二次函数中的存在性问题

1、学习必备欢迎下载二次函数中的存在性问题（讲义）一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤： _研究确定图形，先画图解决其中一种情形 _.先验证的结果是否合理， 再找其他分类，类比第一种情形求解 _.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍二、精讲精练1. 如图，已知点 P 是二次函数 y=- x2+3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点， 将直线 y=- 2x 沿 y 轴向上平移，分别交、B两点. 若以 AB为直x 轴、 y 轴于 A角边的 PAB 与 OAB 相似，请求出所有符合条件的点P 的坐标yyBBAxOAOxyyOxOxyyOxOx2. 抛物线 y12x 13与 y 轴交于

2、点 A，顶点为 B，对称轴 BC 与 x 轴交于4点 C点 P 在抛物线上，直线PQ/BC 交 x 轴于点 Q，连接 BQ（1）若含 45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在 BQ 上，另一个顶点 E 在 PQ 上，求直线 BQ 的函数解析式；学习必备欢迎下载（2）若含 30°角的直角三角板的一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在直线 BQ 上（点 D 不与点 Q 重合），另一个顶点 E 在 PQ 上，求点 P 的坐标yABDEPOCQxyABOCxyABOCx3. 如图，矩形 OBCD 的边 OD、OB 分别在 x 轴正半轴和 y

3、轴负半轴上，且 OD 10， OB 8将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转，使点 C 恰好与 x 轴上的点 A重合（ 1）若抛物线y1 x2 bx c 经过 A、 B 两点，则该抛物线的解析式为3_；（2）若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，作MN x 轴于点 N是否存在点 M，使 AMN 与 ACD 相似？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由学习必备欢迎下载yADOxBCyADOxBC4. 已知抛物线 y=x2 2x 3 经过 A、B、C 三点，点 P（ 1，k）在直线 BC：y=x 3上，若点 M 在 x 轴上，点 N 在抛物线上，是否存在以 A、M、N、 P 为

4、顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由yAOBxPC学习必备欢迎下载yAOBxPC5. 抛物线 y1 x2x 2 与 y 轴交于点 C，与直线 y=x 交于 A(- 2，- 2) 、B( 2，22) 两点如图，线段 MN 在直线 AB 上移动，且 MN2 ，若点 M 的横坐标为 m，过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P，过点 N 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q以 P、M、Q、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出 m 的值；若不能，请说明理由学习必备欢迎下载yBNMOxACyBOxAC三、回顾与思考_【参考答案】一、 知识点睛 画

5、图分析分类讨论验证取舍二、 精讲精练1.解：由题意，设 OA=m，则 OB=2m；当 BAP=90°时， BAP AOB 或 BAP BOA； 若 BAP AOB，如图 1，学习必备欢迎下载yBPOAMx图 1可知 PMA AOB，相似比为 2：1；则 P1（5m，2m），代入 yx23x ，可知 m13， P1(13,26)25525 若 BAP BOA，如图 2，yBPOAMx图 2可知 PMA AOB，相似比为 1：2；则 P2（2m， m ），2代入 yx23x ，可知 m11， P2 (11 ,11)8416当 ABP=90°时， ABP AOB 或 ABP BO

6、A； 若 ABP AOB，如图 3，学习必备欢迎下载yMPBOAx图 3可知 PMB BOA，相似比为2：1；则 P3（4m，4m），代入 yx23x ，可知 m1， P3(2,2)2 若 ABP BOA，如图4，yMPBOAx图 4可知 PMB BOA，相似比为 1：2；则 P4（m，5 m ），2代入 yx23x ，可知 m1， P4(1 ,5)2242.解：（ 1）由抛物线解析式 y1 x12点坐标（ 1， 3） .3可得 B4要求直线 BQ 的函数解析式，只需求得点Q 坐标即可，即求 CQ 长度 .过点 D 作 DGx 轴于点 G，过点 D 作 DF QP 于点 F.学习必备欢迎下载y

7、BAFDEPOCGQx则可证 DCG DEF .则 DG=DF ，矩形 DGQF 为正方形 .则 DQG=45°，则 BCQ 为等腰直角三角形 . CQ=BC=3，此时， Q 点坐标为（ 4，0）可得 BQ 解析式为 y= x+4.（ 2）要求 P 点坐标，只需求得点 Q 坐标，然后根据横坐标相同来求点P 坐标即可 .而题目当中没有说明 DCE=30°还是 DCE=60°，所以分两种情况来讨论. 当 DCE=30°时，a）过点 D 作 DH x 轴于点 H，过点 D 作 DK QP 于点 K .yBAPDKEOCHQx则可证 DCH DEK .则 DHD

8、C3 ，DKDE在矩形 DHQK 中， DK=HQ，则 DH3 .HQ在 RtDHQ 中， DQC=60°.则在 RtBCQ 中，BC学习必备欢迎下载3CQ CQ=3 ，此时， Q 点坐标为（ 1+3,0）则 P 点横坐标为 1+3 .代入 y1x2可得纵坐标 .1 33,9）.4P（1+4b）又 P、Q 为动点，可能PQ 在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.yAPKDBQ O HCx由对称性可得此时点P 坐标为（ 13 , 9 ）4 当 DCE=60°时，a) 过点 D 作 DM x 轴于点 M，过点 D 作 DN QP 于点 N. yABDNQOCMxEP则可证

9、DCM DEN .则 DM DC1 ，DNDE3学习必备欢迎下载在矩形 DMQN 中， DN=MQ，则DM1.MQ3在 RtDMQ 中， DQM=30°.则在 Rt BCQ 中，BC1CQ3CQ= 3 BC=33 ，此时， Q 点坐标为（ 1+33 ，0）则 P 点横坐标为1+3 3 .代入 y123可得纵坐标 .x 14 P（1+3 3 ,15 ）.4b）又 P、Q 为动点，可能PQ 在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.yABNDQMOCxEP由对称性可得此时点 P 坐标为（ 1 33 ,15 ）4综上所述， P 点坐标为（ 1+3,9 ），（1 3, 9），（ 1+3 3,

10、15 ）或（ 13 3 ,15 ）.44443解：（ 1） AB=BC=10，OB=8在 Rt OAB 中， OA=6 A（6，0）将 A（6，0）， B（ 0， - 8）代入抛物线表达式，得，y1 x210 x 833学习必备欢迎下载（2）存在：如果 AMN 与 ACD 相似，则 MN1或MN2AN2 ANM1m2108) （0<m<6）设 ( m,3m31） 假设点M 在 x 轴下方的抛物线上，如图1 所示：yNADOxMBC图 1当 MN112101时， 3m3m 81，即 3( m 6)( m 4)1AN26m26 m2 m52 M(5, 7) 2 4如图 2 验证一下：y

11、NADOxMBC图 2当 MN121012时， 3m3m 8，即 3( m 6)( m 4)AN6m226 m学习必备欢迎下载 m2 （舍）2）如果点 M 在 x 轴上方的抛物线上：当MN1时，1 m210 m 81 ，即1 ( m 6)( m 4)1AN23336m26 m2 m112 M(11 , 1) 2 4此时 MN1 ,AN142 MN1AN2 AMN ACD M(11 , 1) 满足要求 2 4当 MN1m210m 81( m 6)( m 4)2时， 332，即3AN6m26 m m=10（舍）综上M1(5,7) ,M2( 11 , 1)24244.解：满足条件坐标为：M1(3 6

12、,0) M2(3 6,0) M 3( 1 2,0) M4 ( 1 2,0)思路分析： A、M、N、 P 四点中点 A、点 P 为顶点，则 AP 可为平行四边形边、对角线；(1)如图，当 AP 为平行四边形边时，平移AP；点 A、P 纵坐标差为 2点 M、N 纵坐标差为 2；学习必备欢迎下载点 M 的纵坐标为 0点 N 的纵坐标为 2 或- 2当点 N 的纵坐标为 2 时解： x22x32得 x 1 6又点 A、P 横坐标差为 2点 M 的坐标为：M1(36,0)、M2(36,0)当点 N 的纵坐标为 -2 时解： x22x3 2得 x 1 2又点 A、P 横坐标差为 2点 M 的坐标为：M3(

13、 12,0) 、 M4( 12,0)(2)当 AP 为平行四边形边对角线时；设 M5（m,0）MN 一定过 AP 的中点（ 0， - 1）则 N5（ - m，- 2）N5 在抛物线上 m22m 3 2m12 （负值不符合题意，舍去） m12学习必备欢迎下载 M5( 12,0)综上所述 :符合条件点 P 的坐标为： M 1 (36,0) M 2 (36,0) M 3 ( 12,0) M 4 ( 12,0)5解：分析题意，可得： MP NQ，若以 P、 M、N、Q 为顶点的四边形为平行四边形，只需 MP=NQ 即可由题知：M (m , m) ，P(m , 0) ，N (m1, m 1) ，Q (m

14、 1,1(m 1)2 +( m 1) 2)2故只需表达 MP、NQ 即可 .表达分下列四种情况：yBQPOxANM图 1yBPMAN OxQ图 2学习必备欢迎下载yN BMQOPxA图 3yQNM BOPxA图 4如图 ，PMm， QN1(m1)22，令PM=QN，12解得： m 1=2+7 （舍去）， m 2 = 27 ；如图 2， PMm ， QN1 (m1)2 +2 ，令 PM=QN，2解得： m 1=3 （舍去）， m1=3 ；如图 ，PMm， QN1(m1)2 +2，令PM=QN，32学习必备欢迎下载解得： m 1=2+7 ， m 2=27 （舍去）；如图 ，m， QN1(m1)22

15、，令PM=QN，4 PM2解得： m 1=3 ， m 1=3 （舍去）；综上， m 的值为 m 1=27 、 m 2 =3 、 m 3= 2+7 、 m 4= 3 二次函数中的存在性问题（每日一题）1. 如图，在矩形 OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点B 落在 OA 边上的点 E 处分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，抛物线yax2bxc 经过 O，D， C 三点（1）求 AD 的长及抛物线的解析式；（2）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N， C，E

16、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 M 与点 N 的坐标；若不存在，请说明理由yADBEOCx2. 在平面直角坐标系中， 二次函数 y ax2 bx 2 的图象与 x 轴交于 A（ - 3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求这个二次函数的解析式；学习必备欢迎下载（2）点 M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q，使以 A、C、M、Q 的坐标；若不存在，请说明理由yCABOx3. 如图，抛物线与 x 轴交于 A（ - 1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，- 3），设抛物线的顶点为 D（1）求该抛物线

17、的解析式与顶点D 的坐标；（2）以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？请证明你的结论（3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、 A、C 为顶点的三角形与 BCD 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由yAOBxCD4. 如图，已知抛物线经过 A（- 2，0）， B（ - 3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 A、O、D、学习必备欢迎下载E 为顶点的四边形是平行四边形，求出点D 的坐标；（3）P 是 y 轴左侧抛物线上的动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、

18、M、A 为顶点的三角形与 BOC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由yBPAOxC【参考答案】【 1】解：（1）在矩形 ABCD 中， BC=AO=10，OC=AB=8,由折叠可知： CE=BC=10， DE=BD在 RtEOC 中，由勾股定理可得 EO=6， AE=4，设 AD=x，则 DE=8- x在 RtADE 中由勾股定理得 42+x2=（ 8- x）2， x=3，则 D（3，10），AD=3将 O（0，0）， D（3，10），C（8，0）代入 y ax2 bx c，得 y2 x2 16 x3 3（ 2）存在；理由：当 EC 为平行四边形的边时，则 MNEC，MN

19、=EC由 E（0，6）， C（8， 6）可知 E、C 之间的水平距离为 8， M、N 之间的水平距离也是 8点 N 在抛物线对称轴直线x=4 上，若 M 在对称轴左侧，则M 的横坐标为 - 4，代入抛物线可得M1（- 4，- 32）学习必备欢迎下载 N1（4，- 38）若 M 在对称轴右侧，则M 的横坐标为 12，代入抛物线可得M2（12，- 32） N2（4，- 26）当 EC 为平行四边形对角线时，MN 过 EC 的中点（ 4， 3） N 在直线 x=4 上，直线 MN 与直线 x=4 重合， M3 （4， 32 ） 3 N3（4， 14 ） 3综上所述： M、N 的坐标为：M1（- 4，

20、- 32），N1（4，- 38）；M2（12，- 32），N2（4，- 26）；M3（4， 32 ），N3（4，14 ）33【 2】解：（1）将 A（ - 3，0），B（1，0）代入 yax2bx 2 ，可得： y2 x24 x 233（ 2）存在；理由：当 AC 为平行四边形的边时：MQAC若 M 在 x 轴上方，则 MCQA，MC=QA由 C（0，2）可知点 M 的纵坐标为 2，代入抛物线解析式得 M 1（- 2，2） QA=MC=2由 A（- 3，0）知 Q1（- 5，0）若 M 在 x 轴下方，则四边形 MACQ 为平行四边形，则 C 与 M 到 x 轴的距离相等，由 C（0，2）知

21、M 的纵坐标为 - 2，代入抛物线解析式得M2（ 17 ，- 2），M3（1+ 7，）- 2Q2（27，），Q3（ 2+7 ， ）00学习必备欢迎下载yM 1CAQ2BQ3Q1OxM 2M 3当 AC 为平行四边形的对角线时， MQ 过 AC 的中点（3 ， ）12 M 在 x 轴上方， MCAQM（- 2，2）由 MQ 中点（3， ）可得（- 1，0）1Q42yM4CABQ4Ox综上所述： Q1（- 5，0）；Q2（ 27 ，0）；Q3（ 2+7 ，0）；Q4（- 1，0）【 3】（1）由 A（ 1，0），B（3，0），C（ 0， 3）可得解析式： yx22x3顶点 D（1，- 4）（ 2）

22、以 B、C、 D 为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：过点 D 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 E、 F在 RtBOC 中， OB=3， OC=3， BC= 3 2 ，在 RtCDF 中， DF=1， CF=OF- OC=4- 3=1， CD= 2 ，在 RtBDE 中， DE=4，BE=OB- OE=3- 1=2， BD= 2 5 ，学习必备欢迎下载 BC2+CD2=BD2，故 BCD 为直角三角形 yAOEBxCFD（ 3）存在；理由：连接 AC，则易证 RtAOCRtDCB， CDB= OAC， DBC= ACO 当 P 在 x 轴上时，若 APC=90°，则 P

23、Cx 轴， P 与 O 重合，此时 Rt APC RtDCB，符合题意， P1（0，0）若 ACP=90°， CDB= OAC，易证 RtAPCRt DCB，符合题意， RtAOCRt ACP， AO OC ， OP=9， P2（ 9， 0）OC OP 当 P 在 y 轴上时，若 APC=90°，P 与 O 重合，若 PAC=90°， DBC= ACO，易证 RtDCBRt PAC，符合题意易证Rt POA RtAOC，AOOP， OP= 1，P3（0， 1）OCAO33综上所述符合条件的P 点有三个：P1（0，0），P2（9，0），P3（0， 1）3学习必备欢迎

24、下载yP3ABOP2xCD【 4】（1）由 A（2，0），B（- 3， 3），O（ 0， 0）可得解析式：yx2 +2x（ 2）当 AO 为平行四边形的边时， DEAO， DE=AO，由 A（- 2， 0）知 DE=AO=2，若 D 在对称轴直线 x=- 1 左侧，则 D 横坐标为 - 3，代入抛物线解析式得 D1（- 3，3）若 D 在对称轴直线 x=- 1 右侧，则 D 横坐标为 1，代入抛物线解析式得D2（ 1， 3）当 AO 为平行四边形对角线时， DE 过 AO 中点（ - 1，0）， E 在直线 x=- 1 上，直线 DE 与对称轴重合， D3（- 1，- 1）综上所述：符合条件的

25、 D 有三个：D1（- 3，3）D2（1，3）D3（- 1，- 1）学习必备欢迎下载yD1ED2BAOxC(D3)（ 3）存在，如图： B（ - 3，3）， C（- 1， - 1），根据勾股定理得：BO2 =18，CO2=2，BC2=20， BO2 +CO2=BC2 BOC 是直角三角形且BO3 .CO设 P（m， m2 +2 m ）当 P 在 x 轴下方，则 - 2<m<0，yBMAOxP C若 PM3，则 m22m3， m=- 2（舍）或者 m=- 3（舍）AMm2若 PM1 ，则 m22m1 ， m=- 2（舍）或者 m=1 ，AM3m233学习必备欢迎下载P1（1， 5）3

26、 9当 p 在 x 轴上方，则 m<- 2,yBPMAOxC若 PM 3 ，则 m2 +2m 3， m=- 2（舍）或者 m=- 3，AMm 2 P2 （- 3，3）若 PM1 ，则 m2 +2m1 ， m=- 2（舍）或者 m=1 （舍）AM3m 233综上所述：符合条件的P 有两个点： P1（1 ，52（- 3，3）39），P二次函数中的存在性问题（随堂测试）如图，抛物线 yax2bx 1与 x 轴交于（， ）、（ ， ）两点，与y轴交1A-10 B1 0于点 C（1）求抛物线的解析式；（ 2）过点 B作BDCA与抛物线交于点 D，求四边形 ACBD的面积；（ 3）M是 x 轴下方抛

27、物线上的一个动点，过 M作 MN x 轴于点 N，是否存在点M，使以 A、M、 N为顶点的三角形与 BCD相似？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载yCABOxD【参考答案】1. (1)y=- x2+1(2)4(3)M(- 2，- 3)，(4，- 15)， ( 4 , 7)39二次函数中的存在性问题（作业）5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=- x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 B，D 两点的坐标；（ 2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 l AC 交抛物线

28、于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 A， P，Q，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载yyDDCCABABOxOx6.如图，已知二次函数y1( x2)(13x20) 的图象过点48A(- 4， 3) ，B( 4， 4) ，交x 轴于C、D 两点（1）求证： ACB 是直角三角形；（ 2）若点 P 是 x 轴上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m，过点 P作 PHx 轴于点 H，是否存在以 P、H、 D 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由yy

29、BBAAPHCODxCODx学习必备欢迎下载7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y3 x3 与抛物线 y1 x23 x5 交42442于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上若点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一动点 （不与点 A、B 重合），设点 P 的横坐标为 m，连接 PA，以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG随着点 P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点F 或 G 恰好落在 y 轴上时，请写出对应的点P 的坐标yPAOxFBGyAOxByAOxB8.在平面直角坐标系中，2ya xb 3x与 x 轴抛 物 线的 两 个交点分别为 A(- 3， 0) ，B( 1， 0) ，

30、过顶点（ 1）直接填写： a=，b=，顶点C 作 CHx 轴于点C 的坐标为H；（2）若点 P 是 x 轴上方抛物线上的一动点 （点 P 与顶点 C 不重合），PQAC学习必备欢迎下载于点 Q，当 PCQ 与 ACH 相似时，求点 P 的坐标yyCCAHOBxAHOBx【参考答案】1解：（ 1）由抛物线解析Cy式 y=- x2+2x+3可得： A(- 1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，再由 A、C 两点坐标，可得直线 AC 的解析式为： y=3x+3（ 2）由题意可得： PQACHO B且 PQ=AC，Ax学习必备欢迎下载yyDDCCQABA PB EPOxOP ExQQ图1

31、图2如图 1，当点 Q 在点 P 上方时，过点 Q 作 QEx 轴于点 E，可证 PEQ AOC QE=OC=3故令 y=- x2+2x+3=3，解得： x1=0(舍去)，x2=2故 Q1 (2，3)如图 2，当点 Q 在点 P 下方时，同过点 Q 作 QEx 轴于点 E，可证 PEQ AOC QE=OC=3故令 y=- x2，解得：x1=1+ 7，x2 =17+2x+3=- 3故 Q2(1+ 7， 3) ， Q3 (17， 3)综上， Q 点的坐标为 Q1， 、，Q3(1，(2 3)Q2 (1+ 73)7 3)2 (1) 证明：由抛物线的表达式y1(x2)(13x20) ，可得： C(- 2

32、，0)，48(20，D0) ，13学习必备欢迎下载yBAPE HCODFx图 1如图 1，过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为E、F，则 AE=3，EC=2， CF=6，BF=4AEEC1且 AEC=BFC=90°CFBF2 AEC CFB ACE=CBF ACE+BCF=CBF+BCF=90° ACB=90°即 ACB 是直角三角形（ 2）由题意得： P( m, 1 (m 2)(13m20) ) ， H (m, 0)48AC1，故 PHD 也是直角边的比为 1:2 的直在 RtACB 中，由（ 1）可知：2CB角三角形，yBAPHCODx图 2学习必备欢迎