MATLAB小波处理

1、第第7章章 小波小波 7.1 背景知识背景知识 7.2 快速小波变换快速小波变换 7.3 小波分解结构的运算小波分解结构的运算 7.4 快速小波反变换快速小波反变换 7.5 图像处理中的小波图像处理中的小波2基本思想基本思想： 将信号分解成一系列不同频率的连续正将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加。弦波的叠加。缺陷：缺陷：丢掉了时间信息丢掉了时间信息，无法根据变换结果，无法根据变换结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。判断一个特定的信号是在什么时候发生的。傅立叶变换傅立叶变换3典型的地震记录 4实际采集的地震信号实际采集的地震信号它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间

2、段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息5678What is wavelet 一种函数一种函数 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波比较正弦波 部分小波波形部分小波波形1112(6) 三种变换的比较三种变换的比较14(a) 二维图 考虑一个大小为考虑一个大小为M*N的图像的图像f(x,y)，其正向离散变换，其正向离散变换T(u,v,)可用一般的多项式关系表示为可用一般的多项式关系表示为 其中，其中，x,y是

3、空间变量，是空间变量，u,v,是变换域变量。若给定是变换域变量。若给定T(u,v,)，则，则f(x,y)可用一般的离散反变换：可用一般的离散反变换： 在这些方程中分别称为在这些方程中分别称为正变换核正变换核和和反变换核反变换核。他们决定了变换对的性质、计算复杂度和主要用途。变换他们决定了变换对的性质、计算复杂度和主要用途。变换系数系数T(u,v,)可看做是可看做是f关于关于hu,v的一系列展开系数。的一系列展开系数。, ,.,( , ,.)( , )( , )u vx yT u vf x y gx y, ,.,( , )( , ,.)( , )u vx yf x yT u vhx y, .,u

4、 vu vgh*2 (/),2 (/)2 (/)1( , )( , )0,1,.,1,0,1,.,1,( , )( )( )1( )1( )jux Mvy Nu vu vu vuvjux Mujuy Nvhx ygx yeMNuMvNu vhx yh x h yh xeMh xeN其中，。变换域的本别表示水平和垂直频率。变换核是可分的。因为其中，是正交的。 变换核的可分性简化了二维变换的计算，这样就可以变换核的可分性简化了二维变换的计算，这样就可以使用先行后列或先列后行的一维变换来实现二维变换使用先行后列或先列后行的一维变换来实现二维变换；正交性导致了正反变换和之间的复共轭关系。；正交性导致了

5、正反变换和之间的复共轭关系。 离散小波变换是指：不仅其中使用的变换核不同，而且这些离散小波变换是指：不仅其中使用的变换核不同，而且这些函数的基本特征和他们的应用方法也不同。函数的基本特征和他们的应用方法也不同。 在此利用变换核对或定义该核对的一组参数来表征每个在此利用变换核对或定义该核对的一组参数来表征每个DWT，无论哪种变换，变换的展开函数是变化频率和持续，无论哪种变换，变换的展开函数是变化频率和持续时间受限的小波。时间受限的小波。 小波核的特征：小波核的特征： 性质性质1 可分离性、尺度可变性、平移性，可分离性、尺度可变性、平移性， 核可用三个可分核可用三个可分的二维小波来表示：的二维小波

6、来表示：/ 2,/ 2,( ,)( ) ( )( ,)( )( )( ,)( )( )( ,)( ,)( ,),)( )2(2)( )2(2)HVDHVDjjj kjjj kx yxyx yxyx yxyx yx yx yx yxyxxyxxykx其中，和分别为水平、垂直和对角小波。一个二维可分的尺度函数是()= ( )每个二维函数是两个一维实平方可积的尺度和小波函数的乘积平移参数 决定了这些一维函数沿 轴的/ 22jjx位置，尺度 决定了他们的宽度，即它们沿着 轴有多宽多窄，而控制它们的高度或幅度。 性质性质2 多分辨率的一致性多分辨率的一致性 一维尺度函数满足多分辨率分析的如下需求：一维尺

7、度函数满足多分辨率分析的如下需求： a. 与其整数平移正交。与其整数平移正交。 b. 在低尺度或低分辨率下可表示为一系列在低尺度或低分辨率下可表示为一系列 的展开的展开的一组函数，包含在可以以更高尺度表示的函数中。的一组函数，包含在可以以更高尺度表示的函数中。 c. 唯一可以以任意尺度表示的函数是唯一可以以任意尺度表示的函数是f(x)=0 当当 时，可用任意精度来表示任何函数。时，可用任意精度来表示任何函数。j , j k, j k 性质性质3 正交性正交性 展开函数对于一组一维可测的、平方可积函数形成一展开函数对于一组一维可测的、平方可积函数形成一个正交基或双正交基。个正交基或双正交基。7.

8、2 快速小波变换快速小波变换( )( ) 2 (2)( )( ) 2 (2)Fnnxh nxnxhnxnhh和的展开系数分别为尺度和小波向量，他们是快速小波变换( WT)滤波器的系数。cAj+1cDj+1(h)cDj+1(v)cDj+1(d)cAj2 12 11 21 21 21 2Lo_DHi_DLo_DHi_DLo_DHi_D行列列下采样行下采样二维离散小波变换二维离散小波变换(1, )Wjm n 图中的符号图中的符号 表示频带降低表示频带降低1/2，HH表示频率最表示频率最高的子带，高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重表示频率最低的子带。这个过程可以重复，直到符合应用要求为止

9、。这样的滤波器组称为分复，直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分解滤波器树解滤波器树(decomposition filter trees)表示其相应的频谱 小波分解得到的图像小波分解得到的图像 27282930 连续小波变换（连续小波变换（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform， CWTCWT）用下式表示）用下式表示： (,)( ) (, )1( , )( ) (),(0)fRscale positionf tscale position t dttbWa bf tdt aaaC表示小波变换是表示小波变换是信号信号

10、f f( (x x) )与与被缩放和平移被缩放和平移的的小波函数小波函数()()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。之积在信号存在的整个期间里求和的结果。连续小波变换连续小波变换CWTCWT的的变换结果变换结果是许多是许多小波系数小波系数C C，这些系数是缩放因，这些系数是缩放因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函数。）的函数。 31 基本小波函数()的缩放和平移操作 (1) (1) 缩放缩放 就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小， 则小波越窄小波的缩放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)； scale 1f (t

11、)(2t)； scale 0.5f (t)(4t)； scale 0.2532(2) (2) 平移平移。小波的延迟或超前。在数学上小波的延迟或超前。在数学上, ,函数函数f f( (t t) )延延迟迟k k的表达式为的表达式为f f( (t-kt-k) )，小波的平移操作(a) 小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数(t-k) 基本小波函数()的缩放和平移操作33343536小波尺度和信号频率的关系小波尺度和信号频率的关系小尺度小尺度 信号的高频信号的高频大尺度大尺度 信号的低频信号的低频CWTCWT的变换过程图示的变换过程图示CWTCWT小结小结39 在在每个可能的缩放因子和平移参数下

12、计算小波每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数系数，其计算量相当大，将产生，其计算量相当大，将产生惊人的数据量惊人的数据量，而且，而且有有许多数据是无用许多数据是无用的。的。离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）如果如果缩放因子和平移参数都选择为缩放因子和平移参数都选择为2 2j j（j j00且为且为整数）的倍数整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，来进行计算， 就会使分析的就会使分析的数据量大大减少数据量大大减少。40使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（双尺度小波变换（

13、Dyadic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），它，它是是离散小波变换离散小波变换（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一种形式。）的一种形式。离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。 41 执行离散小波变换的执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器有效方法是使用滤波器， 该方法是该方法是MallatMallat于于19881988年提出的，称为年提出的，称为MallatMalla

14、t算法算法( (马马拉拉) )。这种方法实际上是一种信号分解的方法，。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数在数字信号处理中常称为字信号处理中常称为双通道子带编码双通道子带编码。离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。2_,L( )( , )( )( )1)()22xj kRj kjjx tDWTWj kx tt dtttk任意 (R)空间中的的为：其中（离散小波变换定义离散小波变换定义DWTDWT变换方法变换方法44一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的一个滤波器为低通滤波器，通过该滤

15、波器可得到信号的近似值近似值A A（ApproximationsApproximations）另一个为高通滤波器，另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的通过该滤波器可得到信号的细细节值节值D D（DetailDetail）。）。离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）45图图 多级信号分解示意图多级信号分解示意图（a a） 信号分解；信号分解； (b) (b) 小波分树；小波分树； （c c）小波分解树）小波分解树 三级小波包分解树三级小波包分解树 图表示的是一棵三级小波包分解树。小波包分图表示的是一棵三级小波包分解树。小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提解方法是小波分解

16、的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解树允许信号树允许信号S表示为表示为1 3 3 2SAAADDADDD降采样过程降采样过程 在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍。例如，如果原始到的数据将是原始数据的两倍。例如，如果原始信号的数据样本为信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个个，通过滤波之后每一个通道的数据均为通道的数据均为1000个，总共为个，总共为2000个。个。 根据尼奎斯特根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样采样定理就提出了

17、降采样(downsampling)的方法，即在每个通道中每两个的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用分别用cD和和cA表示表示48在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是得到的数据将是原始数据的两倍原始数据的两倍。 根据根据奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)采样定理就采样定理就提出了降采样的方提出了降采样的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数离散小

18、波变换的系数(coefficient)(coefficient)分别用分别用cDcD和和cAcA表示表示 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）户的需要户的需要小波分解树小波分解树小波包分解树小波包分解树 cAj+1cDj+1(h)cDj+1(v)cDj+1(d)cAj2 12 11 21 21 21 2Lo_DHi_DLo_DHi_DLo_DHi_D行列列下采样行下采样二维离散小波变换二维离散小波变换53 将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需要把要根据需要把信号恢复出来信号恢复出来，也就是利用信号的小波，也就是利用信号的小波分解的系数还

19、原出原始信号，这一过程称为分解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构小波重构（Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫做小波合成或叫做小波合成（Wavelet SynthesisWavelet Synthesis）。）。小波重构小波重构 这 一 合 成 过 程 的 数 学 运 算 叫 做这 一 合 成 过 程 的 数 学 运 算 叫 做 逆 离 散 小 波 变 换逆 离 散 小 波 变 换（Inverse Discrete Wavelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform， IDWT

20、IDWT）。）。 54小波重构算法示意图 SHLHL小波重构小波重构 55 (1) (1) 重构近似信号与细节信号重构近似信号与细节信号由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的的近似值近似值或或细节值细节值，这时只要近似系数或细节系数置，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。为零即可。 小波重构小波重构 56重构近似和细节信号示意（a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号 A1HL1000个 样 点0约 500个 0cA1约 500个 近 似 分

21、量(a)D1HL1000个 样 点(b)约 500个 0约 500个 近 似 分 量0cD1小波重构小波重构 57 (2)多层重构重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信号可用A1D1S重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构图: 小波重构小波重构 58重构过程为：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。A3D3A2D2SA1D1小波重构小波重构 59 信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出满意的原始信号。低通分解滤波器（否重构出满意的原始信号。低通分解滤波器（L）和高通分解滤波器（和高通分解滤波器（H）及重构滤波器组（）

22、及重构滤波器组（L和和H）构成一个系统，）构成一个系统， 这个系统称为正交镜像滤波这个系统称为正交镜像滤波器（器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系统。）系统。小波重构小波重构 60多层小波分解和重构示意图 小波重构小波重构 补充哈尔小波补充哈尔小波1. 哈尔函数哈尔函数 哈尔基函数哈尔基函数基函数是生成矢量空间基函数是生成矢量空间V j 而定义的一组线性无关的函而定义的一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号。也称尺度函数数，可以用来构造任意给定的信号。也称尺度函数(scaling function)，用符号，用符号V j 表示。表示。 哈尔小波函数哈尔小

23、波函数哈尔小波函数是生成矢量哈尔小波函数是生成矢量 的一组线性无关的函数的一组线性无关的函数 ，用，用符号符号W j表示。矢量空间表示。矢量空间W j中的小波可用来表示一个函中的小波可用来表示一个函数在矢量空间数在矢量空间 中不能表示的部分。中不能表示的部分。2. 哈尔变换原理哈尔变换原理 假设两个信号的数值分别为假设两个信号的数值分别为a和和b，计算它们的和，计算它们的和与差，与差， 从从s s和和d d重新获得重新获得a a和和b b，哈尔变换举例哈尔变换举例【例例】假设有一幅分辨率只有假设有一幅分辨率只有4 4个像素个像素 的一维图像，对的一维图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别

24、为：应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为： 9 7 3 59 7 3 5计算它的哈尔小波变换系数计算它的哈尔小波变换系数 步骤步骤1 1：求均值：求均值(averaging)(averaging)。计算相邻像素对的平均。计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变成了变成了2 2个，即新的图像的分辨率是原来的个，即新的图像的分辨率是原来的1/21/2，相应，相应的像素值为：的像素值为：8 48 4 步骤步骤2 2：求差值：求差值(differencing)(differencing)用用2 2个像素表示这幅图像时，图像的信

25、息已经部分丢失个像素表示这幅图像时，图像的信息已经部分丢失。为了能够从由。为了能够从由2 2个像素组成的图像重构出由个像素组成的图像重构出由4 4个像素个像素组成的原始图像，就需要存储一些图像的细节系数组成的原始图像，就需要存储一些图像的细节系数(detail coefficient)(detail coefficient)，以便在重构时找回丢失的信，以便在重构时找回丢失的信息。原始图像可用下面的两个平均值和两个细节系数息。原始图像可用下面的两个平均值和两个细节系数表示，表示，8 4 1 -18 4 1 -1 步骤步骤3 3：重复步骤：重复步骤1 1和和2 2把由第一步分解得到的图像进一步分解

26、成分辨率更低把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。在这个例子中，分解到最后，就的图像和细节系数。在这个例子中，分解到最后，就用一个像素的平均值用一个像素的平均值6 6和三个细节系数和三个细节系数2,12,1和和1 1表示整表示整幅图像：幅图像：6 2 1 -16 2 1 -1哈尔变换过程分辨率 平均值 细节系数4 9 7 3 528 4 1 -11 6 2 把由把由4像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个细节系数表示细节系数表示 这个过程就叫做哈尔小波变换这个过程就叫做哈尔小波变换(Haar wavelet transform

27、)，也称哈尔小波分解，也称哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition) 这个概念可以推广到使用其他小波基的变换这个概念可以推广到使用其他小波基的变换3. 哈尔变换的特性哈尔变换的特性 从这个例子中我们可以看到：从这个例子中我们可以看到： 变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中重构出原始图像。中重构出原始图像。 对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中重构对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为1的图像基的图像基础上重构出分辨率为础上重构

28、出分辨率为2的图像，在分辨率为的图像，在分辨率为2的图像基的图像基础上重构出分辨率为础上重构出分辨率为4的图像的图像 通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小，这就通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小，这就为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一些微不足为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一些微不足道的细节系数并不影响对重构图像的理解道的细节系数并不影响对重构图像的理解4. 一维哈尔小波变换一维哈尔小波变换 求均值和差值的过程实际上就是一维小波变换的过程求均值和差值的过程实际上就是一维小波变换的过程，现在用数学方法重新描述小波变换的过程，现在用数学方法重新描述小波变换的过程(1) 哈尔基函数

29、哈尔基函数 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号定的信号, 如用基函数的加权和表示。定义了基和矢量如用基函数的加权和表示。定义了基和矢量空间，就可以把由空间，就可以把由2j 个像素组成的一维图像看成为矢个像素组成的一维图像看成为矢量空间量空间 中的一个矢量。中的一个矢量。 最简单的基函数是哈尔基函数最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)。哈尔基函数在哈尔基函数在1909年提出，它是由一组分段常值函数年提出，它是由一组分段常值函数(piecewise-constant function)组成的函数集。这

30、个函数组成的函数集。这个函数集定义在半开区间集定义在半开区间 上，每一个分段常值函数的数值在上，每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是一个小范围里是“1”，其他地方为，其他地方为“0” 以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数。基函数。 这4个常值函数就是构成矢量空间V 2的基 20( )x21( ) x22( ) x23( )x20( )x21( ) x22( ) x23( )x012322221,01/41,1/41/2( )( )0,0,1,1/23/41,3/41( )( )0,0,xxxxxxxx其他其他其他其他20( )x

31、21( )x22( )x23( )x哈尔基函数哈尔基函数(续续1)哈尔基函数哈尔基函数(续续2) 为了表示矢量空间中的矢量，每一个矢量空间V j 都需要定义一个基(basis) 为生成矢量空间 而定义的基函数也叫做尺度函数(scaling function)，这种函数通常用符号 表示。 哈尔基函数定义为( )jix101( )0 xx其他哈尔基函数哈尔基函数(续续3) 哈尔基尺度函数 定义为 ( )jix( )(2),0,1,(21) jjjixxii其中，j 为尺度因子，改变j 使函数图形缩小或者放大；i为平移参数，改变i使函数沿轴方向平移。 空间矢量V j定义为( )0,21jjjiVsp

32、xi其中，表示线性生成(linear span) (2) 哈尔小波函数哈尔小波函数 小波函数通常用 表示。与框函数相对应的小波称为基本哈尔小波函数(Haar wavelet functions)，并由下式定义， 哈尔小波尺度函数 定义为，( )ijx101/2( )11/210 xxx 当当其他( )ijx( )(2),0,(21) ijjjxxii哈尔小波函数哈尔小波函数(续续1) 用小波函数构成的矢量空间用W j表示为， 根据哈尔小波函数的定义，可以写出生成，W 0,W 1和W 2 等矢量空间的小波函数 ( )0,1,21jjjiWspxi 其中，SP表示线性生成；j为尺度因子，改变j 使

33、函数图形缩小或者放大；i为平移参数，改变i 使函数沿轴方向平移哈尔小波函数哈尔小波函数(续续2) 生成矢量空间W 2 的哈尔小波： 22012223101/812/83/8( )1 1/82/8( )13/84/80014/85/816/87/8( )15/86/8( )17/8100 xxxxxxxxxxxx 其他其他其他其他哈尔小波函数哈尔小波函数(续续3) 生成矢量空间W 2 的哈尔小波 (3) 哈尔小波变换过程哈尔小波变换过程 (1) 用V2 中的哈尔基表示 图像9 7 3 5有2j =22=4个像素，因此可以用生成矢量空间中的框基函数的线性组合表示， 2222222200112233

34、( )( )( )( )( )I xcxcxcxcx 其中的系数 是4个正交的像素值9 7 3 5，因此， 22220123,c c cc和22220123( )9( )7( )3( )5( ) I xxxxx哈尔小波变换过程哈尔小波变换过程(续续1)图I(x)用V2中的哈尔基表示 用V 0, W 0和W1中的函数表示图像生成矢量空间V 0的基函数为 ，生成矢量空间W 0的小波函数为 ，生成矢量空间W1的小波函数为 和 ，根据哈尔小波变换过程哈尔小波变换过程(续续2) I(x)可表示成00( ) x00( )x10( )x11( ) x2001VVWW0000111100000011( )(

35、)( )( )( )I xcxdxdxdx其中，4个系数 ， ， 和 就是原始图像通过哈尔小波变换所得到的系数，用来表示整幅图像的平均值和不同分辨率下的细节系数。4个函数 , , 和 就是构成空间V2的基。 哈尔小波变换过程哈尔小波变换过程(续续3) 用图表示为00c00d10d11d00( )x00( )x10( ) x11( ) x 一幅图像是一个二维的数据阵列，进行小波变换时可一幅图像是一个二维的数据阵列，进行小波变换时可以对阵列的每一行进行变换，然后对行变换之后的阵以对阵列的每一行进行变换，然后对行变换之后的阵列的每一列进行变换，最后对经过变换之后的图像数列的每一列进行变换，最后对经过

36、变换之后的图像数据阵列进行编码据阵列进行编码 1. 求均值与求差值求均值与求差值使用求均值和求差值的方法，对矩阵的每一行进行使用求均值和求差值的方法，对矩阵的每一行进行计算计算 3. 使用线性代数使用线性代数由于图像可用矩阵表示，使用由于图像可用矩阵表示，使用N个矩阵个矩阵M1, M2，和和MN 同样可以对图像矩阵进行求平均值和求差值。同样可以对图像矩阵进行求平均值和求差值。这这N个矩阵分别是第一、第二和第个矩阵分别是第一、第二和第N次分解图像时次分解图像时所构成的矩阵所构成的矩阵5. 二维哈尔小波变换二维哈尔小波变换二维哈尔小波变换二维哈尔小波变换(续续1) 用小波对图像进行变换有两种方法，一种