第4章_静态场及其边值问题解

1、第4章 1 第4章 静电场分析主要内容：1.建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程及电介质的特性方程2.将静电场的求解归结为电位问题的求解，导出泊松方程和拉普拉斯方程3.静电场问题在工程中的应用：电容的计算，电场能量及静电力的计算。第4章 2本章章节安排如下：4.1静电场分析的基本变量4.2真空中静电场的基本方程4.3电位4.4泊松方程4.5电介质的极化 极化强度4.6介质中的高斯定律 边界条件4.7恒定电场分析4.8静电场基本方程的应用第4章 34.1静电场分析的基本变量静电场分析的基本变量 静电场是由静止电荷静电场是由静止电荷(或恒定的电荷或恒定的电荷)产生的，所以电荷分布产生的，所以

2、电荷分布 是静电场的源变量。它是一种标量性质的源变量，因而静电场是是静电场的源变量。它是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场。一种有散度的矢量场。 r 电场强度电场强度 是场变量，它表示电场对带电质点产生作用的是场变量，它表示电场对带电质点产生作用的能力。能力。 rE 物理学知识告诉我们，任何物质都是由分别带正电荷物理学知识告诉我们，任何物质都是由分别带正电荷(原子核原子核)负电荷负电荷(电子电子)的粒子组成的，这些带电粒子之间存在相互作用。当的粒子组成的，这些带电粒子之间存在相互作用。当物质被引入电磁场时，它们将和电磁场产生相互作用而改变其状态。物质被引入电磁场时，它们将和电

3、磁场产生相互作用而改变其状态。从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为极化、磁化和传导三种从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为极化、磁化和传导三种现象。不同物质，其带电粒子之间相互作用力往往差异很大。导体现象。不同物质，其带电粒子之间相互作用力往往差异很大。导体中，带正电荷的原子核与带负电荷的电子间的相互作用力小，即使中，带正电荷的原子核与带负电荷的电子间的相互作用力小，即使在微弱的外电场下，电子也会发生定向移动。在这里，传导是主要在微弱的外电场下，电子也会发生定向移动。在这里，传导是主要现象现象。电介质的主要特征是电子和原子核结合得相当紧密，电子被。电介质的主要特征是电子和原子核结合得相当紧

4、密，电子被原子核紧紧束缚住。原子核紧紧束缚住。第4章 4相应地把电介质的电荷称为束缚电荷。在外相应地把电介质的电荷称为束缚电荷。在外电场电场作用作用下，束缚电下，束缚电荷只能做微小位移，在这里，极化是主要现象。荷只能做微小位移，在这里，极化是主要现象。研究研究物质的磁效物质的磁效应时，把物质称为磁介质，磁化是磁介质的作用应时，把物质称为磁介质，磁化是磁介质的作用现象现象。 如果研究物质空间内的电场，仅用电场强度一个场变量就不能如果研究物质空间内的电场，仅用电场强度一个场变量就不能完全反应物质内发生的静电现象。因为当物质内存在电场时，构成完全反应物质内发生的静电现象。因为当物质内存在电场时，构成

5、物质的带电粒子将在电场强度作用下出现运动或移动。这就需要另物质的带电粒子将在电场强度作用下出现运动或移动。这就需要另一个场变量来描述这一现象的本质。电介质内存在电场时，电介质一个场变量来描述这一现象的本质。电介质内存在电场时，电介质内的束缚电荷在电场作用下会出现位移现象。一般用单位面积上位内的束缚电荷在电场作用下会出现位移现象。一般用单位面积上位移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一基本变量，称为电通密度移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一基本变量，称为电通密度(电电位移位移) C/m2。)r(D第4章 5法拉第在19世纪40年代，利用他自己提出的电感应线概念，从实验中得到：无界均匀介质中，点电荷周

6、围的电位移 rerqrD24另一方面实验又证明，在各向同性的材料内，空间某处的 和 成正比DE rErD 为电介质的介电常数，单位为F/m。 所以，分析静电场时，需要三个基本变量：一个源变量 。两个场变量 和 ，除此外，还需要表示电介质材料特性的参数 ， 一般称为材料的特性方程或本构关系式。 r rEED rD第4章 64.2真空中静电场的基本方程 分析求解电磁问题时，可分两种方法：积分方程法和微分方程法。不管用什么方法，由矢量场分析的角度看，都必定涉及到矢量在闭合面上的通量特性和矢量在闭合回路上的环流量特性，所得方程式称为场的基本方程的积分形式。 真空中静电场的基本方程为0dd0lEqSDl

7、S(1)(2)(1)式称为真空中的高斯定律。它表明基本变量 在闭合面S的通量特性；(2)式称为静电系统的守恒定理，它表明基本变量在闭合回路上的环流量特性，说明静电场是一种守恒性的矢量场。0DE真空中静电场空间电介质特性方程为 (3)ED00第4章 立体角：若ds为半径为R的球面上的任一面元，则ds可构成一个以球心为顶点的锥体，取ds与R2的比值定义为ds对球心所张的立体角。用 表示。d2ddRS单位Sr(球面度)若ds不是球面元，则它对o点所张的立体角为：以o点为球心，o点到ds的距离R为半径作一球面，取ds在球面上的投影 与R2的比值，即为面元ds对o点所张的立体角。reSd22cosddd

8、RSReSrROdds第4章 8一个任意形状的闭合面对一点o所张的立体角分两种情况:(1)o点在闭合面内，以o点为球心，任意半径作一个球面，则闭合面上任一面元对o点所张的立体角也就是它对o点构成的锥体在球面上割出的球面元所张的立体角。即该任意闭合面对o点所张的立体角和球面对o点的立体角相等，为 。(2)o点在任意闭合面之外，则此闭合面对o点所张的立体角为0。因为闭合面的两个部分表面的立体角等值异号。（见图4.2）4第4章 9 若无界真空中有一个点电荷，则ssrrsRSeqRSeqSD220d44dd2dRSer 是面元ds对点q所张的立体角 ,整个积分是闭合面对点q所张的立体角，因此d0d0q

9、SDsQ在闭合面内Q不在闭合面内第4章 10如果无界真空中有N个点电荷q1,q2,qk,qk+1,qN,而此闭合面s内有q1,q2,qk,则闭合面s上的通量为SDDDDSDNkssd)d0002010 sNsksSDSDSDddd0001kiikqqqq121.第4章 11当电荷以体密度 分布时， rVVsVDVSDddd000D所以此即高斯定律的微分形式。第4章 12qABRARBdl在点电荷q的电场中任取一条曲线连接A,B两点，则电场沿曲线的线积分)RR(qRRqlReqlEBABABARl114d4d4d02020当A，B重合时0d llE利用斯托克斯定理0ddSElEsl第4章 130

10、E说明静电场是无旋场，一定为保守场。利用斯托克斯定理0ddSElEsl第4章 14或 只有一个坐标分量，且仅是该坐标变量的函数，则 成立。因此只要求解 (或 ) ，就能得到场解。E0EqSDsd00D总结真空中静电场的基本方程0E0D当已知 时，通过 ，联立求解上述两个矢量方程就能求得 。因为根据亥姆霍兹定理，只有在给定矢量场的散度方程与旋度方程的条件下，才能唯一地确定此矢量场。 但当电荷分布具有一定的对称性时，选择适当的坐标系，使 ED0E0D第4章 150dd0lEqSDlS0E0D第4章 16专题：利用高斯定理求解静电场专题：利用高斯定理求解静电场00d( )( )SSVDSE r dS

11、r dVQv关键：高斯积分面的选择关键：高斯积分面的选择v高斯面的选择原则：高斯面的选择原则：v用高斯定理求解电场的方法只适用于一些呈对称分布的电荷用高斯定理求解电场的方法只适用于一些呈对称分布的电荷系统系统1 1）场点位于高斯面上；）场点位于高斯面上；2 2）高斯面为闭合面；）高斯面为闭合面；3 3）在整个或分段高斯面上，）在整个或分段高斯面上， 或或 为恒定值。为恒定值。ED第4章 17*利用高斯定理计算电场强度利用高斯定理计算电场强度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。算电场强度。 具有以下几种对称性的场可

12、用高斯定理求解：具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳均匀带电球体均匀带电球体aO0第4章 18 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。：如无限大的均匀带电平面、平板等。第4章 19 2201arr例1电荷按体密度 分布于一个半径为a的球形区域内，其中 为常数。试计算球内外的电通密度。0解：电场明显具有球面对称性

13、， 沿半径方向且大小只是r的函数。球的电荷总量为0Dra 300242020158d4d4ararrrrrQaa当 ，以球心到场点的距离为半径作一球面（高斯面），应用高斯定律的积分形式，得QSDsd02第4章 20300221584aDr23002152raD当 时，应用高斯定律得ar rarrSDrsd4d024200155300125344arrDr3300153arrD第4章 21例2计算均匀电荷面密度为 的无限大平面的电场。解：由于均匀面电荷发出的电通密度 垂直于无限大平面，取一个柱形闭合面，左右底面积 与电荷平面平行且等距；侧面垂直于电荷平面，则根据高斯定律0DSS SSDeeSDe

14、eSDSDSzzzzs0002d20SD用矢量表示时，为)e(eDzSzS220Z0Zb处的 ，则 和 应具有什么关系。1s2s0E1s2s解:(1)由于电场分布具有球对称性，故可作与导体球壳同心，半径为r的高斯面，根据高斯定律qSDsd0在ra的区域有0420rE0E第4章 23在arb的区域有222120444barEss202221rbaeEssr(2)欲使rb处 ，应有0E02221bass221abss第4章 24例4.有一半径为a的球形电荷分布，球内外的介电常数 ，已知球体内的 求（1）球内电荷分布（2）球体外的电场强度0)0(/903armVreEr解:(1)利用高斯定律0D32

15、03220300/450)90(190mCrrrdrdrreEr(2)VsVSDdd05002202036044504rdrrrrEarm/VraeEr2590第4章 25第4章 260E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E4.3 电位电位第4章 272. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将d)ddd(ddzzyyxxllE上式两边从点上式两边从点A到点到点B沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差

16、的说明关于电位差的说明 A、B两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从A点移至点移至B 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。BABABAlEddA、B 两点间的电位差两点间的电位差第4章 28 静电位不唯一，可以相差一个常数，即静电位不唯一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零

17、电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值3. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第4章 294. 电位的表达式电位的表达式ClEBAAd若任意选取B(xB,yB,zB )作为电位的参考点(取 )，则A (xA,yA,zA )点的电位为CB对于点电荷，其电位为对于点电荷，其

18、电位为PPRRRRRRRqleRq2020d4d4CRqRRqp004114第4章 30对于体电荷、面电荷、线电荷的电位，可用场源积分法，分别求得CSRrrSsd)(41)(0CVRrrVd)(41)(0ClRrrlld)(41)(0体电荷面电荷线电荷以上三个积分公式中， ， 为场点的位置矢量， 为源点的位置矢量。 rrRr r第4章 31 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考

19、点。同一个问题只能有一个参考点。第4章 322. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 1()( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4SSrrSCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrR第4章 33 例例 4.3.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(22

20、2221rddrrrddrr22111cos2drrr由于由于，得，得dr 21111cos ,2drrr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rP第4章 34ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度)sincos2(430eerrq)sinrrr()r(r11eeeEco

21、s2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图矢量线微分方程矢量线微分方程：等位线方程等位线方程：第4章 35z 解解 采用圆柱坐标系，令线电荷与采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rrzzddlz( , , )P rz02201()d4()LlLrzrzz2200ln() 4LlLzzrzz220220()()ln4()()lrzLzLrzLzL 例例4.3.2

22、 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0lxyzL-L( , , )rz zddlzR第4章 362222000220002( )lnlnln422lllrLLrLLLrrrrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则

23、有一个任意常数，则有L 002( )ln2lLrCr并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择r= a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2larr第4章 37例4.3.3证明导体表面的电荷密度 与导体外的电位函数有如下关系SnEDnnS000其中 是电位对表面外法线方向的导数。n证明：由物理学知识可知：带电导体内静电场为零，导体是一个等位体，电荷分布在导体的表面。在导体表面作一柱形闭合面，两底面 分别位于表面两侧，高 。由于 相当小，可以认为 上各点的 值相同。在计算此闭合面上的电通量时，考虑到导体表面内侧上没有

24、电通量，表面外的电场与表面垂直，即 或 ,因此根据高斯定律有S0hSSEnEE nDD00第4章 38SSDSDSns00dnEDnnS000即若导体外充满介电常数为 的电介质，则导体表面的面电荷 与表面处的电通密度 或电场强度 之间的关系为SDEnEDnnS第4章 394.4泊松方程 拉普拉斯方程 在无界空间内，已知场源电荷分布时，可根据场源积分法，算出电位和电场强度。但静电问题不仅仅涉及已知电荷分布且没有边界的情况，在很多情况下，我们遇到的问题都涉及到有限空间区域。在有限区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但在有限区域的边界上都具有一定的边界条件。在这些给定边界条件下求解有限区域内场的问题，

25、称为边值问题。所以，求解静电场边值问题时，需要确定两个条件:1)电位所满足的方程2)边界条件。第4章 40EED0002电位泊松方程电位泊松方程在无源区域，在无源区域，002拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯算符4.4.1泊松方程 拉普拉斯方程第4章 412222222222222xyzxyzxyzxyz xyzxyzeeeeee22222211()()rr rrrz22222222111()(sin)sinsinrrrrrr直角坐标系圆柱坐标系球面坐标系第4章 42第4章 434.5 点电荷的点电荷的函数表示函数表示 00d d1VVVVrrrrrrrrrrrrrr第4章 444.7边值问题类

26、型 不管是求泊松方程还是拉普拉斯方程，都需要一定的边界条件，如电荷分布，电位及电位法向导数等，这些都叫边界条件。静电场的边值问题就是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。这种求解称为偏微分方程。 在场域V的边界面S上给定的边界条件有以下三种类型，相应地把边值问题分为三类：第一类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的值，即给定这类问题称为第一类边值问题或狄里赫利问题；)(1SfS第4章 45第二类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的法向导数值，即给定这类问题称为第二类问题或纽曼问题；第三类边界条件是已知一部分边界面S1上位函数的值，而在另一部分边界面上S2已知位函数的法向导数值

27、，即给定这里S1+S2=S。这类问题称为第三类边值问题或混合边值问题。)(2SfnS)(111SfS)(222SfnS第4章 46即给出称为自然边界条件。此外，若在整个场域内同时存在几种不同的均匀介质，则位函数还应满足不同介质分界面上的边界条件。limrr 有限值 如果场域延伸到无限远处，还必须给出无限远处的边界条件。对于源分布在有限区域的情况，在无限远处的位函数应为有限值，第4章 47唯一性定理 唯一性定理是边值问题的一个重要定理，表述为：在场域V的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有唯一解。 n第4章 48 唯一性定理具有非常重要的意义，首先，它指出了静态场边值

28、问题具有唯一解的条件，在边界面S上的任一点只需给定 或 的值，而不能同时给定两者的值。其次，唯一性定理也为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。根据唯一性定理，在求解边值问题时，无论采用什么方法，只要求出的位函数既满足相应的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足给定的边界条件，则函数就是所求出的唯一正确解。n第4章 49采用反证法证明。设在边界面S包围的场域V内有两个函数 和 都满足泊松方程，即21012022000221202令 ，则在场域V内210第4章 50由于202002000将上式在整个场域V上积分并利用散度定理，有VSVSdd20000210ssS对

29、第一类边值问题，在整个边界面S上对第二类边值问题，在整个边界面S上0210ssSnnn第4章 51对第三类边值问题，在边界面的S1部分上在边界面的S2部分上0111210ssS0222210ssSnnn无论哪一类边值问题，都将使0dd0020SVSnVC210这表明在整个场域V内第4章 52对第一类边值问题，由于在边界面S上00S所以C=0。故在整个场域V内有0210对第二类边值问题，若 与 取同一个参考点，则在参考点处在21021所以C=0。故在整个场域V内有 。21对第三类边值问题，由于 ，所以C=0，故在整个场域V内也有 。0111210ssS21第4章 53例4.4.1两块无限大接地导

30、体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为 的均匀电荷分布。求两导体平板之间的电位和电场。0s obaxy)(1x)(2x0s解：在两块无限大接地导体板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程第4章 54bxxx0 , 0d)(d212axbxx, 0d)(d222方程的解为 222111DxCxDxCx利用边界条件，得 00122121)()(,0)(,0)0(, 0sbxxxxxbbbxaaxx第4章 55于是有00122211221,0, 0sCCDbCDbCDaCD由此解得到0020021001,0,)(bDabCD

31、aabCsss最后得axbxaabxbxxabaxss),()(0 ,)()(002001第4章 56abedx)x(e)x()x(Ea)ba(edx)x(e)x()x(Esxxsxx0012200111dd第4章 574.8电介质的极化 极化强度4.8.1电介质的极化 任何物质的分子都是由原子组成的，而原子都是由带正电的原子核和带负电的电子组成，整个分子中电荷的代数和为零。在远离分子的地方，分子中全部负电荷的影响可以用一个负的点电荷等效，这个等效负电荷的位置称为这个负电荷的中心。同样，分子中全部正电荷也可以用一个正的点电荷等效，这个等效正点电荷的位置称为这个分子正电荷的中心。 当没有外电场时

32、，如果电介质分子中正负电荷的中心是重合的，这类电介质称为无极分子电介质；如果电介质分子中正负电荷的中心不重合，这类电介质称为有极分子电介质；有极分子电介质第4章 58 在没有外电场时，无极分子电介质的分子中没有电矩。加上外电场，在电场力的作用下，每个分子中的正负电荷中心被拉开一定距离，形成一个电偶极子，分子电矩的方向沿外电场的方向。外电场越强，每个分子中的正负电荷的中心被拉开的距离越大，一定体积中分子电矩的矢量和也越大。无极分子的这种极化机理称为位移极化。 在没有外电场时，虽然有极分子电介质中每一个分子都具有固有电偶极矩，但由于分子的不规则热运动，分子电矩的排列是杂乱无章的，在任一体积中，所有

33、分子电矩的矢量和为零。加上外电场，分子电偶极矩的取向趋于电场方向，于是一定体积中分子电矩的矢量和就不再为零，有极分子的这种极化机理称为取向极化。中正负电荷的中心错开一定的距离，形成一个电偶极矩，称为分子的固有电矩。第4章 59无极分子无极分子有极分子有极分子无外加电场无外加电场无极分子无极分子有极分子有极分子有外加电场有外加电场E无论是无极分子电介质，还是有极分子电介质，在外电场中被极化，均匀电介质内部的电荷相互抵消，一个端面上出现正电荷，另一个端面上出现负电荷，这就是极化电荷。极化电荷与导体中的自由电荷不同，不能自由运动，也称为束缚电荷。第4章 60 电介质极化的结果是电介质内部出现许许多多

34、顺着外电场方向排列的电偶极子，这些电偶极子产生的电场将改变原来的电场分布。可以这样说，电介质对电场的影响可归结为极化电荷产生的附加电场的影响。因此，电介质内的电场强度 可视为自由电荷产生的外电场 与极化电荷产生的附加电场 的叠加，即 。为了分析计算极化电荷产生的附加电场 ，需了解电介质的极化特性。不同的电介质的极化程度是不一样的，为此引入极化强度来描述电介质的极化强度。E0EE EEE0E第4章 61VpPiiVlim0 体积体积V中第中第i个个分子的平均电偶极矩分子的平均电偶极矩 (C/m2)iiidqp将单位体积中的电偶极矩的矢量和称为极化强度，表示为61 的物理意义：单位体积内分子电偶极

35、矩的矢量和。的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。 P第4章 极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，同性的电介质中， 与电场强度成正比，即与电场强度成正比，即e0PE e(0) 电介质的电极化率电介质的电极化率 极化强度 是一个宏观矢量函数。若电介质的某区域内各点的相同，则该区域是均匀极化的，否则就是非均匀极化的。PP第4章 63 在均匀极化的状态下，闭合面S内的电偶极子的净极化电荷为零，不会出现极化电荷的体密度分布。对于不均匀极化状态，电介质内部的净极化电荷不为零。但在电介质的表面，不论是均匀极化

36、还是非均匀极化，介质表面(两介质分界面)上一定有束缚电荷的面积分布。4.5.2极化电荷与极化强度的关系( 1 ) 极化电荷体密度E SPSdV 在电介质中的任一闭合面S上取一个面积元 ，其法向单位矢量为 。以 为底、为斜高构成一个体积元 。显然，只有电偶极子负电中心在 内的分子的正电荷才穿出面积元 。SdneSdlVSdV第4章 64因此，从因此，从S 穿出的正电荷为 。留在留在S内的极化电荷为内的极化电荷为VSPVPSPqddPP ( 2 ) 极化电荷面密度 紧贴电介质表面取如图所示的闭合面，从该闭合面穿出的极化电荷就是电介质表面上的极化电荷。nedSSP故得电介质表面的极化电荷面密度为pn

37、SP e设电介质单位体积中的分子数为N，则穿出面积元 的正电荷为SddSePSPSlNqnddSPSd第4章 654.5.3电介质的分类(1)线性和非线性介质极化强度 是电场强度 的函数， ， 的各分量可由电场强度 的各分量的幂级数表示，在直角坐标系中有PE)(EPP PE.221321221321221321yxxzyxzyxxzyxyyxxzyxxEEEEEEPEEEEEEPEEEEEEP如果电介质的极化强度 的各分量只与电场强度 的各分量的一次项有关，与高次项无关，且 的各分量与 的各分量成线性关系，这种介质称为线性介质，否则即为非线性介质。在直角坐标系中，线性介质 的各分量与 的各分量

38、之间的关系可以用矩阵式PPPEEE（式1）第4章 66表示为zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxEEExxxxxxxxxPPP0（2）各向同性与各向异性介质如果电介质内部某点的物理特性在所有方向上都相同，与外加电场 的方向无关，这种介质称为各向同性介质，否则称为各向异性介质。对于各向同性介质，上式中比例系数与电场方向无关 ，即 ，极化强度 和电场强度 的关系可表示为EEPzzyyxxijxxxxji且时, 0e0PE （式2）( 式3)其中比例系数 称为电介质的极化率。对于线性介质， 是与 无关的常数。ijxijxE第4章 67即极化强度矢量与电场强度矢量方向相同。对于线性、各向同

39、性电介质，式3中的 是与 无关的常数。Eex（3）均匀介质和非均匀介质如果电介质内的介电常数 处处相同，与空间位置无关，即则称这种介质为均匀介质，否则为非均匀介质。0本书重点讨论线性、各向同性的均匀电介质中电场的特性，满足如下的关系e0PE errxED10第4章 684.6介质中的高斯定律 边界条件 介质的极化过程包括两个方面：介质的极化过程包括两个方面：q 外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；q 极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状 态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，

40、服态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服 从同样的库仑定律和高斯定理。从同样的库仑定律和高斯定理。 介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，将真空中的高斯定理延伸到介质中，可写为将真空中的高斯定理延伸到介质中，可写为VpSVSE)d(1d00pE自由电荷和极化电荷共同激发的结果自由电荷和极化电荷共同激发的结果4.6.1介质中的高斯定律第4章 69pP 将极化电荷体密度表达式将极化电荷体密度表达式 代入代入 ，有，有0PE0EP引入电位移矢量（单位：引入电位移矢量（单位：C/m2 ) )PED0D则有则有 VSVS

41、Ddd其积分形式为其积分形式为 任意闭合曲面电位移矢任意闭合曲面电位移矢量量 D 的通量等于该曲面的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和包含自由电荷的代数和 小结小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 0DE （微分形式），（微分形式）， （积分形式）（积分形式） 0dddCVSlEVSD第4章 70EPe000er0(1)DEPEEE 在这种情况下在这种情况下0re0)1 (er1其中其中 称为介质的介电常数，称为介质的介电常数， 称为介称为介质的相对介电常数（无量纲）。质的相对介电常数（无量纲）。4.6.2 电介质的本构关系电介质的本构关系E

42、 极化强度极化强度 与电场强度与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，对于线性各向同性介质， 和和 有简单的线性关系有简单的线性关系PEP第4章 714.6.3介质中的电位方程EED2电位泊松方程电位泊松方程在介质空间内，在介质空间内，002拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯算符第4章 744.6.4边界条件 不同介质的分界面上总有束缚电荷的面积分布，这些电荷要影响场的分布，使电场在越过分界面时引起阶跃变化，使得分界面两侧的值不同，因此把分界面两侧场变量之间的关系称为介质交界面上的边界条件。 介质交界面上的边界条件只能由基本方程的积分形式导出。把

43、分界面上的场 变量分解为平行于分界面的分量（切向分量）和垂直于分界面上的分量（法向分量），分界面的法向正方向为介质2指向介质1。第4章 75S1D2Dne媒质媒质1 1媒质媒质2 2hPS(1) 的边界条件 在两种媒质的交界面上任取一在两种媒质的交界面上任取一点点P，作一个包围点，作一个包围点P 的扁平圆柱的扁平圆柱曲面曲面S，如图表示。，如图表示。令令h 0，则由，则由SsnnssDsDSD21d即snnDD21分界面上的自由电荷面密度当分界面上无自由电荷时，则有nnDD21D第4章 76se)(21nDDD由由 和和snn1122 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0

44、snn1122 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：常数，常数，sn第4章 77l1E2Ene媒质媒质1 1媒质媒质2 2sh 在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令h 0，则则由由0d21lElElEl取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为s,则有lesln021leSEEn021SEEen(2) 的边界条件E第4章 78n12()0eEE1t2tEE即在不同介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为1和和2。当两点间距离

45、当两点间距离l0时时12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P0dlim21021PPlEl21第4章 79介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0EeDensn0tnEDs或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第4章 80电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：4.8.1导体系统的电容及部分电容导体系统的电容及部分电容 在电子电路中，利

46、用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。4.8静电场基本方程的应用静电场基本方程的应用第4章 81 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的

47、物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体组成的电容器，其电容为导体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。E02U1qq第4章 82 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q ； 计算电容的方法一计算电容的方法一：U

48、qC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的方法二计算电容的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U ； (4) 由由 得到得到 ;nESS (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；E (3) 由由 得到得到E ; SSSqd (5) 由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。第4章 83例4.6.1平行板电容器由两块面积为

49、S，相隔距离为d的平行导体板组成，极板间填充介电常数为的电介质，求电容量.（见图3.9.2）解：极板间电压为U，忽略边缘效应，则拉普拉斯方程为0dd22z21)(CzCz利用边界条件zduz )(得 Uzdzzz00+-+ + +xozUd第4章 84EdueEzdueEDz 由导体和介质间的边界条件可得，上、下极板间的面电荷密度分别为 和 ，其中duDs所以，极板间所带电量duSSqsdSuqC故电容量ss第4章 87 解解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,Eerr同心导体间的电压同心导体间的电

50、压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，b 例例4.8.1 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容aboababqbaqrEUba4)11(4dababUqC4aC4第4章 88 例例 4.8.2 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导

51、线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第4章 89 例例4.8.3 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为

52、a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lrE rer内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )dd2bblraaUEe rrrll 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第4章 9

53、0 2. 部分电容部分电容在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。概念加以推广，引入部分电容的概念。 在由在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为之间成线性关系，所以，各导体的电位为1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电位系数自电位系数()i jij 互电

54、位系数互电位系数（1） 电位系数电位系数第4章 91 i j 在数值上等于第在数值上等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即个导体上的电位，即i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 电位系数的特点电位系数

55、的特点：第4章 92若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电容系数或自感应系数自电容系数或自感应系数 ()i jij 互电容系数或互感应系数互电容系数或互感应系数 （2） 电容系数电容系数第4章 93 i j 在数值上等于第在数值上等于第 j个导体上的个导体上的电位为一个单位、而其余导电位为一个单位、而其余导 体接地时，体接地时，第第 i 个导体上的电量，即个导体上的电量，即 i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置

56、以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i 0 、 ；0()ijij 电容系数的特点：电容系数的特点：第4章 94将各导体的电量表示为将各导体的电量表示为 式中：式中：（3） 部分电容部分电容(1, 2 ,)iN()Nijiji iij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 导体导体 i 与导体与导体 j 之间的部分电容之间的部分电容()ijijCij 导体导体 i 与地之间的部分

57、电容与地之间的部分电容 NjjiiiC1第4章 95 Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第第 i 个导个导 体上的电量；体上的电量； Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在数值上等于第在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，导体都接地时，第第 i 个

58、导体上的电量；个导体上的电量；()ij 部分电容的特点部分电容的特点：第4章 96 在多导体系统中，把其中任意两在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压这两个电极间加上电压U，极板上所，极板上所带电荷分别为带电荷分别为 ，则比值，则比值 称为称为这两个导体间的等效电容。这两个导体间的等效电容。q/q U（4）等效电容等效电容如图所示，有三个部分电容如图所示，有三个部分电容112212CCC、导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为11221121122C CCCCC导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等

59、效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线第4章 97 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源

60、于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。4.8.2 静电场的能量静电场的能量 第4章 981. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为