(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式习题理

1、§ 7.1 不等关系与不等式1 .两个实数大小的比较(1) a>b? a- b;(2) a=b? a-b；(3) avb? a-b.(4) 等式的性质(1)对称T: a>b? ;(2)传递性：a>b, b>c? ；(3)不等式加等量：a>b? a+c b+c;(4)不等式乘正量：a>b, c>0? ,不等式乘负量：a>b, c<0? ；(5)同向不等式相加：a>b, c>d? ; 异向不等式相减：a>b, c<d? ac>bd;(7)同向不等式相乘：a>b>0, c>d>0?

2、；派(8)异向不等式相除：a>b>0, 0<c<d? a>?;c d 不等式取倒数：a>b, ab>0?a b(10)不等式的乘方:a>b>0? ；(11)不等式的开方：a>b>0? .注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2. (7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等 式可相除.自查自纠1. > 0 =0 <02. (1) b<a (2) a>c (3)>(4) ac>bc ac<bc(5) a+c>b+

3、d ac>bd(10) an>bn(nC N且 n>2)(11) na>nb(nC N且 n>2)（2014 山东）已知实数x, y满足ax5 / 16<ay（0<a<1）,则下列关系式恒成立的是 （）A.17>17x2 + 1 y2 + 1B. ln( x2+ 1) >ln( y2+ 1)C. sin x>sin yD. x3>y3A, B中的不等解：根据指数函数的性质得x>y,此时x2, y2的大小不确定，故选项式不恒成立；根据三角函数的性质，选项 C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成

4、立.故选 D.（2015 烟台模拟）设a, be（8,0),贝U " a>b” 是 “ a1>b 1” 成立的()a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：a1 - b1 =（a-b） a b1+Ob>0,若 a>b,贝U(a- b)11十直0，111.aab成立；反4右（ab）择五0，则ab成立.故选（2015-上海）记方程：x2+a1x+1=0,方程：x2+a2x+2=0,方程：x2+a3x + 4=0,其中a1, a2, a3是正实数.当 日，a2, a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（）A.方程有

5、实根，且有实根B.方程有实根，且无实根C.方程无实根，且有实根D.方程无实根，且无实根解：当方程有实根，且无实根时，=4>0, A2=a2-8< 0? a2>4, a2<2a2a2a 82,A ,8,又 ai, d2, a3成等比数列，a2=a0,即 a3 = ,a2= =<-y=16,恰好满alal4足方程中判别式 A3 = a316<0,此时方程无实根.故选 B.已知 3=2-77, b =，+2g,则 a, b 的大小关系是a b .解：由于 a=2巾,b=，§+2姆，平方作差得 a2-b2= 28-14-8/3= 14-873 =8 ;-小

6、>0,从而a>b.故填.(2015 济南模拟)若 a>0>b>- a,a bc< d< 0,则下列结论： ad>bc； d) + < 0； ac>bd；a(dc) >b(d c)中成立的是(填序号).解：a>0> b, c< d< 0, 1- ad< 0, bc>0,ad< be,故错误.a>0>b>- a, a>- b> 0,c< d< 0,- c>- d>0, .a(-c)>(-b)( -d),ac+bd< 0, /.

7、 ?+ -=aC,bd< 0,故正确. d ccdc<d, - c>- d,a>b,a+ ( - c) > b+ ( - d), a-ob-d,故正确.a>b, d- c>0, a(d-c) >b(d- c),故正确.故填.类型一建立不等关系(2015 湖北)设xCR, x表示不超过x的最大整数.若存在实数数n的最大值是（）A. 3B. 4t ,使得t = 1, t2 =2,，tn = n,.序立,则正整C. 5D. 67/16解：因为x表示不超过x的最大整数.由t=1得1wt<2,由t2 =2得2wt2<3, 由t4=4 得 4&l

8、t;t4<5,所以 2<t2<5,由t3 = 3 得 3<t3<4,所以 6<t5<45,由t5 =5 得5<t5<6,与6W1<4季矛盾，故正整数 n的最大值是4.故选B.【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要” “必须” “不少于” “大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.本例x表示不超过 x的最大整数，故由x = k,可得k<x<k+1,再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n的最大值.用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为

9、前一次的1（kC Nj ,已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的k一，4铁钉长度是钉长的7,试从中提炼出一个不等式组.（钉帽厚度不计）4 _ ，一一 、解：假设钉长为1,第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为4-,此时进入木板部分的铁钉的总长度为4 + -,有7k7 7k 7 7k1;第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为此时应有=三，有7k27 7k 7k2/ 7k 7k2>1.所以可从中提炼出一个不等式组:4十4<17 7k4十4十幺小 77k7k2类型二不等式的性质c已知下列三个不等式ab>0；-abc

10、>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题?. 一、一 c d bc ad .一解：对变形a>b?>>°，由ab>0，bc>ad得成立？.bc ad一(2)若 ab>0,(3)若 bc>ad,ab >0,则 boad,？.bc ad _>0,则 ab>0, ？.ab综上所述可组成3个正确命题.12 / 16ac【点拨】运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较 与bc的大小关系应注意从 c>0, c=0, CV0三个方面讨论.(2014四川)若 a>b>0,

11、 c<d<0,则一定有（）a bA.->-7 c da bCy> 一 d ca bB. - v c da bD.< d c_,. 一 11 一一斛：由 cv dv 0? ：> >0,又 dca ba>b>0,故由不等式TOt得一>->0,所以a b , d< c故选D类型三不等式性质的应用一、民(1)若 1<a<3, 4<3 <2,则万3的取值范围是.1a 3a解：由1 V a V 3得2<万<2，由一 4V § <2得一2<- 3 <4,所以工(3的取值范3

12、 113 11围是一2，万.故填一2，万.一 1【点拨】需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由 -<-2-< 2和一4V B V 2两式相减来得到-y- 3的范围.此类题目用线性规划也可解.(2)已知一1va+ b<3且2vabv 4,则2a+3b的取值范围是解：设 2a+3b= x( a+b) + y(ab),x+y = 2,x-y = 3,解得1 y=2.5 51511- - 2< 2(a+ b) < , - 2<-2(a-b)<- 1.9 5113 2v 2(a+b) 2(ab)5,9139 13即2< 2a+3bv

13、?故填2,忍.【点拨】由于a+ b, ab的范围已知，所以要求 2a+3b的取值范围，只需将 2a+3b 用已知量a+b, ab表示出来，可设 2a+3b = x(a+b) + y(ab),用待定系数法求出 x, y,再利用同向不等式的可加性求解.一汽(1)若角 a ,3 满足-2< a < 3 <2-,则2 a 3的取值氾围是.兀兀兀兀兀兀兀一9，2".故填一:，"!斛：- 一 ,2<万，- -< a <, - -< <-2, -2< -,”一§<0, ，2a B= (a B)+ae(2)设 f(x)

14、=ax2+ bx,且 1wf( -1)<2, 2< f (1) < 4,则 f( -2)的取值范围为1<a-b<2, ®解法一：由已知2<a+b<4.f( 2) = 4a2b.设 4a 2b= n(a b) + n( a+ b)( m, n 为待定系数),即 4a 2b= (n) a (m- n) b,于是得n = 4, m- n = 2.解得m= 3, n= 1.由x 3+xi 得 5W4a 2b<10,即 5<f( -2)<10.a b= f ( 1), 解法二：由a+ b=f (1)1 a=2【f (1) +f ( 1

15、), 得1b=2【f(1)-f( 1). f( 2) =4a 2b=3f( 1)+f(1),后面同解法一 故填5, 10.类型四比较大小实数b > a > 0,实数 m> 0,比较a b.解法一：(作差比较)：a+ m a b (a+m) a (b + m)m(ba)b+ m b-b (b+m)-b (b+mj)'b>a>0, mr>0, .m (b a). a+ m ab (b + mj) > ' " b+m>b.解法二（作商比较）：< b>a> 0, mf> 0,，brm>am? ab

16、+ bm>ab+arm> 0,，喏吗1,即没.b>1?fa.故填. ab+am ' b+m a b+m b【点拨】本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质.作差（商）比较法的步骤是：作差（商）；变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；判断符号（判断商和“ 1”的大小关系）；作出结论.13 /1616 / 16（2015 福建月考）已知a, b, cCR,且 a2+b2=c2,当 n e N, n>2 时，比较 cn 与 an+bn 的大小，则 an + bn cn.+ n n n .2门+ bn an bn 222斛：b, MR '

17、 /.a, b, C>0,而c + c -a + Jc,P2=1, ,0区1, 0<b<1.当 cc cn C N, n>2 时,an a 2 bn b 2 cc ' ccan+bncnb n a2+b2_c < c2 1，an+ bn<cn.故填v .1 .理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不 等式的依据和基础.2 . 一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准 确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.3 .不等式性质包括“充分条件 （或者是必要条件）”和“充要条件”

18、两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础4利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向（ 异向 ） 不等式的两边可相加 （ 相减 ） ”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围5比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“ 1 ”的大小关系6对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数

19、的限制1. （2015 宁夏模拟）若a, b为实数，贝U " a>b>0”是“ a2>b2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由 a > b > 0 ?a2>b2,充分性成立；由a2>b2? |a|>| b|a>b>0,必要性不成立.，" a>b>0”是“ a2>b2”的充分不必要条件.故选 A2.已知 a, b为正数，awb, n为正整数,则 anb+abn-an+1-bn1的正负情况为（）A.恒为正B.恒为负C.与n的奇偶性有关D.与a, b的大

20、小有关解：anb+abn an+1-bn+1 = an（b-a） +bn（a b）=-（a-b）（ an-bn）,因为（ab）与（an bn）同号，所以anb + abn1bn+1<0恒成立.故选 B.3. （2015云南模拟）若a, b, cCR,且a>b,则下列不等式一定成立的是（）A. a+ob- cB. （a-b）c2>0C. ac>bcD.-Cr>0a b解：A项：当c<0时，不等式 a+c<bc可能成立；B项：a>b? a-b>0, c2>0,故（a -b）c2>0； C项：当 c= 0 时，ac= bc； D项：当

21、 c=0 时，-c2r=0.故选 B.a b4. （2014 湖南）已知命题 p：若 x>y,则一xvy；命题 q：若 x>y,贝U x2>y2.在 命题pA q；pV q；pA （税q）;（税p） Vq中，真命题是（）B.A.C.D.解：当x>y时，两边乘以一1可得一xv y,命题p为真命题；当 x=1, y= 2 时，显然x2vy2, .命题q为假命题，为真命题.故选 C5. ( 2014 浙江)已知函数 f (x) = x3+ax2+bx+c,且 0v f ( 1) = f ( 2) = f (3尸3,贝U ()A. c<3B. 3<c<6C.

22、6<c<9D. c>9解：由 f( 1) =f( 2) =f( 3)得，1 + ab+c= 8+4a2b+c= 27 + 9a3b3a- b=7,+ c,消去c得解得5ab=19,a= 6,b= 11,于是0<c-6<3,即 6vcw9.故选 C.6.如果0V m<bv a,则(A.b+mb mB.cosaq7m< cosa< cos cosb<cosb- m aa mb+m< cos a ma+mC.cos*a mcos-< cosab+ma+ mD.cos3a+ mb mcosa m< cos解:b+m b ab+ a

23、m作商比较：=>1, a+m a ab+bm所以>产b>o,同理, a+m a0V b- rr b< 1. 1 >b±m1>b>b_> 0.而 y=cosx 在 0,微 a+m a a m2b m . ，,cosa 也可取特殊值判断).故选A.上单调递减，所以a m cos a+ mcos-<a7. (2015江西模拟)设 a=lge, b=(lge) 2,c= lg ,，则 a,b, c的大小关系为19 /16(lge) 2<2 ige = ig qe,-1解：. e<7i0,lge <lg g = 2, e,

24、 . lg qe< lge ,即 c< a.故填 b< c< a.8 .若a<0, 1<b<0,则下列不等式成立的是 . 10g 0.5( a)<log 0.5( ab2)；(一a)2<( ab2)2；(a)1>( ab2)1；0.5 a>0.5 - ab2.解法一：对于，< a<0, 1 v b<0,可知一a>0, 0< b2v 1,，一 a>ab2>0,结 合对数函数的性质容易得到log 0.5( - a) < log 0.5( - ab2),成立；对于，由知 a>-ab

25、2>0,故(一a)2>( ab2)2,不成立；对于，由一 a>0 知，->-? 1 >? b2 a ab2 b2log 0.5( a) log 0.5( ab2)>1,与一1vb<0矛盾，不成立；对于，由知不成立.解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于，有=log 0.53v 0,从而正确，其余类似可解.故填 .b29 .设实数a, b, c满足 b+ c= 6 4a+ 3a2, c b= 4 4a+ a2.试确定a, b, c的大小关系.解：.1 c-b= (a-2)2>0, .,.Ob, 又 2b= 2+2a2,b= 1 + a2,2

26、1 2 3 .ba=aa+1= a_ 2 +4>。,b>a,从而 c>b>a.10.某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a人.(1)若a=10,在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元?(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.，1 000 + 30x*贝7= 800+ ax ( aCN,收"10).假设会超过1.5万元，则当a= 10时有1霁匕X&