二次函数与几何综合

1、精品资料欢迎下载二次函数与几何综合知识难度讲次标题课程内容等级章节星级模块一：等腰三角形的存在性模块二：直角三角形的存在性模块三：平行四边形的存在性模块四：特殊平行四边形的存在性模块五：全等三角形的存在性初三秋季代几综合初中3 级模块六：相似三角形的存在性模块七：二次函数与线段模块八：二次函数与角模块九：二次函数与圆模块十：二次函数与面积模块一等腰三角形的存在性精品资料欢迎下载解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要分类讨论，做题的画法是：两圆一线。等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或在以A，B 为圆心， AB长为半径的圆上（不与 AB共线）。解题策略

2、：（ 1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算。（利用锐角三角形函数、相似三角形等知识解决）（ 2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验。【例题1】在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C 分别在y 轴、 x轴正半轴上，点P在 AB 上， PA=1， AO=2 经过原点的抛物线y=mx 2 x+n 的对称轴是直线x=2（ 1）求出该抛物线的解析式（ 2）如图 1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P 点处，两直角边恰好分别经过点和 C现在利用图2 进行如下探究：将三角板从图1 中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，两直角边分别交OA 、OC 于点 E、

3、F，当点和点 A 重合时停止旋转请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说OE明理由；若不发生变化，求出的值设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为D ，顶点为M，在的旋转过程中，是否存在点F，使 DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由精品资料欢迎下载【例题 2】已知，如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（ 2，0），点 B 坐标为（ 0，2），点 E为线段 AB 上的动点（点E 不与点 A ，B 重合），以E 为顶点作 OET=45° ，射线 ET 交线段 0B 于点 F， C 为 y 轴正半轴上一点，且OC=AB ，抛物线y= x2+mx+n 的图象经过A

4、， C 两点（ 1）求此抛物线的函数表达式；（ 2）求证： BEF= AOE ；（ 3）当 EOF 为等腰三角形时，求此时点E 的坐标；精品资料欢迎下载（ 4）在（ 3）的条件下，当直线EF 交x 轴于点D， P 为（ 1）中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点 G，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P，使得EPF 的面积是EDG面积的（ 2+1）倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由精品资料欢迎下载模块二直角三角形的存在性解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论。以线段 AB为边的直角三角形构造方法如图：AB解题策略：（ 1）几何

5、法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算。精品资料欢迎下载（ 2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验。精品资料欢迎下载【例题】在平面直角坐标系中，现将一块含30°的直角三角板ABC放在第二象限，30°角所对的直角边AC斜靠在两坐标轴上，且点A （ 0， 3），点C（， 0），如图所示，抛物线y=ax 2+3ax 3a（ a0）经过点B（ 1）写出点 B 的坐标与抛物线的解析式；（ 2）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的含 30°角的直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；

6、（ 3）设过点 B 的直线与交x 轴的负半轴于点D，交 y 轴的正半轴于点E，求 DOE 面积的最小值精品资料欢迎下载模块三平行四边形的存在性解平行四边形的存在性问题，一般有两个类型：（ 1）“三个定点，一个动点” 作平行线： 以已知三个定点为三角形的顶点， 过每个点画对边的平行线， 三条直线两两相交，产生 3 个交点 倍长中线 中点坐标公式（ 2）“两个定点，两个动点” 作平行线：把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况 中点坐标公式【例题】已知抛物线y= mx 2+4x+2m 与 x 轴交于点 A （ ， 0）， B （，0），且=2，精品资料欢迎下载（ 1）求抛物线的解析式（ 2）抛物

7、线的对称轴为 l，与 y 轴的交点为上的点 M ， y 轴上的点 N，使四边形 DNME 并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由C，顶点为 D ，点 C 关于 l 的对称点为E，是否存在x 轴的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），（ 3）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标模块四特殊平行四边形的存在性在三角形或者平行四边形的基础上增加一些条件则可以得到特殊平行四边形： 矩形的存在性：转化为直角三角形的存在性； 菱形、正方形的存在性：转化为等腰三角形、平行四边形的存在性。精品资料欢迎下载【例题 1】如图，抛

8、物线 y= x2+bx+c 经过 A （ 1，0）， B（ 3， 0）两点，且与y 轴交于点 C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E，连接 BD （ 1）求经过 A ， B， C 三点的抛物线的函数表达式；（ 2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点P 作 PFx 轴于点 F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点， N为直线 PF 上一动点，当以F、 M 、 N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标精品资料欢迎下载【例题 2】如图，在矩形 OABC 中， OA=5 ， AB=4 ，

9、点 D 为边 AB 上一点，将 BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处，分别以 OC， OA 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系（ 1）求 OE 的长及经过O， D， C 三点抛物线的解析式；（ 2）一动点 P 从点 C 出发，沿CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点B 运动，同时动点Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时， DP=DQ ；（ 3）若点 N 在（ 1）中抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点

10、 N，使N， C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由M ，精品资料欢迎下载模块五全等三角形的存在性全等三角形的存在性问题的解题策略：（ 1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解。（ 2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一角和一条边对应相等。【例题 1】如图，在平面直

11、角坐标系中，抛物线y=ax2+bx +4 与 x 轴的一个交点为A（ 2，0），与 y轴的交点为C，对称轴是x=3 ，对称轴与x 轴交于点B（ 1）求抛物线的函数表达式；精品资料欢迎下载（ 2）若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点P，使得PBD PBC？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【例题 2】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A （BC 与抛物线的对称轴相交于D 该抛物线的顶点为， 0）、 B （ 3 ， 0）、 C（0， 3）三点，线段P，连接 PA、AD 、 DP，线段 AD 与 y 轴相交于点 E（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在平面直角坐标系中

12、是否存在点 Q，使以 Q、 C、 D 为顶点的三角形与 ADP 全等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）将 CED 绕点 E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点 M ，边 ED 旋转后与对称轴相交于点 N ，连接 PM、DN ，若 PM=2DN ，求点 N 的坐标（直接写出结果）精品资料欢迎下载模块六相似三角形的存在性精品资料欢迎下载相似的基本模型1、A 字型2、反 A 字型3、 “ 8字”型4、反 “ 8字”型5、双垂直6、一线三等角【例题 1】如图，已知抛物线y=ax2+bx +c（ a 0）经过 A （ 1， 0）， B （4， 0）， C（ 0，2）三

13、点（ 1）求这条抛物线的解析式；（ 2）E 为抛物线上一动点，是否存在点 E，使以 A 、 B 、E 为顶点的三角形与 COB 相似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）若将直线BC 平移，使其经过点A ，且与抛物线相交于点D，连接 BD ，试求出 BDA 的度数精品资料欢迎下载模块七二次函数与线段常见的有三类问题：1、距离问题（ 1）点到直线的距离：可先求三角形的面积，则一边上的高就是点到直线的距离（ 2）点到点的距离问题：两点间距离公式2、线段定值问题（ 1）单独的线段定值：线段的定值可以看成点到点的定值。（ 2）多个线段加、减、乘、除组合定值：两点间距离公式三角形

14、全等或相似3、线段垂直问题（ 1）代数法：证明线段垂直，则所在直线斜率乘积为-1 ；（ 2）几何法：根据几何图形的性质证明，例如：等腰三角形三线合一，菱形对角线相互垂直等。利用相似或全等的性质，将等角转移，从而得到90°。精品资料欢迎下载【例题 1】如图，抛物线 y=ax2+c（ a0）经过 C（ 2，0），D（ 0， 1）两点，并与直线 y=kx 交于 A、 B 两点，直线 l 过点 E（0， 2）且平行于 x 轴，过 A 、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点M 、 N（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）求证： AO=AM ；（ 3）探究：当 k=0 时，直线y=kx 与

15、 x 轴重合，求出此时的值；试说明无论k 取何值，的值都等于同一个常数模块八二次函数与角1、特殊角问题（ 1）运用三角函数值（ 2）遇 45°构造等腰直角三角形；精品资料欢迎下载（ 3）遇 30°， 60°构造等边三角形；（ 4）遇 90°构造直角三角形。2、角的数量关系问题（ 1）证等角：常运用等边对等角、等角的余（补）角相等、全等三角形、相似三角形及两角的三角函数值相等，等等。（ 2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；（ 3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角。【例题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与 y 轴交于

16、点C，与 x 轴交于 A ， B两点，点B 的坐标为（ 3， 0），直线y= x+3 恰好经过B， C 两点（ 1）写出点C 的坐标；（ 2）求出抛物线y=x 2+bx+c 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A 的坐标；（ 3）点 P 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D 且 APD= ACB ，求点 P 的坐标精品资料欢迎下载模块九二次函数与圆直线与圆的位置关系的解题策略：（ 1）利用圆的切线性质“圆心到直线的距离等于半径”解决问题；（ 2）联立直线方程和抛物线方程构成方程组，通过解方程组解决问题；（ 3）利用勾股定理或其逆定理，建立未知量的方程解决问题；（ 4）构造相似三角形，列比例式。【例

17、题】 如图，已知抛物线y=a（x 1）2与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在左边） ，且过点 D（5， 3），顶点为 M ，直线 MD 交 x 轴于点 F（ 1）求 a 的值；（ 2）以 AB 为直径画 P，问：点 D 在 P 上吗？为什么？（ 3）直线 MD 与 P 存在怎样的位置关系？请说明理由精品资料欢迎下载模块十二次函数与面积1、割补法：2、等积变换法3、铅锤法4、等比转化法：精品资料欢迎下载三角形相似或同底（等底）或同高（等高）2【例题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax +bx 3（ a0）与 x 轴交于点A （ 2， 0）、 B（ 4， 0）两点，与 y 轴交于点 C

18、（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 P 从 A 点出发，在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从 B 点出发，在线段BC 上以每秒1 个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当 PBQ 存在时，求运动多少秒使PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（ 3）当 PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使 SCBK ：SPBQ=5： 2，求 K 点坐标精品资料欢迎下载【作业 1】如图，抛物线2C1： y=x +bx+c 经过原点，与 x 轴的另一个交点为（ 2， 0），将抛物线 C1向右平移 m（ m 0）个单位得到抛物线C2， C2 交 x 轴于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y轴于点 C（ 1）求抛物线 C1 的解析式及顶点坐标；（ 2）以 AC 为斜边向上作等腰