理论力学3—平面任意力系

1、本章主要内容4.2 4.2 平面任意力系的简化及简化结果讨论平面任意力系的简化及简化结果讨论4.3 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程4.4 4.4 物体系统的平衡物体系统的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题4.5 4.5 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算4.1 4.1 力线平移定理力线平移定理 定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。4.1 力线平移定理ABMABFFFFABF力线平移定理揭示了力与力偶

2、的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 说明说明：力线平移的条件是附加一个力偶力线平移的条件是附加一个力偶m，且，且m与与d有关，有关，m=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。OxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR4.2 4.2 平面任意力系的简化及简化结果讨论平面任意力系的简化及简化结果讨论1122nn FFFFFF1122()()()OOnOnMMMMMMFFF一、平面任意力系向一点简化一、平面任意力系向一点简化平面汇交力系力，FR(主矢，作用在简化中心)平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)

3、平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为RiiFFF)(iOiOFMMM1) 主矢22()()RxyFFF cos(, )cos(, )xRRyRRFFFFFiFj 平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。 平面任意力系中各力对简化中心力矩的代数和称为该力系对简化中心的主矩。结论:()()OoiiiyiixMMFx Fy F 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心

4、的位置一般有关。2) 主矩 一般来说，主矩与简化中心的位置有关。AAA 一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。平面固定端约束AMAFAyFAxFAMA固定端约束在工程中常见的固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束雨搭(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形二、二、 平面任意力系简化结果的讨论及合力矩定理平面任意力系简化结果的讨论及合力矩定理 FR0，MO0若简化中心为若简化中心为O1点，如何点，如何?()OOMM F(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。1）FR 0，MO 0平面力系简化为一合力。如图OOFR

5、dFRFRFRMOFROOdOOORMdF2）FR 0，MO0()ORROMF dMF()OOiMM F结论：FRdOO从图中可以看出所以由主矩的定义知：()()OROiMM FF(3)平面任意力系平衡的情形FR0，MO0 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。思考题思考题 1关于平面力系的主矢与主矩，下列的表述中正确的是：关于平面力系的主矢与主矩，下列的表述中正确的是： (1) 主矢的大小、方向与简化中心的选择无关。主矢的大小、方向与简化中心的选择无关。(2) 主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关。主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关。(3) 当平

6、面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化当平面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化的结果为一合力。的结果为一合力。(4) 当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任何一点简当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任何一点简化的结果均不可能为一合力。化的结果均不可能为一合力。 答案答案（1） 思考题思考题2 一个平面任意力系向一个平面任意力系向A点简化后得到如图所示的主矢和主矩，点简化后得到如图所示的主矢和主矩，该力系的最后合成结果应是：该力系的最后合成结果应是： 。A：作用在点：作用在点A左边的一个合力；左边的一个合力；B：作用在点：作用在点A右边的一个合力；右边的一个合力；C：

7、作用在点：作用在点A的一个合力；的一个合力；D：一个合力偶；：一个合力偶；答案答案（A） RMA思考题思考题3 楔形块楔形块A、B的自重不计，并在光滑的、平面相接触。的自重不计，并在光滑的、平面相接触。若其上分别作用有大小相等、方向相反，作用线共线的二若其上分别作用有大小相等、方向相反，作用线共线的二个力个力P，则此二刚体的平衡情况是，则此二刚体的平衡情况是 。A：二物体都不平衡；：二物体都不平衡；B：二物体都能平衡；：二物体都能平衡；C：A平衡、平衡、B不平衡；不平衡；D：B平衡、平衡、A不平衡；不平衡； 答案答案（A） PPmm6341P2P3PABC 例例 图示力系，已知：P1=100N

8、, P2=50N, P3=200N,图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ 2、力系简化最后结果。解：1、计算主矢、主矩(1) 建立坐标系xy(2)Fx=P3 =200N主矢NFFFyxR250150200)()(22228 . 0250200),cos(cosRXxR =36.9R cmN3006506)(2PFMMiAAN15021PPFy1P2P3PABCxyRcmN300AM2、简化最终结果cm2 . 1250300RMhAmARh主矢NR250 主矩最终结果合力大小：NRR250 方向: =36.9位置图示：方向： =36.9已知：已知：1450,P kN2200,P

9、kN1300,F kN270;F kN求：求： 力系的合力力系的合力,RF合力与合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x，合力作用线方程。合力作用线方程。解：解：1 1、向、向O O点简化求主矢和主矩。点简化求主矢和主矩。12cos232.9RxixFFFFkNRF大小大小22709.4RixiyFFFkNRF的方向余弦的方向余弦cos,0.3283ixRRFF iFcos,0.9446iyRRFFjF 主矩主矩 11231.53.92355ooMMFFPP kN m12sin670.1RyiyFFPPF kN7 .16tanarcACAB（2）求合力及其作用线位置。）求合力及其作用线位

10、置。2 3 5 53 .3 1 9 77 0 9 .4oRMdFm（3）求合力作用线方程）求合力作用线方程ooRRyRxRyRxMMFx Fy Fx Fy F即即2355670.1232.9xy有：有：607.1232.923550 xym51438470sin.dx例例已知平面任意力系如图， ， ， 求力系向O点简化结果， 合力的大小和作用线方程NF21001NF1002NF503xy(1,2)(2,-1)(3, 1)F1F2F3解解1 1、力系向、力系向O O点简化的结果为点简化的结果为NjiR50200主矢mN300oM主矩NFR175050200222 2、合力大小为、合力大小为R合力

11、作用线方程合力作用线方程xyRO-yRxRFM64-yxN5050-0100yFN2000100100 xFNm300-100-100-100-)F(Mo例例求：求：解：解：qlxqqlxqlxPl21d0由合力矩定理由合力矩定理xqlxxxqhPlldd020 得得lh32已知：已知：q,l；合力及合力作用线位置。合力及合力作用线位置。取微元如图取微元如图F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060例题例题 在长方形平板的在长方形平板的O O、A A、B B、C C 点上分别作用着有点上分别作用着有四个力：四个力：F

12、F1 1=1kN=1kN，F F2 2=2kN=2kN，F F3 3= =F F4 4=3kN=3kN（如图），试求（如图），试求以上四个力构成的力系对点以上四个力构成的力系对点O O 的简化结果，以及该力的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。系的最后的合成结果。解：取坐标系解：取坐标系Oxy。1 1、求向、求向O O点简化结果：点简化结果：求主矢求主矢R ：598030cos60cos432.FFFFRxx768. 0213232130sin60sin421FFFFRyy7940 22.RRRyx 求主矩求主矩： FoOmM5 . 030sin3260cos2432FFF（2 2）求合成结

13、果：其作用线）求合成结果：其作用线与与O O点的垂直距离为：点的垂直距离为：0.51moMdRM Mo oF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060614. 0 cosRRxx、Rx652 , R789. 0 cosRRyy、Ry5437 , RR R O OA AB BC C x xy yR Rd d00ROM F22()()()RxyOOiFFFMM F1、 平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程22

14、()() ,()RxyOOiFFFMM F2 平衡方程即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。 00()0 xiyiOiFFMF由于所以解：以刚架为研究对象，受力如图。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMAAxFqbAyFP221qbPaMA例 求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA例 求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。0:cos0 xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABM

15、F aPabmFcosAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPabmABCPmFBFAyFAx例例已知：已知：AC=CB=l,P=10kN;求：求：铰链铰链A和和DC杆受力。杆受力。（用平面任意力系方法求解）（用平面任意力系方法求解）解：解：取取AB梁，画受力图。梁，画受力图。 0 xF 0yF0cos450AxcFF0sin450AycFFF0AM0cos4520cFlFl ,20kNAxF,28.28kNCFkN10AyF例例已知：已知：110,P kN240,P kN尺寸如图；尺寸如图；求：求：轴承轴承A、B处的约束力。处的约束力。解：解： 取起重机，画受力图。

16、取起重机，画受力图。 0 xF 0yF0AM0AxBFF120AyFPP125 1.53.50BFPP 50AyFkN31BF kN31AxFkN例例已知：已知：, , ,;P q a Mpa求：求：支座支座A、B处的约束力。处的约束力。解：取解：取AB梁，画受力图。梁，画受力图。 0 xF0AM 0yF0AxF4220BFaMPaqa a3142BFPqa20AyBFqaPF 342AyPFqa例例 已知：已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1 ;l m求：求：固定端固定端A处约束力。处约束力。解：解： 取取T型刚架，画受力图。型刚架，画受力图。其中其中1

17、13302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF316.4AxFkN060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。3、平衡方程的其它形式(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中A、B、C三点不能在同一条直线上。注意：注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。例 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角30，质量不计，载荷Q7

18、.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。解：取横梁AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xF()0AMF0yF1()13.2 kNsin2TlFPQalcos11.43kNAxTFFsin2.1kNAyTFQPFsin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程组合是：一矩式

19、：1,2,3；1,2,4；1,2,5；二矩式： 1,3,4；2,4,5 ；三矩式： 3,4,5 力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。Oxy选如图的坐标，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB连线不能与各力的作用线平行。F2F1F3Fn4、平面平行力系的平衡方程例 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？0)(FMB(6 2)2(12

20、2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制条件：限制条件：解：解： 首先考虑满载时，起重首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的机不向右翻倒的Q：空载时，空载时，0)(FMA0) 22(2) 26(BNPQ限制条件为：限制条件为：0BN解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得解得: :0W04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FMA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求当求当Q=180kN，满载，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程

21、可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得：由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。4.4 物体系的平衡静定和超静定问题外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。静定问题：在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。超静定问题：若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体

22、静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问。静不定次数：总未知量数与总独立平衡方程数之差。 静不定问题在强度力学静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移谐调条件来求解谐调条件来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）PPPPFPFPF判断各图的超静定次数判断各图的超静定次数例求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq

23、1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBqCDCBAD例 求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF再以AC为研究对象，受力如图。()0:0CAxAyMF aF aF1142AxAyFFqaFFAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF再以整体为研究对象，受力如图。FAxFAyqCBAFFBxFBy1124BxFFqa 0BxAxFFF例 求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研

24、究对象，受力如图。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分为研究对象，受力如图。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF21()02ABMF abqaF a ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx例 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1) 取BC分析()0:0BCyMMFl F2 kNCyM

25、Fl 求得结果为负说明与假设方向相反。(2) 取CD分析FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxFF 求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3) 取AB、BC分析10:02xCxAxFFFql11( 4)3 21kN22AxCxFFql 0:0yAyCyFFF( 2)2 kNAyCyFF ()0:11023AACyCxMMMqllFlFl F6 kN mAM 求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2 Mq0ABEDax1234EACBD例 编号为1、2、3

26、、4的四根杆件组成平面结构，其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。F解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究对象。FNBABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整体为研究对象，受力如图。FNBxNDFxFbN()0:0ABM

27、F bFxF取水平杆2为研究对象，受力如图。NBFxFb代入（a）式得1AFF FA1为负值，说明杆1受压，且与x无关。FFNDFCyFCxa1234EACBDbABCD例 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。()0:BMFsin450(1)22AyTllF lWF再以整体为研究对象，受力如图。0:yF30(2)AyDyFFWABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy最后以DC为研究对象，受力如图。0(3)2DylF lW联立求解(1)

28、、(2)、(3)得：42TFW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyWABCDsin450(1)22AyTllF lWF30(2)AyDyFFW解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xFFCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0(5)DxCxFFABCDFCxFCyDCFDxFDyW联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。最后以整体为研究对象，受力如图。20(6)2DxlF lWWl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFl

29、F 再以DC为研究对象，受力如图。0 xF()0:BMF0(5)DxCxFF练习练习已知已知: :F F=20kN,=20kN,q q=10kN/m,=10kN/m,20mkNML L=1m;=1m;求求: :A,BA,B处的约束力处的约束力. .解解: :取取CDCD梁梁, ,画受力图画受力图. . 0cM0230cos260sin00lFlqllFB解得解得 F FB B=45.77kN=45.77kN解得解得kN89.32AxF 0iyF030cos260sin00FqlFFBAy解得解得kN32. 2AyF 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBA解得解得kN37

30、.10AM取整体取整体, ,画受力图画受力图. . 0ixF030sin60cos00FFFBAx练习练习已知已知: :DC=CE=CA=CB=2l,DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,R=2r=l,450P P, ,各构件自重不计。各构件自重不计。求求: :A,EA,E支座处约束力及支座处约束力及BDBD杆受力。杆受力。解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0EM02522lPlFA解得解得PFA825 0ixF045cos0AExFF解得解得PFEx85 0iyF045sin0AEyFPF解得解得PFEy813取取DCEDCE杆杆, ,画受力图画受力图. . 0CM解得

31、解得PFDB82302245cos0lFlFlFExKDB练习练习已知：已知：P , aP , a , ,各杆重不计；各杆重不计；求：求：B B 铰处约束反力。铰处约束反力。解：解：取整体，画受力图取整体，画受力图0CM20ByFa解得解得0ByF取取ADBADB杆，画受力图杆，画受力图取取DEFDEF杆，画受力图杆，画受力图0DMsin4520EFaFa得得sin452EFF0ixFcos450EDxFF得得cos452DxEFFFBMo20DxFaFa得得2DxFF对对ADBADB杆受力图杆受力图0AM20BxDxFaFa得得BxFF 或者或者练习练习已知：已知： q ,a ,Mq ,a

32、,M , ,2,Mqa且P P作用于销钉作用于销钉B B上；上；求：求：固定端固定端A A处的约束力和销钉处的约束力和销钉B B对对BCBC杆杆, ,ABAB杆的作用力。杆的作用力。解：解： 取取CDCD杆，画受力图。杆，画受力图。0DM02CxaFaqa得得12CxFqa取取BCBC杆（不含销钉杆（不含销钉B B) )，画受力图。，画受力图。0ixF0BCxCxFF解得解得12BCxFqa0CM0BCyMFa解得解得BCyFqa取销钉取销钉B B，画受力图。，画受力图。0ixF0ABxBCxFF解得解得12ABxFqa则则12ABxFqa 0iyF0AByBCyFFP解得解得AByFPqa则

33、则()AByFPqa 取取ABAB杆（不含销钉杆（不含销钉B B），画受力图。），画受力图。0ixF1302AxABxFqaF 解得解得AxFqa 0iyF0AyAByFF解得解得AyFPqa0AM31302AABxaAByMqa aFFa 解得解得()AMPqa a例例已知：已知：P P=10kN ,=10kN ,a a , ,杆，轮重不计；杆，轮重不计；求：求：A ,CA ,C支座处约束力。支座处约束力。解：解：取整体，受力图能否这样画？取整体，受力图能否这样画？取整体，画受力图。取整体，画受力图。0AM48.50AxTaFaPF a解得解得20AxF kN0AxCxFF20CxFkN解得

34、解得对整体受力图对整体受力图0iyF0AyCyTFFFP解得解得10AyF kN取取BDCBDC 杆（不带着轮）杆（不带着轮）取取ABEABE（带着轮）（带着轮）取取ABEABE杆（不带着轮）杆（不带着轮）取取BDCBDC杆（带着轮）杆（带着轮）104340BCyTTCxMaFFaFaFa解得解得15CyFkN练习练习已知：已知：OA=ROA=R，AB= AB= l, ,F不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦, ,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡; ;求求: :力偶矩力偶矩M M 的大小，轴承的大小，轴承O O处处的约束力，连杆的约束力，连杆ABAB受力，冲受力，冲头给导轨的侧压力。头给导

35、轨的侧压力。解解: :取冲头取冲头B B, ,画受力图画受力图. . 0iyF0cosBFF解得解得22cosRlFlFFB 0ixF0sinBNFF解得解得22tanRlFRFFN取轮取轮, ,画受力图画受力图. . 0ixF0sinAoxFF解得解得22RlFRFox 0iyF0cosAoyFF解得解得FFoy 0oM0cosMRFA解得解得FRM 练习练习已知已知: :P P1 1, ,P P2 2, ,P P=2=2P P1 1, ,r r, ,R R=2=2r r, ,;200求求: :物物C C 匀速上升时，作用于匀速上升时，作用于轮轮I I上的力偶矩上的力偶矩M M；轴承；轴承A

36、 A，B B处的约束力。处的约束力。解解: :取塔轮及重物取塔轮及重物C C, ,画受力图画受力图. . 0BM0PrRF110PrPRF由由020tanFFr1064. 320tanPFFr 0ixF0rBxFF164, 3PFBx 0iyF02FPPFBy132PFBy取轮取轮I I，画受力图。，画受力图。 0ixF 0iyF 0AM0rFMrPM110164. 3PFAx19PFAy练习练习已知已知: :P P=60kN,=60kN,P P2 2=10kN,=10kN,P P1 1=20kN,=20kN,风载风载F F=10kN,=10kN, 尺寸如图尺寸如图; ;求求: :A,BA,B

37、处的约束力。处的约束力。解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0AM05246101221FPPPPFBykN5 .77ByF 0iyF0221PPPFFByAykN5 .72AyF取吊车梁取吊车梁, ,画受力图画受力图. . 0DM024821PPFEkN5 .12EF取右边刚架取右边刚架, ,画受力图画受力图. . 0CM04106EBxByFPFFkN5 .17BxF 0ixF0BxAxFFFkN5 . 7AxF对整体图对整体图例例已知：已知：a ,b ,Pa ,b ,P, , 各杆重不计，各杆重不计，C,EC,E处光滑；处光滑；求证：求证：ABAB杆始终受压，且大小为杆始终

38、受压，且大小为P P。解：解：取整体，画受力图。取整体，画受力图。0ixF0AxF0EM()0AyPbxFb得得()AyPFbxb取销钉取销钉A A，画受力图，画受力图0ixF0AxADCxFF0ADCxF得得取取ADCADC杆，画受力图。杆，画受力图。取取BCBC，画受力图。，画受力图。0BM0CFbPx 得得CxFPb对对ADCADC杆杆0DM022ADCyCbbFF得得ADCyCxFFPb对销钉对销钉A A0yF0ABAyADCyFFF0ABxxFPPPbb解得解得(ABFP 压）4.5 平面简单桁架工程中的桁架结构：工程中的桁架结构：工程中的桁架结构工程中的桁架结构2 2、平面桁架、平

39、面桁架3 3、节、节 点点4 4、杆件内力、杆件内力5 5、静定桁架、静定桁架一、概念：一、概念：1 1、桁架、桁架 一种由若干杆件彼此在两端用铰链一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。连接而成，受力后几何形状不变的结构。所有杆件都在同一平面内的桁架。所有杆件都在同一平面内的桁架。 桁架中杆件的铰链接头。桁架中杆件的铰链接头。 各杆件所承受的力。各杆件所承受的力。 如果从桁架中任意抽去一根杆件，如果从桁架中任意抽去一根杆件，则桁架失去形状的固定性。则桁架失去形状的固定性。6 6、结构：、结构： 以三角形框架为基础，每增加一个以三角形框架为基础，每增加一个 节点需要增

40、加两根杆件。节点需要增加两根杆件。1 1、桁架中的杆件都是直杆。、桁架中的杆件都是直杆。 二、桁架计算的常见假设二、桁架计算的常见假设( (理想桁架理想桁架) )： 三、桁架结构的优点：三、桁架结构的优点：3 3、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。4 4、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端 的节点上。的节点上。可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，节约材料。可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，节约材料。2 2、桁架中的杆件都用光滑铰链连接。、桁架中的杆件都用光滑铰链连接。四、计算桁

41、架杆件内力的方法：四、计算桁架杆件内力的方法： 1 1、节点法、节点法 - - 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁应用共点力系平衡条件，逐一研究桁 架上每个节点的平衡。架上每个节点的平衡。2 2、截面法、截面法 - - 应用平面任意力系的平衡条件，应用平面任意力系的平衡条件， 研究桁架由截面切出的某部分的平衡。研究桁架由截面切出的某部分的平衡。 例例 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D D处受一集中荷载处受一集中荷载F F = 10 kN= 10 kN的作用。的作用。试求桁架各杆件所受的内力。试求桁架各杆件所受的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解：先以整体

42、为研究对象，受力如图。0,0 xAxFF0,0yAyByFFFF()0, 240AByMFFF2mF2mABCD3013425AB30134DC5 kNByF5kNAyFFFByFAyFAx1、 节点法再分别以节点再分别以节点A A、C C、D D为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C210,cos300 xAxFFFF节点节点A A410,cos30cos300 xFFF3140,()sin300yFFFF节点节点C C520,0 xFFF节点节点D D解上述解上述5 5个方程得个方程得1234510 kN,8.66 kN,10 kN

43、10 kN,8.66 kNFFFFF 其中其中1 1，4 4杆受压。杆受压。10,sin300yAyFFF2mF2mABCD30134FAyFAxFBy例例 图示平面桁架，各杆长度均为图示平面桁架，各杆长度均为1m1m，在节点，在节点E E，G G，F F上分上分别作用荷载别作用荷载F FE E10 kN10 kN， F FG G7 kN7 kN， F FF F5 kN5 kN。试求杆。试求杆1 1、2 2、3 3的内力。的内力。解：取整体分析解：取整体分析0,0 xAxFFFF()0,21sin60 130BEGFAyMFFFF F解得解得5kN,7.557 kNAxAyFF ABCDEFG

44、FEFGFF123ABCDEFGFEFGFF123ABCDEFGFEFGFF1232 2 、截面法、截面法ABCDEFGFEFGFF123AFECDE解得解得1238.726 kN,2.821kN,12.32 kNFFF 作一截面作一截面m m n n将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。1()0,sin60 110EAyMFF F20,sin600yAyEFFFF31()0,sin60 11.5sin60 102DEAyAxMFFF

45、F F求得求得1 1杆受力为负值，说明杆受力为负值，说明1 1杆受压。杆受压。F1FAyFAxF2F3求：求：，杆所受力。，杆所受力。解：解：求支座约束力求支座约束力AyF0iyF ByF0iyF 从从1，2，3杆处截取左边部分杆处截取左边部分2F0CM1F0ixF 3F已知：已知：P P1 1, ,P P2 2, ,P P3 3, ,尺寸如图。尺寸如图。3、 截面法与节点法的综合应用 0BM取节点取节点0ixF 0iyF 5F4F若再求若再求, ,杆受力杆受力三杆节点无载荷、其中两杆在三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。一条直线上，另一杆必为零力杆。12SS且四杆节点无载

46、荷、其中两两在四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆一条直线上，同一直线上两杆内力等值。内力等值。12SS34SS两杆节点无载荷、且两杆不在两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。一条直线上时，该两杆是零力杆。特殊杆件的内力判断特殊杆件的内力判断021 SS例例 三无重杆三无重杆ACAC、BDBD、CDCD如图铰接，如图铰接，B B处为光滑处为光滑接触，接触，ABCDABCD为正方形，在为正方形，在CDCD杆距杆距C C三分之一处三分之一处作用一垂直力作用一垂直力P P，求铰链，求铰链 E E 处的反力。处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解：先以整体为研

47、究对象，受力如图。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF解得：解得：13AyFP23BFPPlDl2l/3CABEPFAxFAyFB0:0yAyBFFFPDCABEEPD2l/3CB下面用不同的方法求铰链下面用不同的方法求铰链 E E 的受力。的受力。方法方法1 1：先以：先以DCDC为研究对象。为研究对象。2()0:03DCylMFlP F23CyFP再以再以BDCBDC为研究对象。为研究对象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 类似地，亦可以类似地，亦可以DCDC为研究对象，求为研究对象，求F FDyDy，再以，再以ACDACD为研究对象求解。为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy方法方法2 2：分别以：分别以ACDACD和和ACAC为研究对象。为研究对象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF联立求解以上两方程即得同样结果。联立求解以上两方程即得同样结果。类似地，亦可以类似地，亦可以BDCBDC和和BDBD为研究对象，为研究对象，进行求解。进行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyFExFEyFCxFCy()0:CMF方法方法3 3：分别以：分别以BDBD和