计算机软件及应用第六章气体动理论课件

1、第七章第七章气体动理论气体动理论1计算机软件及应用第六章气体动理论 分子物理学分子物理学: :是研究物质中大量分子运动是研究物质中大量分子运动所表现出来的热现象及其规律的学科。与所表现出来的热现象及其规律的学科。与温度有关的物理性质的变化统称为温度有关的物理性质的变化统称为热现象热现象，热现象是组成物质的微观粒子热运动的结热现象是组成物质的微观粒子热运动的结果。微观粒子永恒的杂乱无章的运动称为果。微观粒子永恒的杂乱无章的运动称为热运动热运动。2计算机软件及应用第六章气体动理论 两种描述的量：两种描述的量：1. 1. 宏观量宏观量 表征大量微观粒子集体特性的物理量。表征大量微观粒子集体特性的物理

2、量。 如如 压强压强p p、体积、体积v v、温度、温度 t t 等。等。单位单位压强压强-帕斯卡帕斯卡 体积体积-立方米立方米 温度温度-开尔开尔文文pammhgatm51001317601 .lm33101 tt 15273.3计算机软件及应用第六章气体动理论2. 2. 微观量微观量 描述个别微观粒子特性的物理量。描述个别微观粒子特性的物理量。 如分子如分子 的质量、的质量、 直径、速度、动量、能量等。直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。分子物理学是根据物质是由大量分子和原子分子物理学是根据物质是由大量分子和原子组成的事实，从力学的规律

3、出发用统计平均组成的事实，从力学的规律出发用统计平均的方法，求出大量分子微观量的平均值，建的方法，求出大量分子微观量的平均值，建立宏观量和微观量的关系，从而说明宏观现立宏观量和微观量的关系，从而说明宏观现象的微观本质。象的微观本质。4计算机软件及应用第六章气体动理论1.1.宏观法：宏观法： 最基本的实验规律最基本的实验规律+ +能量观点能量观点 -称为称为热力学热力学 优点：可靠、普遍。优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示热现象的微观本质。缺点：未揭示热现象的微观本质。2.2.微观法：微观法： 物质的微观结构物质的微观结构 + + 力学规律力学规律+ +统计方统计方法法 -称为称为统计物理学统计物

4、理学 其初级理论称为其初级理论称为气体分子运动论气体分子运动论( (气体动理论气体动理论) ) 优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普遍性差。热运动的研究方法热运动的研究方法5计算机软件及应用第六章气体动理论7-1 7-1 气体动理论的基本概念气体动理论的基本概念一、物质的微观结构一、物质的微观结构宏观物质是不连续的，是由大量微观粒子宏观物质是不连续的，是由大量微观粒子-分分子（或原子）组成的多粒子体系。子（或原子）组成的多粒子体系。标准状态下一摩尔任何气体的分子数都相同：标准状态下一摩尔任何气体的分子数都相同：12310026

5、mol.na2. 2. 分子都在不停地作无规则运动，其剧烈程度分子都在不停地作无规则运动，其剧烈程度和和 温度有关。温度有关。3. 3. 分子间存在相互作用力。分子间存在相互作用力。第七章第七章 气体动理论气体动理论6计算机软件及应用第六章气体动理论分子间既有分子间既有引力作用引力作用 又有又有斥力作用斥力作用平衡位置平衡位置斥力起主要作用斥力起主要作用0 frro0 frro0 frro0 frr引力起主要作用引力起主要作用r r分子有效作用半径分子有效作用半径v v1212r rd dv v1212=0=0m109 m1010 fod 0rrr r斥力引力分子有效直径分子有效直径 d7计算

6、机软件及应用第六章气体动理论二、气体动理论的统计规律性二、气体动理论的统计规律性统计规律性统计规律性: :大量偶然性从整体上所体现出来的规律性。大量偶然性从整体上所体现出来的规律性。 统计规律有以下特点统计规律有以下特点: : （1 1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义; ; （2 2）它是不同于个体规律的整体规律。）它是不同于个体规律的整体规律。 统计规律一般包括两方面内容：统计规律一般包括两方面内容：（1 1）研究一些量的统计平均值）研究一些量的统计平均值; ;（2 2）研究一些量的分布规律。）研究一些量的分布规律。（某个量对大量偶然事件的分布规律）（某个量对大量偶然

7、事件的分布规律）8计算机软件及应用第六章气体动理论统计分布图统计分布图以伽尔顿板实验为例以伽尔顿板实验为例0 xni xxx x槽内单位宽度的小球数槽内单位宽度的小球数狭槽位置狭槽位置有阴影的矩形面积为有阴影的矩形面积为iinxxn 为落入位置在为落入位置在 xx+xx+ x x 的狭槽内小球的个数。的狭槽内小球的个数。9计算机软件及应用第六章气体动理论“涨落涨落”现现象象-测量值与统计值之间总有偏测量值与统计值之间总有偏离离 处在平衡态的系统的宏观量，如压处在平衡态的系统的宏观量，如压强强p p，不随时间改变，不随时间改变， 但不能保证任何时刻但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样

8、，大量分子撞击器壁的情况完全一样， 分子数分子数越多，涨落就越小。越多，涨落就越小。10计算机软件及应用第六章气体动理论三、三、 热力学系统热力学系统 平衡态平衡态 理想气体状态方程理想气体状态方程热力学研究的对象，它包含极大量的分子、原子。热力学研究的对象，它包含极大量的分子、原子。 外界外界：热力学系统以外的物体，又称系统的环境。：热力学系统以外的物体，又称系统的环境。1. 1. 热力学系统热力学系统开放系统开放系统 孤立系统孤立系统 封闭系统封闭系统热力学系统热力学系统根据系统与外界根据系统与外界能量能量与与物质物质传递传递的不同的不同例：例：若汽缸内若汽缸内气体为系统，气体为系统，其它

9、为外界。其它为外界。11计算机软件及应用第六章气体动理论箱子假想分成两相同体积的部分，箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。界线，但两侧粒子数相同。粒子数是宏观量粒子数是宏观量平衡态平衡态: : 在无外界影响的条件下，系统所有可观察在无外界影响的条件下，系统所有可观察 的宏观性质不随时间改变的状态。的宏观性质不随时间改变的状态。指指出出平衡态是一种热动平衡：平衡态是一种热动平衡：处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但

10、是系统的宏观量不随时间改变。但是系统的宏观量不随时间改变。2. 2. 平衡态平衡态 12计算机软件及应用第六章气体动理论rtmmpv 质量质量摩尔质量摩尔质量摩尔气体常数摩尔气体常数1131. 8 kmoljr理想气体理想气体3. 3. 理想气体状态方程理想气体状态方程遵循玻意尔定律、查理定律、盖遵循玻意尔定律、查理定律、盖吕萨克定律的气体吕萨克定律的气体000tvpmmtpv 000tvpr 令令设质量为设质量为 mm的理想气体由标准状态的理想气体由标准状态i i（p p0 0 、 、t t0 0）变化到状态变化到状态iiii（p p、v v、t t），则有），则有 , ,将将 代入上式代入

11、上式tpvtvp000 00vmmv 0v13计算机软件及应用第六章气体动理论n n：分子数密度：分子数密度 设设 mm质量理想气体含有质量理想气体含有n n个分子，分子的个分子，分子的质量为质量为m m，则，则m= nmm= nm， mnma rtnnrtmnnmpvaa nktktvnpkntpv 阿伏伽德罗定律阿伏伽德罗定律: : 在相同压强和温度在相同压强和温度下，各种理想气体下，各种理想气体在相同的体积内所在相同的体积内所含分子数相等。含分子数相等。4. 4. 阿伏伽德罗定律阿伏伽德罗定律 anrk 令令 ， 称称 玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数。 k/j.nrka232310381100

12、226318 14计算机软件及应用第六章气体动理论7-2 7-2 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度一、理想气体的微观模型一、理想气体的微观模型 同种类气体分子性质相同；气体分子视为质点。同种类气体分子性质相同；气体分子视为质点。 除碰撞外，分子之间的作用力可忽略不计；重力也除碰撞外，分子之间的作用力可忽略不计；重力也忽略不计。忽略不计。 分子间及分子与容器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。分子间及分子与容器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。 统计性假设：统计性假设：“对大量气体分子来说，分子沿各个对大量气体分子来说，分子沿各个方向运动的机会是均等的，任何一个方向的运动并方向运动的机会是均等的，任何一个

13、方向的运动并不比其他方向更占优势。因此，统计平均来看，任不比其他方向更占优势。因此，统计平均来看，任一时刻沿各个方向运动的分子数目应相等，分子速一时刻沿各个方向运动的分子数目应相等，分子速度在各个方向的分量的各种平均值也相等。度在各个方向的分量的各种平均值也相等。”15计算机软件及应用第六章气体动理论二、理想气体的压强公式二、理想气体的压强公式 由于分子的速度各异，将所有分子按速由于分子的速度各异，将所有分子按速度分组：度分组： 气体对器壁的压强是大量分子对容器不气体对器壁的压强是大量分子对容器不断碰撞的统计平均结果。断碰撞的统计平均结果。1. 1. 压强的实质压强的实质2. 2. 压强公式的

14、推导压强公式的推导 mm质量理想气体处于平衡态，其体积为质量理想气体处于平衡态，其体积为v v，分子数为，分子数为n n，分子质量为，分子质量为m m，分子数密，分子数密度度 。vnn iiiinnnni321i321i321nnnnnnnnvvvv16计算机软件及应用第六章气体动理论 由于平衡态下容器内压强处处相同，则在容器由于平衡态下容器内压强处处相同，则在容器壁处任取壁处任取dsds, , 建立坐标系，令建立坐标系，令x x 轴与轴与 ds ds 垂直。垂直。1.1.一个分子对一个分子对ds ds 的一次碰撞的一次碰撞体积为体积为 v vixixdtds dtds 的斜柱体内所有分子都与

15、的斜柱体内所有分子都与ds ds 相碰撞相碰撞. . 设该分子速度为设该分子速度为 , , 碰撞后碰撞后, , 不变，不变， 变为变为 ，则分子动量的改变量为，则分子动量的改变量为iziyvv 及及ixvivixv ixixixmv2mv)mv( dsds 所受冲量为所受冲量为ixmv22. 2. dtdt 内所有分子对内所有分子对 ds ds 的作的作用用 组分子对组分子对ds ds 的的作用作用ivd ds sx xdtvix17计算机软件及应用第六章气体动理论因为所有分子中，因为所有分子中， 的分子各占一半的分子各占一半, ,则则 0v0vixix 和和dtdsvnixidsds所受冲量

16、为所受冲量为dtdsvmn2mv2dtdsvn2ixiixixi 速度不同的各组分子与速度不同的各组分子与dsds 相碰，施于其上的总相碰，施于其上的总冲量为冲量为 i2ixii2ixidtdsvmndtdsvmn221di所有分子对所有分子对ds ds 的作用的作用 )0v( i2ixiixdtdsvmn2fdtdidt dt 时间内，能与面元时间内，能与面元dsds相碰的速度为相碰的速度为 的分子的分子数为数为iv18计算机软件及应用第六章气体动理论则作用在则作用在dsds上的作用力上的作用力dtdif 压强压强 i2ixivnmdtdsdidsfpvnnnii 分子的平均分子的平均平动动

17、能平动动能2vm21 iii2ixi2xnvnv22z2y2x22z2y2xv31vvvvvvv kxnvnmvmnp 323122 19计算机软件及应用第六章气体动理论意义：意义： 1 1. .压强方程建立了宏观量压强方程建立了宏观量p p 和微观和微观量量 的关系。说明气体压强与气的关系。说明气体压强与气体单位体积内的分子数及分子平均平动动能体单位体积内的分子数及分子平均平动动能成正比。成正比。 2.2.说明了压强的微观本质，即气体说明了压强的微观本质，即气体的压强表示的是大量气体分子在单位时间内的压强表示的是大量气体分子在单位时间内施于器壁单位面积上的平均冲量施于器壁单位面积上的平均冲量

18、. .压强是描压强是描述大量分子集体行为平均效果的统计性量，述大量分子集体行为平均效果的统计性量，对单个分子讲压强无意义。对单个分子讲压强无意义。k 20计算机软件及应用第六章气体动理论对比下列两公式对比下列两公式nktp knp 32 ktvmk23212 温度是气体分温度是气体分子平均平动动子平均平动动能大小的量度能大小的量度三、三、 理想气体的温度公式理想气体的温度公式 21计算机软件及应用第六章气体动理论意义意义：1.1.温度公式从分子运动论的角度给温度以温度公式从分子运动论的角度给温度以定义，说明气体的温度只与分子的平均定义，说明气体的温度只与分子的平均平动动能有关，是气体分子平均平

19、动动平动动能有关，是气体分子平均平动动能的量度。能的量度。2.2.温度是大量分子热运动的集体表现，具温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义，对单个分子讲温度无意义。有统计意义，对单个分子讲温度无意义。22计算机软件及应用第六章气体动理论例例1 1（1 1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从2727升到升到177177，体积减少一半，求气体压强，体积减少一半，求气体压强变化多少？变化多少？ （2 2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：解

20、：222111tvptvp)1( k450177273t,k30027273t,v2v:2121 由由已已知知122112212p3300v450v2ptvtvp 23计算机软件及应用第六章气体动理论kt)(k232 j.)(.)tt(kkkk2123121210113300450103812323 四、道尔顿分压定律四、道尔顿分压定律 设有多种相互不发生化学反应的气体在一容设有多种相互不发生化学反应的气体在一容器中混合，达平衡态，则混合气体压强为器中混合，达平衡态，则混合气体压强为 3213213213232323232pppnnn)nnn(npkkkkk 24计算机软件及应用第六章气体动理

21、论7-4 7-4 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内理想气体的内能能一、自由度一、自由度 i i确定一个物体的空间位置确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目。所需要的独立坐标数目。1. 1. 质点的自由度质点的自由度在空间自由运动的质点在空间自由运动的质点: :在曲面上运动的质点在曲面上运动的质点: :质点沿直线或曲线运动：质点沿直线或曲线运动：位置由一个独立坐标确定位置由一个独立坐标确定 自由度自由度 i i =1=1位置由三个独立坐标确定位置由三个独立坐标确定 自由度自由度 i i =3 =3 位置由二个独立坐标确定位置由二个独立坐标确定 自由度自由度 i i =2=225计算机

22、软件及应用第六章气体动理论质心质心自由质点自由质点31 i绕质心轴的转动绕质心轴的转动 12 i转轴的方位转轴的方位 23 i6321 iiii31 it平平动动自自由由度度332 iir转转动动自自由由度度1222 coscoscos , xzy2. 2. 刚体的自由度刚体的自由度26计算机软件及应用第六章气体动理论刚性分子刚性分子: : 分子内原子间距离保持不分子内原子间距离保持不变变xzy),(zyxc 双原子分子双原子分子xzy),(zyxc单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=3t=33 rti平动自由度平动自由度t=3t=3转动自由度转动自由度r=2r=25 rti3. 3.

23、 刚性分子的自由度刚性分子的自由度27计算机软件及应用第六章气体动理论xzy),(zyxc 三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=3t=3转动自由度转动自由度r=3r=36 rti二、能量按自由度均分定理二、能量按自由度均分定理ktvmk23212 22z2y2xv31vvv kt)vm(vmvmvmzyx2121312121212222 28计算机软件及应用第六章气体动理论推推广广 气体分子沿气体分子沿x , y , z x , y , z 三个方向运动的三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。均平

24、动动能均匀分配在每个平动自由度上。能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理在热平衡条件下，物质（气体、液体、固体）在热平衡条件下，物质（气体、液体、固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，都是都是 。kt2129计算机软件及应用第六章气体动理论kt23 kt27 kt25 若气体分子有若气体分子有t t 个平动自由度，个平动自由度，r r 个转动自由度，个转动自由度，s s 个振动自由度个振动自由度, , 则分子的平均平动动能为则分子的平均平动动能为 ，平均转动动能为平均转动动能为 , ,平均振动动能为平均振动动能为 ，分子的平均总动能为分子的平均

25、总动能为 ，分子的平，分子的平均总能量为均总能量为kttkt2 ktrkr2 ktsks2 kt)srt (k 21 ktikt)srt (pk2221 kt26 对于单原子分子对于单原子分子: : t t = 3 , = 3 ,r r = = s s = 0 , = 0 ,则则对于双原子分子：对于双原子分子：t t = 3, = 3, r r = 2, = 2, s s =1, =1,则则对于刚性多原子分子：对于刚性多原子分子：t t = 3 , = 3 , r r = 3, = 3, 则则刚性分子，忽略振动刚性分子，忽略振动 , ,则则30计算机软件及应用第六章气体动理论mm质量理想气体的

26、内能为质量理想气体的内能为rtimme2 内能仅与温度有关，当温度一定时，与压强和体积无关。内能仅与温度有关，当温度一定时，与压强和体积无关。温度改变量为温度改变量为t t，则内能改变量为，则内能改变量为trimme 2 rti)kti(nea22 1 1mol mol 理想气体的内能为理想气体的内能为理想气体的内能理想气体的内能 = = 所有分子的热运动动能之和所有分子的热运动动能之和分子间相互作用忽略不计分子间相互作用忽略不计分子势能为零分子势能为零三、理想气体的内能三、理想气体的内能内能为温度的单值函数31计算机软件及应用第六章气体动理论例例2 2 一容器内蓄有氧气，其压强为一容器内蓄有

27、氧气，其压强为p =p =1.0131.01310105 5papa，温度为温度为2727，求，求: (: (1) 1) 单位体积内的分子数；单位体积内的分子数；(2) (2) 氧氧气的密度；气的密度；(3) (3) 氧气分子的质量；氧气分子的质量；(4) (4) 分子的平均平分子的平均平动动能；动动能；(5) (5) 分子的平均总动能。分子的平均总动能。解：氧气分子视为刚性双原子分子，解：氧气分子视为刚性双原子分子，i i = 5= 5325235m/1045. 23001038. 110013. 1ktpnnktp)1(个个 33530130031810321001312m/kg.rtpm

28、vmrtmmpv)( 32计算机软件及应用第六章气体动理论kg.nmm)(a26103153 j.kt)(kt2110216234 j.kt)(k20100351255 注意：注意： “ “分子的分子的” 微观量微观量 k k “ “气体的气体的” 宏观量宏观量 r r33计算机软件及应用第六章气体动理论f(v)f(v)满足满足归一化条件归一化条件: :7-3 7-3 气体分子速率的统计分布规律气体分子速率的统计分布规律 21vvdv)v(fnn 1dv)v(f0 0vvdvv 一、一、 速率分布函数速率分布函数ndn 一定量理想气体处于平衡态，设有一定量理想气体处于平衡态，设有n n个分子，

29、个分子，速率分布在速率分布在 v vv+dvv+dv 区间内的分子数为区间内的分子数为dndn，则，则 为为 在此区在此区 间内的间内的分子数比率分子数比率。实验证明。实验证明: :ndn 与与 v v 的一定函数的一定函数 f(v)f(v) 成正比；成正比；ndn 与与 v v 附近取的区间附近取的区间 dv dv 大小成正比。大小成正比。dv)v(fndn ndvdn)v(f 则则 , , 称为速率称为速率分布函数。分布函数。 已知已知 f(v)f(v) , ,则可求任意速率区间内的分子数：则可求任意速率区间内的分子数：34计算机软件及应用第六章气体动理论18601860年，麦克斯韦导出年

30、，麦克斯韦导出 f(v) f(v) 的表达的表达式式2223224ve)ktm()v(fktmv 麦克斯韦麦克斯韦气体分子速率气体分子速率分布定律分布定律t t-温度温度 m m-气体分子质量气体分子质量 k k-玻尔兹曼常玻尔兹曼常数数由此，得分布在由此，得分布在v vv+dvv+dv内的分子数比率：内的分子数比率：dvve)ktm(ndnktmv2223224 二、麦克斯韦气体分子速率分布定律二、麦克斯韦气体分子速率分布定律1. 1. 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布35计算机软件及应用第六章气体动理论2. 2. 麦克斯韦速率分布函数的几何意义麦克斯韦速率分布函数的几何意义v v v+dv

31、v+dvv v)(vf0n n出现在出现在v v v+dvv+dv区间区间内的分子数比率内的分子数比率dndn面积面积= = v v1 1v v2 2出现在出现在 v v1 1 v v2 2 区间区间内的分子数比率内的分子数比率dvvfnnvv 21)(大部分分子的速率大部分分子的速率分布在中等区域分布在中等区域气体分子的气体分子的速率分布曲线下面积速率分布曲线下面积100 nndndvvf)(36计算机软件及应用第六章气体动理论最概然速率：与最概然速率：与 f(v) f(v) 极大值对应的速率极大值对应的速率)(vfvpvo对于相同速率区间而言，分布对于相同速率区间而言，分布在在 v vp

32、p 所在的那个区间内的分子所在的那个区间内的分子数比率最大。数比率最大。就相同速率区间而言，某一就相同速率区间而言，某一分子的速率取分子的速率取 v vp p 所在区间所在区间的值的几率最大。的值的几率最大。37计算机软件及应用第六章气体动理论1. 1. 最概然速率最概然速率pv与分布函数与分布函数 f(v) f(v) 的极大值相对应的速的极大值相对应的速率率极值条件极值条件0 pvvdvvdf)(mrt.mrtmktvp41122 2. 2. 平均速率平均速率v大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值三、分子速率的三种统计平均值三、分子速率的三种统计平均值 设在设在v vv+dvv+

33、dv 内有内有dndn个分子，这些分子的速率视为个分子，这些分子的速率视为相同，则相同，则38计算机软件及应用第六章气体动理论 0dv)v(vfndnvnvdnvmrt.mrtmktv60188 3. 3. 方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 0222dv)v(fvndnvvmktv32 mrt.mrtmktvvrms731332 023212 dvevv504832 dvevv39计算机软件及应用第六章气体动理论pvvrmsv都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比tmmf(v)f(v)v vpvv2v一定温度时，一定温

34、度时，rmspvvv 三个速率在不三个速率在不同情况下使用同情况下使用40计算机软件及应用第六章气体动理论温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速率大的分子数越多. .温度升高，分布曲线中的最可几温度升高，分布曲线中的最可几速率速率v vp p增大，但归一化条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线变平坦，高度降低。变平坦，高度降低。f(v)f(v)f(vf(vp3p3) )v vv vp pf(vf(vp1p1) )f(vf(vp2p2) )t t1 1t t3 3t t2 2321ttt 请看动画请看动画141087269,p作作业业：41计

35、算机软件及应用第六章气体动理论6-6 6-6 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式 在麦克斯韦速度分布律中，考虑了分子速度方向在麦克斯韦速度分布律中，考虑了分子速度方向, ,则速度分布在则速度分布在 v vx xv vx x+dv+dvx x ,v ,vy yv vy y+dv+dvy y ,v ,vz zv vz z+dv+dvz z 内内的分子数比率为：的分子数比率为： zyxkt2vvvm23dvdvdvekt2mndn2z2y2x 其中其中1dvdvdve)kt2m(zyxkt2)vvv(m232z2y2x 一、玻尔兹曼能量分布律一、玻尔兹曼能量分布律1. 1

36、. 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律42计算机软件及应用第六章气体动理论2.2.玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 玻尔兹曼对麦克斯韦速度分布律作了推广：玻尔兹曼对麦克斯韦速度分布律作了推广：(1) (1) 分子在保守力场中分子在保守力场中pkeee 分分子子数数为为内内的的同同时时坐坐标标在在区区间间dzzz ,dyyy,dxxxdvvvdvvv ,dvvv,zzz,yyyxxx (2) (2) 分分子的分布不仅按速度区间子的分布不仅按速度区间 v v+d v v v+d v 分布，分布，还应按位置空间还应按位置空间 xx+dxxx+dx, , yy+dyyy+dy, , zz+dz zz+d

37、z 分布。分布。 当系统在保守力场中处于平衡态时，当系统在保守力场中处于平衡态时，速度在速度在43计算机软件及应用第六章气体动理论 dxdydzdvdvdvektmndnzyxktpk 23021223 zyxktdvdvdvektmk dxdydzenndktp 0玻尔兹曼分子玻尔兹曼分子按能量分布律按能量分布律其中其中 n n0 0 为零势面处的分子数密度为零势面处的分子数密度. .将上式对所有可能的速度积分，并考虑归一化条将上式对所有可能的速度积分，并考虑归一化条件：件：44计算机软件及应用第六章气体动理论dxdydzndn ktpenn 0dn dn 分布分布在坐标区间在坐标区间 xx

38、+dxxx+dx, , yy+dyyy+dy, , zz+dzzz+dz内小体积元内小体积元dxdydzdxdydz中具有各种速度的分子总数。中具有各种速度的分子总数。该区间的分子数密度为：该区间的分子数密度为：这是玻尔兹曼分子数密度按势能的分布律，在任这是玻尔兹曼分子数密度按势能的分布律，在任何保守力场中都成立。它又是一普遍规律，对任何保守力场中都成立。它又是一普遍规律，对任何物质微粒在保守力场中运动的情形都适合。何物质微粒在保守力场中运动的情形都适合。n n0 0势能等于零处的分子数密度势能等于零处的分子数密度45计算机软件及应用第六章气体动理论由玻尔兹曼分布律证明等温气压公式由玻尔兹曼分

39、布律证明等温气压公式ktmghepp 0式中式中 p p0 0 为为 h h=0 =0 处的大气压强，处的大气压强，p p 为为h h 处的大气处的大气压强，压强，m m 是大气分子质量。是大气分子质量。证：证：ktpenn 0mghp ktmghenn 0由方程由方程nktp ,00ktnp ktmghenn 0ktmghepp 0大气分子数密度和压强随高度增加按指数规大气分子数密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）律减小（高空空气稀薄，气压低）二、等温气压公式二、等温气压公式46计算机软件及应用第六章气体动理论ktmgh0epp rmkm hrtmgepp 0已知地面和

40、高空处的压强与温度，已知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。可估算所在高空离地面的高度。实际实际应用应用三、溶液中粒子按高度分布三、溶液中粒子按高度分布两边取对数两边取对数pplnmgrth0 当悬浊液中的悬浮粒子所受重力及扩散作用达当悬浊液中的悬浮粒子所受重力及扩散作用达到平衡时，粒子自上而下形成稳定的浓度梯度，称到平衡时，粒子自上而下形成稳定的浓度梯度，称沉降平衡。设高度差为沉降平衡。设高度差为 h h 的两平面上的粒子浓度为的两平面上的粒子浓度为 n n1 1 n n2 2 ， 由玻尔兹曼分布律由玻尔兹曼分布律ktmghnnlnenn21ktmgh21 可求粒子质量可求

41、粒子质量m m47计算机软件及应用第六章气体动理论6-7 6-7 气体分子平均碰撞次数和气体分子平均碰撞次数和平均自由程平均自由程mrt.mrtmktv60188 气体分子气体分子平均速率平均速率氮气分子在氮气分子在27270 0c c时的平均速率为时的平均速率为476476m m. .s s-1-1. .矛盾矛盾气体分子热运动平均速率大，气体分子热运动平均速率大，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其它分气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其它分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，

42、所走的路程非常曲折。生改变，所走的路程非常曲折。48计算机软件及应用第六章气体动理论ab 在相同的在相同的 t t 时间内，分子由时间内，分子由a a到到b b的位移比它的路程小得多的位移比它的路程小得多扩散速率扩散速率( (位移位移/ /时间时间) )平均速率平均速率( (路程路程/ /时间时间) ) 分子自由程分子自由程: :气体分子在连续两次碰撞之间自由通过的路程。气体分子在连续两次碰撞之间自由通过的路程。碰撞频率碰撞频率: :在单位时间内分子与其它分子碰撞的次数。在单位时间内分子与其它分子碰撞的次数。49计算机软件及应用第六章气体动理论 大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服大量分子的分

43、子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出在一秒钟内一个分子与从统计分布规律。可以求出在一秒钟内一个分子与其他分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。其他分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。平均自由程平均自由程平均自由程平均自由程的大小是一定的的大小是一定的假定假定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d d 的弹性小球。的弹性小球。只有某一个分子只有某一个分子a a以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余分子都静止。v请看动画请看动画50计算机软件及应用第六章气体动理论a a d dd dd dv vv v在运动方向上，以在运动方向上，以 d d 为半径的圆柱体

44、内的分子为半径的圆柱体内的分子都将与分子都将与分子a a 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内: :分子分子a a经过路程为经过路程为v相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为vd2 圆柱体内圆柱体内分子数分子数nvd2 nvdz2 一秒钟内一秒钟内a a与与其它分子发其它分子发生碰撞的平生碰撞的平均次数均次数51计算机软件及应用第六章气体动理论nvdz2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvd2z2 一秒钟内分子一秒钟内分子a a经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内a a与其它分子发生碰撞的平均次数与其它分子发生碰撞的平均次数z平均自由程平均自由程nd21zv2 平均自

45、由程与分子的平均自由程与分子的有效直径的平方及分有效直径的平方及分子数密度成反比子数密度成反比nktp pdkt22 当温度恒定时当温度恒定时, ,平均自平均自由程与气体压强成反比由程与气体压强成反比52计算机软件及应用第六章气体动理论在标准状态下，几种气体分子的平均自由程在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体气体)(m )(md氢氢 氮氮 氧氧 空气空气7101231 .710599. 0 7106470 .810007 .101030. 2 101010. 3 1010982 .1010103 .例例3 3 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平

46、均碰撞频率。取分子的有效直径平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = d = 3.103.10 10 10-10-10m m。已知空气的平均分子量为。已知空气的平均分子量为2929。解：解： 已知已知m.d,pa.atm.p,kt1051010310013101273 53计算机软件及应用第六章气体动理论pdkt22 m.).(.8510231071810011105314341127310381 空气摩尔质量为空气摩尔质量为2929 1010- -3 3kgkg/ /molmols/mmrtv4488 198101510718448 s.vz 空气分子在标准状态下空气分子在标准状态下的平均速率的平均速率7-8 7-8 气体的迁移现象气体的迁移现象( (自学自学) )54计算机软件及应用第六章气