在空间的方向随时间而周期性变化它将影响轴承的使用寿命，并引起周围物体的振动。体的振动。5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 0bx

47、axff2byayahhmlff)2( mgfaz2(2) 为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特例：例： 当当=时，由式（时，由式（1），有），有5-3 动静法应用举例动静法应用举例xf fbyf fbxf faxf fazbcg gq qdyazaahlledfg gq qff fay达朗伯原理和动静法 0bxaxff2byayahhmlff)2( mgfaz2(2) 为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本例的如下两种特例：例： 当当

48、=时，由式（时，由式（1），有），有 事实上，当事实上，当=时，转子质心在转轴上，从而转子时，转子质心在转轴上，从而转子惯性力主矢惯性力主矢等于零，使等于零，使得附加动压力中由惯性力主矢引起的部分得以消除。注意到质心在转轴上的转子若得附加动压力中由惯性力主矢引起的部分得以消除。注意到质心在转轴上的转子若除自身重力外不受其他主动力作用，则转子可在任意放置的位置上静止平衡，所以除自身重力外不受其他主动力作用，则转子可在任意放置的位置上静止平衡，所以这种质心在转轴上的情况称为这种质心在转轴上的情况称为静平衡静平衡。5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法 可以看出，式（可以看出，式（2

49、）中的第二式表）中的第二式表示了两小球惯性力所形成的力偶示了两小球惯性力所形成的力偶所引起的附加动反力。一般也如所引起的附加动反力。一般也如此，即仅静平衡的转子，还不能此，即仅静平衡的转子，还不能完全消除附加动反力。完全消除附加动反力。5-3 动静法应用举例动静法应用举例0bxaxff2byay)a2h(hmlffmgfaz2当当=时，由式（时，由式（1），有），有(2)xf fbyf fbxf faxf fazbcg gq qdyazaahlledfg gq qff fay达朗伯原理和动静法 2. 当当=时，且时，且h=2a时，时，由式（由式（2）有）有0byaybxaxffffmgfaz2

50、(3)5-3 动静法应用举例动静法应用举例0bxaxff2byayahhmlff)2( mgfaz2当当=时，由式（时，由式（1），有），有(2)xf fbyf fbxf faxf fazbcg gq qdyazaahlledfg gq qff fay即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性力自成平衡的情况称即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性力自成平衡的情况称为为动平衡动平衡。达朗伯原理和动静法 动平衡在工程技术中有重要意义。为了使高速旋转部件，如陀螺仪的转动平衡在工程技术中有重要意义。为了使高速旋转部件，如陀螺仪的转子、航空发动机的转子等工作时的附加动压

51、力减小到允许的范围之内，常常要在子、航空发动机的转子等工作时的附加动压力减小到允许的范围之内，常常要在专门的动平衡试验机上进行试验，并在转子上适当的位置作质量配置，使转子质专门的动平衡试验机上进行试验，并在转子上适当的位置作质量配置，使转子质心的偏离、惯性力的大小都控制在允许的范围内。心的偏离、惯性力的大小都控制在允许的范围内。5-3 动静法应用举例动静法应用举例即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性力自成平衡的情况即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性力自成平衡的情况称为称为动平衡动平衡。达朗伯原理和动静法 为检查刚体是否静平衡，通常采用静平衡架，将刚体的转轴放在两个为检查刚体是否静平衡，通常采用静平衡架，将刚体的转轴放在两个水平支撑上。若质心在转轴上，则刚体可静止在任何位置随遇平衡。若质心不水平支撑上。若质心在转轴上，则刚体可静止在任何位置随遇平衡。若质心不在轴线上，刚体就只能静止在质心在轴线上，刚体就只能静止在质心c最低时的稳定位置上如图。最低时的稳定位置上如图。静平衡的检查静平衡的检查5-3 动静法应用举例动静法应用举例达朗伯原理和动静法静平衡的检查静平衡的检查5-3 动静法应用举例动静法