第8章_非线性控制系统分析 浙江工业大学国家精品课程 自动控制原理

1、自动控制原理国家精品课程1国国 家家 精精 品品 课课 程程自动控制原理自动控制原理国家级精品教材：王万良国家级精品教材：王万良, ,自动控制原理自动控制原理, ,高等教育出版社高等教育出版社,2008,2008自动控制原理国家精品课程2自动控制原理自动控制原理国家精品课程网站国家精品课程网站 http:/ 读读 为什么要介绍本章为什么要介绍本章? 被控对象的种类越来越多，线性模型已不能满足要求。被控对象的种类越来越多，线性模型已不能满足要求。例如控制系统中常出现稳定的自激振荡，例如控制系统中常出现稳定的自激振荡， 这是线性模型中不这是线性模型中不存在的。又如控制系统中大量采用继电控制，但线性

2、系统理论存在的。又如控制系统中大量采用继电控制，但线性系统理论不能分析这类系统。要建立一个能解决非线性系统全部问题的不能分析这类系统。要建立一个能解决非线性系统全部问题的方法是不可能的。目前许多方法是以线性化方法为基础，加以方法是不可能的。目前许多方法是以线性化方法为基础，加以修补使之适应解决非线性问题的需要，例如描述函数法。修补使之适应解决非线性问题的需要，例如描述函数法。 本章主要讲什么内容本章主要讲什么内容? 首先介绍非线性系统的特性，然后介绍描述函数法，着重首先介绍非线性系统的特性，然后介绍描述函数法，着重分析自激振荡。最后介绍适合于二阶非线性系统的相平面法。分析自激振荡。最后介绍适合

3、于二阶非线性系统的相平面法。第第8 8章章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析自动控制原理国家精品课程4第第8 8章章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析8.1 8.1 典型非线性特性典型非线性特性8.2 8.2 描述函数法描述函数法 8.3 8.3 相平面法相平面法8.4 MATLAB8.4 MATLAB在非线性系统分析中的应用在非线性系统分析中的应用自动控制原理国家精品课程58.1 8.1 典型非线性特性典型非线性特性弱非线性系统弱非线性系统（光滑、连续的非线性系统）（光滑、连续的非线性系统） （泰勒级数展开法，非线性系统的线性化）（泰勒级数展开法，非线性系统的线性化） 强非线性系统强

4、非线性系统( (本质非线性本质非线性) ) （描述函数法，相平面法，计算机仿真）（描述函数法，相平面法，计算机仿真） 自动控制原理国家精品课程6非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（1 1） 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，或者只取决线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，或者只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。系。对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运

5、动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。自动控制原理国家精品课程7非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（2 2） 线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。 非线性系统自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不非线性系统自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。同而有多种不同的形式。自动控制原理国家精品课程8非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（3 3） 线性系统在没有

6、外作用时，周期运动只发生在临界情况，线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动在物理上不可能实现的。而这一周期运动在物理上不可能实现的。非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡。理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡。自动控制原理国家精品课程9非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（4 4） 线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也线性系统中，当输入量是正弦信号

7、时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。来表示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。 自动控制原理国家精品课程10非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（5 5） 在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲响在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲响应函数等概念。应函数等概念。工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或者非工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或者非线性不严重线性不严重( (光滑、连

8、续）的准线性系统，常常采用线性化光滑、连续）的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的本质非线性对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的本质非线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。自动控制原理国家精品课程118.1 8.1 典型非线性特性典型非线性特性8.1.1 8.1.1 饱和特性饱和特性,( )( )( ) ,( ),( )kae tax tke te takae ta 具有饱和特性的装置：具有饱和特性的

9、装置：放大器的输出饱和或输出放大器的输出饱和或输出限幅限幅具有行程限制及功率限制具有行程限制及功率限制的液压调节阀的液压调节阀伺服电机在大控制电压下伺服电机在大控制电压下运行的转速特性运行的转速特性流通孔径限制流通孔径限制 自动控制原理国家精品课程128.1.2 8.1.2 死区特性死区特性具有死区特性的装置：具有死区特性的装置：（）测速发电机转速很低时，（）测速发电机转速很低时，输出电压几乎为输出电压几乎为0；（）伺服电机的死区电压（）伺服电机的死区电压（启动电压）；（启动电压）；（）各种电路中的门槛值（）各种电路中的门槛值（阈值）；（阈值）；（）电气触头间隙；（）电气触头间隙；（）弹簧的预

10、张力；（）弹簧的预张力；（6）气动或液压滑阀的搭接段。）气动或液压滑阀的搭接段。放大器的输出饱和或输出限幅放大器的输出饱和或输出限幅0 ,( )( ) ( )( ( ) ,( )e tax tk e tasign e te ta自动控制原理国家精品课程138.1.3 8.1.3 间隙特性间隙特性具有间隙特性的实际系统：具有间隙特性的实际系统：（）齿轮转动系；（）齿轮转动系；（）磁化特性；（）磁化特性；（）液压传动中的油隙特（）液压传动中的油隙特性。性。0)(),(0)(),)(0)(),)()(txtebsigntxtektxtektx自动控制原理国家精品课程148.1.4 8.1.4 继电器

11、特性继电器特性自动控制原理国家精品课程158.1.4 8.1.4 继电器特性继电器特性0)(,)(,0)(,)(,)(,)(0)(,)(,00)(,)(,0)(tematebtematebatetebsigntemateateatematx自动控制原理国家精品课程168.2 8.2 描述函数法描述函数法 8.2.1 8.2.1 描述函数法的基本思想与条件描述函数法的基本思想与条件8.2.2 8.2.2 描述函数描述函数8.2.3 8.2.3 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数8.2.4 8.2.4 用描述函数分析非线性系统的自激振荡用描述函数分析非线性系统的自激振荡自动控制原理国

12、家精品课程171. 基本思想基本思想描述函数法的基本思想描述函数法的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基是用非线性元件的输出信号中的基波分量，代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。波分量，代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。所以这种方法又称为一次谐波法。所以这种方法又称为一次谐波法。8.2.1 8.2.1 描述函数法的基本思想与条件描述函数法的基本思想与条件自动控制原理国家精品课程182. 基本条件基本条件非线性特性是斜对称的非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分量为零；，这样输出中的常值分量为零；线性部分具有较好的低通滤波特性线性部分具有较好的低通滤波特性，以衰减高次谐波；，以

13、衰减高次谐波；非线性特性不是时间函数非线性特性不是时间函数。因为描述函数法本质上。因为描述函数法本质上 是频率法的推广，而频率法对时变系统不适用；是频率法的推广，而频率法对时变系统不适用；系统中的非线性特性能简化为一个非线性环节系统中的非线性特性能简化为一个非线性环节。8.2.1 8.2.1 描述函数法的基本思想与条件描述函数法的基本思想与条件自动控制原理国家精品课程1910)sincos(2)(iiitiBtiAAtx20)(cos)(1ttditxAi20)(sin)(1ttditxBi)sin(sincos)(11111tXtBtAtx201)(cos)(1ttdtxA201)(sin)

14、(1ttdtxB21211BAX.2描述函数描述函数 1.1.描述函数的定义描述函数的定义 自动控制原理国家精品课程20AAjABeAXAeeXexjANjjj11101111),(非线性环节的描述函数总是输入信号幅值非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A A的函数，的函数， 一般也是频率一般也是频率 的函数，因此，描述函数一般记为的函数，因此，描述函数一般记为),(jAN非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入的正弦振荡的振幅的正弦振荡的振幅A A有关，这是非线性特性本质的反有关，这是非线性特性本质的反映。它与线性环节的情况正好

15、相反，线性环节的幅映。它与线性环节的情况正好相反，线性环节的幅相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。.2描述函数描述函数 自动控制原理国家精品课程21tAtesin)(1A1B1X11111)(jeAXAAjABAN1 1）绘制输入）绘制输入输出波形图，写出输入为输出波形图，写出输入为时非线性输出表达式时非线性输出表达式的对称性，并计算的对称性，并计算 2.描述函数的求取描述函数的求取 2 2）由波形图分析）由波形图分析 3 3）描述函数为）描述函数为 )(tx.2描述函数描述函数 自动控制原理国家精品课程223)(41

16、)(21)(tetetx2020331)(sinsin4sin24)(sin)(1ttdtAtAttdtxB3204221632)sinsin2(AAdAA例例 非线性元件的静特性方程为非线性元件的静特性方程为 X(t)X(t)是单值奇函数，所以是单值奇函数，所以A1=0A1=0 2116321)(AABAN.2描述函数描述函数 自动控制原理国家精品课程2320sin)(11tbkattkAtx )(sin)(sinsin420111ttdkattdtkAB20211sin4sin4dkadkA111cos4)2sin412(4kakA)(1)arcsin(22AaAaAaAk

17、)(1)(sin2)(211AaAaAakABAN8.2.3 8.2.3 典型非线性特性得描述函数典型非线性特性得描述函数1.1.饱和特性的描述函数饱和特性的描述函数X(t)X(t)是单值奇函数，所以是单值奇函数，所以A1=0A1=0 X(t)X(t)e(t)自动控制原理国家精品课程24)(1)(sin21)(121AaAaAakAN)(1)(sin2)(211AaAaAakABAN负倒特性负倒特性 自动控制原理国家精品课程25单值奇函数，具有半周期的对称性单值奇函数，具有半周期的对称性 2),sin(0, 0)(11tatAkttx201)(sin)(4ttdtxB)(1)(sin22)(s

18、in)sin(421211AaAaAakAttdatAkB)(1)arcsin(22)(2AaAaAakAN2.2.死区特性的描述函数死区特性的描述函数X(t)X(t)e(t)自动控制原理国家精品课程26tatAktaAktatAktx)sin(2)(20)sin()(113.3.间隙特性的描述函数间隙特性的描述函数X(t)X(t)e(t)自动控制原理国家精品课程27tatAktaAktatAktx)sin(2)(20)sin()(11) 1(4 )(cos)sin()(cos)()(cos)sin(2)(cos)(21122001AakattdatAkttdaAkttdatAkttdtxA0

19、1)(sin)(2ttdtxB1220)(sin)()(sin)sin(2ttdaAkttdatAk )(sin)sin(1ttdatAk)21 (1)21 ()21 (sin221AaAaAakA) 1(4)21 (1)21 ()21 (sin2)(2111AaAakjAaAaAakAAjABAN自动控制原理国家精品课程284.4.继电器特性的描述函数继电器特性的描述函数e(t)X(t)X(t)自动控制原理国家精品课程29自动控制原理国家精品课程30自动控制原理国家精品课程318.2.4 8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 0)()(1jGA

20、N)(1)(ANjG自动控制原理国家精品课程328.2.4 8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 奈氏图上的稳定性分析奈氏图上的稳定性分析当系统处于某一状态时，当系统处于某一状态时，对应的负倒特性曲线上的对应的负倒特性曲线上的一点就是临界点。一点就是临界点。这样，线性系统理论中的这样，线性系统理论中的奈氏稳定判据，可用于分奈氏稳定判据，可用于分析非线性系统处于这个状析非线性系统处于这个状态时的稳定性。态时的稳定性。 自动控制原理国家精品课程338.2.4 8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 奈氏图

21、上的稳定性分析奈氏图上的稳定性分析稳定稳定（最小相位系统）（最小相位系统）不稳定不稳定（最小相位系统）（最小相位系统）自动控制原理国家精品课程348.2.4 8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 自激振荡稳定性分析自激振荡稳定性分析什么是自激振荡的稳定性？什么是自激振荡的稳定性？如何判别自激振荡的稳定性？如何判别自激振荡的稳定性？当负倒特性轨迹从不稳定区进当负倒特性轨迹从不稳定区进入稳定区时，交点处的自激振入稳定区时，交点处的自激振荡是稳定的自激振荡。荡是稳定的自激振荡。当负倒特性轨迹从稳定区进入当负倒特性轨迹从稳定区进入不稳定区时，交点处的自激

22、振不稳定区时，交点处的自激振荡是不稳定的自激振荡。荡是不稳定的自激振荡。 自激振荡自激振荡自动控制原理国家精品课程358.2.4 8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 自激振荡振幅和频率的确定自激振荡振幅和频率的确定 自激振荡的幅值和频率分别自激振荡的幅值和频率分别为交点处负倒特性轨迹上的为交点处负倒特性轨迹上的A值，和线性部分奈氏轨迹值，和线性部分奈氏轨迹上对应的频率值。上对应的频率值。自动控制原理国家精品课程36例例8.2 8.2 分析非线性系统自激振荡的情况分析非线性系统自激振荡的情况 ) 12 . 0)(11 . 0(15sss)(te)

23、(tc图4.40 非线性系统)(tx1-1) 12 . 0)(11 . 0(15)(jjjjG)(lim0jG2)(lim0jG0)(limjG23)(limjG420004. 005. 01153 . 0)(RejG)0004. 005. 01 () 102. 0(15)(Im422jG自动控制原理国家精品课程370)(ImjG)0004. 005. 01 () 102. 0(15)(Im422jG0102. 02解得奈氏曲线与实轴交点处的频率：解得奈氏曲线与实轴交点处的频率： 奈氏曲线与实轴交点坐标：奈氏曲线与实轴交点坐标： 1)50(RejG50理想继电特性的负倒特性为理想继电特性的负倒

24、特性为 AAN4)(1负倒特性曲线为整个负实轴，如图负倒特性曲线为整个负实轴，如图8.24所示，与奈氏曲线存在所示，与奈氏曲线存在交点，系统存在自激振荡。由于负倒特性是从不稳定区进入稳交点，系统存在自激振荡。由于负倒特性是从不稳定区进入稳定区，所以，交点处是稳定的自激振荡。定区，所以，交点处是稳定的自激振荡。自激振荡的频率为自激振荡的频率为 50幅值为幅值为 27. 14A自动控制原理国家精品课程38例例 分析非线性系统自激振荡的情况分析非线性系统自激振荡的情况 自动控制原理国家精品课程398.3 相平面法相平面法8.3.1 相平面相平面对于阶系统的状态，可以用一个维状态向量描述，可以对于阶系

25、统的状态，可以用一个维状态向量描述，可以构成一个维空间，称为状态空间，也称为相空间。构成一个维空间，称为状态空间，也称为相空间。各状态随时间变化在状态空间中形成的轨迹，称为相轨迹。各状态随时间变化在状态空间中形成的轨迹，称为相轨迹。 对于二阶微分方程描述的系统，对于二阶微分方程描述的系统，相空间是二维的，在某些情况下，相空间是二维的，在某些情况下，是一个平面，称为相平面。是一个平面，称为相平面。相轨迹表示了系统的动态特性。相轨迹表示了系统的动态特性。这种这种用相轨迹几何图形表示系统用相轨迹几何图形表示系统动态过程的方法，称为相平面法。动态过程的方法，称为相平面法。x 0图4.45 相轨迹x自动

26、控制原理国家精品课程40相平面法的适用范围相平面法的适用范围 ：相平面法是一种精确的方法，但它受到下列几点限制：相平面法是一种精确的方法，但它受到下列几点限制： （1）仅适用于一阶、二阶系统仅适用于一阶、二阶系统。 （2）只适用于定常系统，不适用于时变系统只适用于定常系统，不适用于时变系统。 （3）一般用于研究系统输入为零时的动态过程一般用于研究系统输入为零时的动态过程。当有输入。当有输入时，输入信号的形式受到初态的限制，只允许像阶跃、速度、时，输入信号的形式受到初态的限制，只允许像阶跃、速度、加速度等能像常数被状态隐含的输入信号，而不允许像正弦加速度等能像常数被状态隐含的输入信号，而不允许像

27、正弦一类的输入。一类的输入。相平面法研究的是下列线性或非线性二阶系统：相平面法研究的是下列线性或非线性二阶系统：0),(xxfx ),(12221xxfxxx),(),(212211xxQxxxPx自动控制原理国家精品课程41相平面的选择相平面的选择 当研究系统的过渡过程特性时，常常选择系统输出变量及当研究系统的过渡过程特性时，常常选择系统输出变量及其导数作为状态变量；其导数作为状态变量；当研究系统的误差特性时，常常选择系统误差信号及其导当研究系统的误差特性时，常常选择系统误差信号及其导数作为状态变量；数作为状态变量；当系统存在速度输入时，一般选择系统的误差信号及其导当系统存在速度输入时，一般

28、选择系统的误差信号及其导数作为变量数作为变量 自动控制原理国家精品课程42相平面的性质相平面的性质 （1）相平面图的对称性）相平面图的对称性 相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。 0),(xxfx xxxfxxdtdxdtxddxxd ),(若对称于若对称于x轴，则轴，则 和和 点上相轨迹的斜率大小相等，点上相轨迹的斜率大小相等，符号相反符号相反( , )x x( , )xxxxxfxxxf),(),(),(),(xxfxxf即相轨迹对称于即相轨迹对称于x轴的条件是轴的条件是 必须是必须是 的偶函数。的偶函数。f x x(, ) x自

29、动控制原理国家精品课程43相轨迹对称于相轨迹对称于 轴的条件是轴的条件是 必须是必须是 的奇函数。的奇函数。f x x(, )x x若相轨迹对称于若相轨迹对称于 轴，则轴，则 和和点上相轨迹的斜率大小相等，符号相反点上相轨迹的斜率大小相等，符号相反 x( , )x x(, )x xxxxfxxxf),(),(相轨迹对称于原点的条件相轨迹对称于原点的条件 ),(),(xxfxxf若相轨迹对称于原点，则若相轨迹对称于原点，则 和和点上相轨迹的斜率大小相等，符号相同点上相轨迹的斜率大小相等，符号相同 ( , )x x(, )xxxxxfxxxf),(),(自动控制原理国家精品课程44（2）相轨迹与）

30、相轨迹与X轴正交轴正交xxxfdxxd),(相轨迹在与相轨迹在与x轴的相交点处的斜率为轴的相交点处的斜率为 （）系统状态沿相轨迹运动的方向（）系统状态沿相轨迹运动的方向 在相平面的上半平面，系统的状态是沿相轨迹向右运动。在相平面的上半平面，系统的状态是沿相轨迹向右运动。在相平面的下半平面，系统的状态是沿相轨迹向左运动。在相平面的下半平面，系统的状态是沿相轨迹向左运动。自动控制原理国家精品课程45（）相平面图中的普通点和奇点（）相平面图中的普通点和奇点在普通点相轨迹是唯一的，在普通点相轨迹是唯一的，而在奇点相轨迹是不唯一的。而在奇点相轨迹是不唯一的。 相轨迹的斜率为相轨迹的斜率为 xxxfdxx

31、d),(相平面中不同时满足相平面中不同时满足 ， ，称为普通点。，称为普通点。 0 x 0),(xxf 相平面中同时满足相平面中同时满足 ， ，称为奇点。，称为奇点。 0 x 0),(xxf 自动控制原理国家精品课程468.3.2 相轨迹的绘制方法相轨迹的绘制方法绘制相平面图可以用解析法和计算机仿真方法。绘制相平面图可以用解析法和计算机仿真方法。 . 解析法解析法 方法方法1：求出：求出 和和 对对 的函数关系，然后从这两个方程中的函数关系，然后从这两个方程中消去，从而得到相轨迹方程。消去，从而得到相轨迹方程。 xx t例例8.4 具有理想继电特性的非线性系统如图所示，试在具有理想继电特性的非

32、线性系统如图所示，试在平面上绘制相轨迹。平面上绘制相轨迹。cc21s)(te)(tc图4.46 非线性系统)(txM-M)( 1)(tRtr自动控制原理国家精品课程47解解 从方框图得到从方框图得到)(cRMSignxxc 则则)(cRMSignc )0()(ccRMtSignc)0()0()(212ctccRSignMtc从上面两式中消去从上面两式中消去t 2222( )2( )(0)2(0),( )( )2( )(0)2(0),( )c tMc tcMcRc tc tMc tcMcRc t 图4.47 例4.33相轨迹图c c c0I 区II 区Rc Rc Rc Rc 1P1PR2P2P0

33、P0P自动控制原理国家精品课程48方法方法2：利用关系式利用关系式( , )dxxdxf x xdtdxxdxxdt 将二阶微分方程变成一阶微分方程，然后直接对该一阶微分将二阶微分方程变成一阶微分方程，然后直接对该一阶微分方程进行积分，便可得到相应的相轨迹。方程进行积分，便可得到相应的相轨迹。 例例8.4 )(cRMSigndccdc)(cRMSignc dccRMSigncdc)()()0()()0()(tcctccdccRMSigncdc)0()()()0()(2122ctccRMSignctc )()0(2)0()()(2)(22cRSignMcccRSigntMctc两种方法所得结果相

34、同。两种方法所得结果相同。 自动控制原理国家精品课程49 2 定性控制法定性控制法 （）相对原点、坐标轴的对称性；（）相对原点、坐标轴的对称性；（）水平等倾线；（）水平等倾线；（）铅垂等倾线；（）铅垂等倾线；（）不变直线，即直线形的相轨迹；（）不变直线，即直线形的相轨迹；（）奇点类型；（）奇点类型；（）极限环；（）极限环；（）某区域中的斜率符号。（）某区域中的斜率符号。自动控制原理国家精品课程50例例8.5 绘制相轨迹绘制相轨迹023xxx yxxyyx32 相轨迹微分方程为相轨迹微分方程为yyxdxdy32 它的相轨迹具有下列特征：它的相轨迹具有下列特征：（）相轨迹关于原点对称。（）相轨迹关

35、于原点对称。（）水平等倾线（）水平等倾线（）铅垂等倾线（）铅垂等倾线y=0（）不变直线相轨迹（）不变直线相轨迹y=kx（）等倾线方程为（）等倾线方程为xy32xy32自动控制原理国家精品课程518.3.3 奇点奇点相平面分析法的一个重要方面：根据系统相轨迹的一些特相平面分析法的一个重要方面：根据系统相轨迹的一些特征可以分析系统的运动特性。征可以分析系统的运动特性。相轨迹的两类重要特征相轨迹的两类重要特征奇点和极限环。奇点和极限环。 . 奇点的概念奇点的概念),(),(212211xxQxxxPx使使 与与 同时成立的点为同时成立的点为奇点奇点。 0),(2010 xxP0),(2010 xxQ

36、奇点是相轨迹的交点。奇点是相轨迹的交点。 奇点的物理意义：平衡点奇点的物理意义：平衡点 奇点的求解：奇点的求解： 0),(0),(2121xxQxxP0), 0(xf自动控制原理国家精品课程52为了确定奇点的性质及其附近的运动特性，将、在为了确定奇点的性质及其附近的运动特性，将、在奇点附近展开成泰勒级数。奇点附近展开成泰勒级数。 202101212202101211),(),(xxQxxQxxQxxxPxxPxxPx线性化线性化 202101212202101211),(),(xxQxxQxxQxxxPxxPxxPx自动控制原理国家精品课程53 二阶线性系统的相轨迹及奇点二阶线性系统的相轨迹及

37、奇点 考察二阶线性微分方程：考察二阶线性微分方程：2212221111xbxaxxbxax0022122111xbxaxbxa若若 02211baba则有唯一奇点则有唯一奇点 （0，0）消去状态变量消去状态变量 2x0)()(112211211xbabaxbax 0qxpx 特征方程特征方程 02qprr各种特征根分布及相应的相轨迹图。各种特征根分布及相应的相轨迹图。 自动控制原理国家精品课程54各种特征根分布及相应的相轨迹图。各种特征根分布及相应的相轨迹图。 自动控制原理国家精品课程55图4.49 奇点类型与特征方程系数的关系pq0042qp042qp鞍点稳定奇直线不稳定奇直线稳定节点不稳定

38、节点稳定焦点不稳定焦点不稳定退化节点稳定退化节点中心自动控制原理国家精品课程56. 二阶非线性系统奇点的性质二阶非线性系统奇点的性质 庞加莱庞加莱(Poincare)定理定理 若一次近似方程的奇点属于节点、若一次近似方程的奇点属于节点、焦点和鞍点，则非线性方程的奇点也属于同一类型。焦点和鞍点，则非线性方程的奇点也属于同一类型。 例例8.6 确定下列非线性方程的奇点类型。确定下列非线性方程的奇点类型。 22121221211232xxxxxxxxxx02032221212121xxxxxxxx得方程的唯一奇点（，）。得方程的唯一奇点（，）。一次线性近似方程为一次线性近似方程为21221132xx

39、xxxx特征根为特征根为 2321,21jrr是一次近似方程的稳定焦点，也是非线性方程的稳定焦点。是一次近似方程的稳定焦点，也是非线性方程的稳定焦点。自动控制原理国家精品课程57对非线性系统，奇点的相图仅在奇点附近小领域内才能表对非线性系统，奇点的相图仅在奇点附近小领域内才能表示非线性系统的相图，而且离奇点愈远，畸变愈大。示非线性系统的相图，而且离奇点愈远，畸变愈大。 线性系统的奇点的类型完全确定了系统整个相平面上的运动线性系统的奇点的类型完全确定了系统整个相平面上的运动状态。状态。非线性系统的奇点的类型不能确定系统在整个相平面上的运非线性系统的奇点的类型不能确定系统在整个相平面上的运动状态，

40、只能确定奇点（平衡点）附近的运动特征。动状态，只能确定奇点（平衡点）附近的运动特征。极限环描述了离开奇点较远处的相平面图的特征。极限环描述了离开奇点较远处的相平面图的特征。非线性系统奇点和线性奇点的比较：非线性系统奇点和线性奇点的比较： 自动控制原理国家精品课程588.3.4 极限环极限环自激振荡是非线性系统自激振荡是非线性系统中的一个很重要的现象，中的一个很重要的现象，在前面曾用描述函数法在前面曾用描述函数法加以研究。加以研究。自激振荡反映在相平面自激振荡反映在相平面图上，是相轨迹缠绕成图上，是相轨迹缠绕成的一个环，称为极限环。的一个环，称为极限环。 自动控制原理国家精品课程59用解析方法确

41、定一个简单非线性系统的极限环。用解析方法确定一个简单非线性系统的极限环。 例例8.7 一非线性系统方程为一非线性系统方程为 )1 ()1 (22212122221121xxxxxxxxxx引用极坐标引用极坐标 sincos21rxrx1)1 (2rrr)(1102ttcertttcettrxcettrx2022011)sin(sin1)cos(cos自动控制原理国家精品课程60从几何图形来分析上面的结果。从几何图形来分析上面的结果。 若若c=0，则解为，则解为 r=1， 。它以顺时针方向描出圆：。它以顺时针方向描出圆：tt 012221 xx)(1102ttcertttcettrxcettrx

42、2022011)sin(sin1)cos(cos若若c1，且当，且当 时，时， t1r若若c0，则显然，则显然r1，且当，且当 时，仍有时，仍有 t1r这说明，存在一个单独的闭合路径（这说明，存在一个单独的闭合路径（r=1），随着），随着所有其它相轨迹都以螺旋线的方式从内部或从外部趋近于它，所有其它相轨迹都以螺旋线的方式从内部或从外部趋近于它，这样的闭合路径就是一个这样的闭合路径就是一个极限环，如图极限环，如图8.34。 t自动控制原理国家精品课程61图图8.35 极限环及相应的时间响应极限环及相应的时间响应各种类型的极限环及相应的系统时间特性。各种类型的极限环及相应的系统时间特性。自动控制原

43、理国家精品课程628.3.5 非线性系统相平面分区线性化方法非线性系统相平面分区线性化方法用相平面法分析非线性系统的关键是绘制相轨迹。用相平面法分析非线性系统的关键是绘制相轨迹。如果非线性特性可以分段用线性微分方程描述，那么，可以如果非线性特性可以分段用线性微分方程描述，那么，可以把相平面划分为几个区域，在各个区域中的相轨迹就对应于把相平面划分为几个区域，在各个区域中的相轨迹就对应于各段的线性微分方程。各段的线性微分方程。根据该微分方程的奇点的性质，则可以绘制该区域的相轨迹，根据该微分方程的奇点的性质，则可以绘制该区域的相轨迹，然后将各区域的相轨迹自然联接，便得到整个系统的相轨迹。然后将各区域

44、的相轨迹自然联接，便得到整个系统的相轨迹。如果非线性特性不能用分段线性方程描述，也需首先求出奇如果非线性特性不能用分段线性方程描述，也需首先求出奇点，然后绘制各奇点附近的相轨迹。点，然后绘制各奇点附近的相轨迹。自动控制原理国家精品课程63在能用分段线性方程描述的非线性特性的相轨迹的绘制方法在能用分段线性方程描述的非线性特性的相轨迹的绘制方法中，一个关键的概念是所谓的中，一个关键的概念是所谓的“实奇点实奇点”、“虚奇点虚奇点”。线性二阶微分方程有一个奇点，但对该微分方程所限制的区线性二阶微分方程有一个奇点，但对该微分方程所限制的区域而言，该奇点可能落在所限制的区域内，也可能落在所限域而言，该奇点

45、可能落在所限制的区域内，也可能落在所限制的区域以外。制的区域以外。如果它的奇点落在该方程适用区域之内，则适用区域内的相如果它的奇点落在该方程适用区域之内，则适用区域内的相轨迹可以汇集于该奇点，这样的奇点称为实奇点。轨迹可以汇集于该奇点，这样的奇点称为实奇点。如果奇点落在该方程适用区域之外，则适用区域内的相轨迹如果奇点落在该方程适用区域之外，则适用区域内的相轨迹事实上不可能汇集于该奇点，所以称之为虚奇点。事实上不可能汇集于该奇点，所以称之为虚奇点。“实奇点实奇点”、“虚奇点虚奇点”的概念的概念:自动控制原理国家精品课程64例例8.8 用相平面法分析图用相平面法分析图8.38所示具有饱和特性的非线

46、性系统。所示具有饱和特性的非线性系统。) 1(TssK)(te)(tc图4.55 具有饱和特性的非线性系统)(tx)(tr000,eeMeeMeeex描述系统的微分方程为描述系统的微分方程为TeeKxTrr 输入为阶跃信号输入为阶跃信号 0kxeeT 000, 0, 0, 0eeKMeeTeeKMeeTeeKeeeT 自动控制原理国家精品课程65下面分别讨论各个区的相轨迹的特征。下面分别讨论各个区的相轨迹的特征。0ee 0KeeeT TKTTr4121212 , 1当当 时，奇点（时，奇点（0，0）是稳定焦点；）是稳定焦点；当当 时，奇点（时，奇点（0，0）是稳定节点。）是稳定节点。因为该方程的奇点（因为该方程的奇点（0，0）是在该方程适用区域之内，所）是在该方程适用区域之内，所以是实奇点。以是实奇点。041 TK041 TKee0TeeKM 0可以看出可以看出 与与 不可能同时为零，所以该方程不存在奇点不可能同时为零，所以该方程不存在奇点 e e 1deedTKMe0deedKMe相轨迹存在一条水平渐近线相轨迹存在一条水平渐近线 由于由于自动控制原理国家精品课程66综上分析可以得到系统整个相平面图特征，如图综上分析可以得到系统整个相平面图特征，如图8.39所示。所示。从