概率分布期望方差汇总

1、仅供个人参考1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1 ,2, 3的三个座位，每位学生坐一个座位, 设与座位编号相同的学生的个数是X.(1) 求随机变量 X的分布列;(2) 求随机变量X的数学期望和方差.2 1解(1)P(X=0)=厶=丄；a3 3C1 111P(x=1) =-4=- ； P(X=3)=_ ；A3 2A3 6随机变量X的分布列为X013P(2) E (X) =1X 1+3X 1=1.2 6D (X) =(1-0) 2 丄 +(1-1) 2 1 +(3-1) 2 丄=1.3269个白球、1个红球的箱子中每次10元；摸出两个红甲摸一次，乙摸两次，令X表示2某商场举行抽奖促销活动

2、，抽奖规则是：从装有随机地摸岀一个球，记下颜色后放回，摸岀一个红球可获得奖金 球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定： 甲、乙两人摸球后获得的奖金总额 .求：不得用于商业用途(1) X的分布列；(2) X的均值.解 (1) X的所有可能取值为9讨 729P (X=0) = W 说；P 1+A10 10P (X=10) = x101P(X=20)= X100, 10, 20,X c2X X1018C2 X 1 X 9 10 =10 10 1 00050,60.243910 1 0001 =9102 1 000P(X=60)=1103故X的分布列为X01020506011 000P72924

3、3189(2 ) E ( X )=0 X -If9 +10 X+20 X +50 X +60 X1 000 1 000 1 000 1 000=3.3(兀).1 0003 (本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14件和5件，测量产品中的微量元素 x,y的含量(单位：毫克)下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081(1) 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2) 当产品中的微量元素 x,y满足x> 175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计

4、乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述 5件产品中，随机抽取 2件，求抽取的2件产 品中优等品数'的分布列极其均值(即数学期望)。98解：(1)7,5 7=35，即乙厂生产的产品数量为35件。14(2) 易见只有编号为2, 5的产品为优等品， 所以乙厂生产的产品中的2优等品5故乙厂生产有大约35 2 =14 (件)优等品，5(3) '的取值为0, 1, 2。所以'的分布列为012P3314故的均值为E -0 1 _ 2 -.1051054湖南理18.(本小题满分12分)某商店试销某种商品 20天，获得如下数据:日销售量(件)0123频数1595试销结束后（假设该

5、商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2件，则当天进货补充.至3件，否则不进货.，将频率视为概率。（I）求当天商品不进货的概率；（n）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。4. 解（I）P （“当天商品不进货” ）=P （“当天商品销售量为o件”）P153（“当天商品销售量为1件”）二-5-.20 20 10（n）由题意知， X的可能取值为2,3.51P（X =2） =P （“当天商品销售量为 1件”）；204P（X =3） = P （“当天商品销售量为 0件”） P （“当天商品销售量为2件”） P （“当

6、天商品销售量为3件”）1953= + + =2020204'故X的分布列为2313 11X的数学期望为EX = 23.44 45、江西理16.（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后， 从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为 3500 元，若4杯选对3杯，则月工资定为 2800元，否则月工资定为 2100 元，令X表示此人选对 A饮料的杯数，假设此人对 A和B两种饮料 没有鉴别能力.（1 ）求X的分布列；（2）求此员

7、工月工资的期望。.（本小题满分12分）解：（1） X的所有可能取值为：0, 1 , 2, 3, 4即X01234P(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为 2100,2800, 3500所以新录用员工月工资的期望为2280元.6、辽宁理(19)(本小题满分12分)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙) 进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块 地，在总共2n小块地中，随机选 n小块地种植品种甲，另外 n小块地 种植品种乙.(I) 假设n=4,在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X, 求X的分布列和数学期望；(II) 试验时每大块

8、地分成 8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2 )如下表:品种 甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验 结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据Xi,X2,；Xn的的样本方差1 _S2 二一 (Xt -X)2 (X2 -X)2 (Xn -X)2，其中 X 为样本平均数n6解：(I) X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4,且即X的分布列为4分X的数学期望为181881E(X) =012342.703535357

9、06分(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：8 分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙7、山东理18.(本小题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C进行围棋比赛，甲对A, 乙对B,丙对C各一盘，已知甲胜 A，乙胜B,丙胜C的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。(I)求红队至少两名队员获胜的概率；(n)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E .7.解：(I)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E，丙胜C

10、的事件为F,4 4 4则D,E,F分别表示甲不胜 A、乙不胜B，丙不胜C的事件。因为 P(D) =0.6,P(E) =0.5, P(F) =0.5,由对立事件的概率公式知红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为(II)由题意知可能的取值为0, 1, 2, 3。又由(I)知DEF , DEF , DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此 PC： =0) =P(DEF ) =0.4 0.5 0.5 =0.1,由对立事件的概率公式得所以的分布列为：0123P0 10 350 40 15因此 E!：=0 0.11 0.35 2

11、 0.4 3 0.15 =1.6.20解(I) Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站” ，Bi表示事件“乙选择路径 Li时，50分钟内赶到火车站” ，i=1,2 用频率 估计相应的概率可得P (A1) =0 1+0 2+0 3=0 6, P (A2) =0 1+0. 4=0 5,/ P (A1) >P (A2),' 甲应选择 LiP ( B1) =0 1+0 2+0 3+0 2=0 8, P (B2) =0 1+0 4+0 4=0 9,'/ P (B2) > P (B1),几 乙应选择 L2 (n) a,b分别表示针对(I)的选择方案，甲、乙在各自允

12、许的时间内赶到火车站，由(I)知 P(A)二0.6, P(B)二0.9 ,又由题意知，A,B独立，-X的分布列为X012P0 040 420 548、四川理18 (本小题共12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自 行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时 的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)。有人独立来该 租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率1 12'41 1分别为丄，丄；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4 2两人租车时间都不会超过四小时。(I)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(n)求甲、乙两人

13、所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列 与数学期望E '；1 11(1)所付费用相同即为 0,2,4元。设付0元为P =丄丄=丄，付24 28一亠 1 1 1 一 111兀为巳，付4兀为P3 :2 484 4165 则所付费用相同的概率为P = p+P2+P3= 16(2)设甲，乙两个所付的费用之和为 ,可为0,2,4,6,8分布列9、天津理16.(本小题满分13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里 装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相 同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回

14、原箱)(I)求在1次游戏中，(i) 摸出3个白球的概率；(ii) 获奖的概率；(H)求在2次游戏中获奖次数 X的分布列及数学期望 E(X) 9. 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的 实际问题的能力满分13分.(I) (i)解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A =(i =0,1,2,3),则710(ii)解：设“在1次游戏中获奖”为事件 B,则B=aUA3，又1 1 且 A2, A3互斥，所以 P(B)二 P(A2) P(A3)=25(II)解：由题意可知 X的所有可能取值为 0, 1, 2.所以X的

15、分布列是X012P92149 7X的数学期望E(X) =012.10050100 510重庆理17.(本小题满分13分)(I)小问5分，(H)小问8分) 某市公租房的房源位于 A, B, C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：(I)恰有2人申请A片区房源的概率；(H) 申请的房源所在片区的个数'的分布列与期望10. (本题13分)解：这是等可能性事件的概率计算问题(I) 解法一：所有可能的申请方式有 34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式C4 22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察

16、为一次试验，这是4次独立重复试验1记“申请A片区房源”为事件 A，则P(A)二3从而，由独立重复试验中事件 A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为(II) E的所有可能值为1, 2, 3.又综上知，E有分布列E123P从而有11. (2008 全国I理，20)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液 来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3只中的1只,然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若

17、结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(1) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；(2) '表示依方案乙所需化验次数，求'的期望.解 (1)设2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则方案甲中1的分布列为1234P方案乙中2的分布列为123P0若甲化验次数不少于乙化验次数，则P=P( 1=1) X P( 2=1)+P('1=2) X : P(' 2=1)+P(' 2=2) +P(' 1=3)X:P(2=1)+P(2=2)+P( 2=3)+P(1=4)1 3132218=0+丄 X( 0+_ ) +_ X(

18、0+- + 2 ) +-=18 =0.72.5555 55 25(2) E (') =1X 0+2X 3 +3X Z= 12 =2.4.55512. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为丄与p，且乙投2球2次均未命中的概率为 丄.16(1) 求乙投球的命中率 p;(2) 若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学 期望.解(1)设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B.由题意得(1- P( B) =(1- p)=,16解得p=2或p=5 (舍去)，所以乙投球的命中率为9.444(2)由题设和(1) 知 P(A)= !, P

19、( A )= 1 , P(B)=3 ,2 241P( B )=丄.4可能的取值为0, 1 , 2, 3，故1P( =0)=P( A )P( B B )= X-AP( =1)=P( A) P( B * B )+ c2 p=丄X丄 +2X - X丄X444丄=Z2321532P( =3)=P( A) P(B B)= - X 2 P( =2)=1- P( =0)- P( =1)- P( =3)='的分布列为0123P'的数学期望E ( ') =0 X 丄 +1 X _ +2X 15 +3X =2.3232323213. 设在12个同类型的零件中有 2个次品，抽取3次进行检验，

20、每次抽取一个，并且 取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数.(1 )求的分布列、期望值及方差；(2 )求 的分布列、期望值及方差. 解 (1)的可能值为0，1，2.若=0，表示没有取岀次品，其概率为:P (=0) * = 6;C；211丄22-2 2 CC同理，有 P (=1) =C2C0 = ; P (=2)C?222的分布列为：/ E012P1=1222；X2 + <22 V斗X丄2丿 22乂69()=0X +1 X +2X 11 22')=(0-丄)2 X § + 1 一丄2 11 1 23 9915=+ + =22 88 88 44 '(2)的

21、可能值为1，2，3,显然'+ =3.P( =1)=P(=2)=丄，P( =2)=P(=1)=,22 22P( =3)=P(=0)=.11的分布列为：PA CE () =E (3- ' ) =3- E ( ') =3-=-.2 2/=-+3,二 D () = (-1 ) 2D ( ' ) =254414. 某地区的一个季节下雨天的概率是0.3 ,气象台预报天气的准确率为 0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.(1 )若该厂任其自然不作防雨处理，写岀每天损失的分布列，并

22、求其平均值；(2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写岀的分布列.计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？03 000P0.70.3解 (1)设为损失数，分布列为：/ E ( ') =3 000 X 0.3=900 (元)分布列为：(2 )设为损失数，则05003 000P0.560.380.06P (=0) =0.7 X 0.8=0.56.P( =500)=0.3 X 0.8+0.7 X 0.2=0.38.P (=3 000 ) =0.3 X 0.2=0.06./ E () =0+500X 0.38+3 000 X 0.06=370平均每天损失为37

23、0元.v 370 V 900，二按天气预报作防雨处理是正确的选择.15. ( 2008 湖北理，17)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4 ).现从袋中任取一球，表示所取球的标号.(1 )求的分布列、期望和方差；(2)若 =a +b,E () =1,D () =11,试求 a, b 的值.解 (1)的分布列为01234P诅11131E () =0X+1X +2 X +3 X +4X =1.5.2 20 10 20 5D ( ' ) =(0-1.5) 2 X 丄+(1-1.5)22 X 丄 +(2-1.5) 的可能值为0,1,2,3，且B

24、(3,-). 9 X 丄 +(3-1.5) 2 X A +(4-1.5)20 10 20=2.75.由 D () =a2D ( )又 E () =aE ( ') +b,得 a2X 2.75=11,即 a=± 2.所以当 a=2 时,由 1=2X 1.5+ b,得 b=-2.当 a=-2 时，由 1=-2 X 1.5+ b,得 b=4.卢=2,或卢=4即为所求.p =-2,=416. A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为2，服用B有效的概率为 丄.32(1) 求一个试验组为甲类组的概率；(2) 观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求&#