惯性力与非惯性系

1、惯性力与非惯性系摘 要惯性力是非惯性系中的非真实力，本文证明了在非惯性系中将惯性力视为真实力计入后，惯性系下的所有力学规律在非惯性系下都能成立。当惯性力做功与路径无关时，可以引入惯性力势能，引入惯性力势能并计入系统总机械能后，机械能守恒体系中的条件与结论也仍然成立。关键字:非惯性系; 惯性力; 惯性力势能 ABSTRACTInertia force is unreal power in non-inertia system. It proves in this article that when inertia force is added as real power in non-inert

2、ia system, all the mechanical laws which apply in inertia system also do in non-inertial system. When inertia forces doing work has nothing to do with path, potential energy can be brought in. The conditions and conclusions still apply in the system of conservation of mechanical energy when it adds

3、potential energy to the total mechanical energy.Keywords: Non-inertial;  Inertia;  Inertial force potential energy 1 非惯性系与惯性力 我们在描绘物体的运动状态时，称选作参照场的物体或物体群，为参照系。又因为牛顿第一定律又称为惯性定律。所以凡适用用牛顿定律的参照系都可以称作惯性参照系。从伽俐若相对性原理中还得到：相对于惯性参照系作匀速直线运动的参照系来说，其力学过程是完全等价的。所以，一个参照系做匀速直线运动，都可以当做是惯性参照系。 而当一参照系相对于惯性参

4、照系做加速a0运动时，此时牛顿定律不再成立，我们将这样的参照系叫非惯性参照系。a0又叫做牵连加速度，设o1为惯性系，o2为非惯性系，o2相对于o1的加速度即为a0 ,得：a2=a1-a0又为了使加速参照系中牛顿定律仍然适用，我们可以假想在加速参照系中的一切物体都受有某种力，我们把它叫做惯性力f=-ma0。而在这种参照系中，物体所受的这种力没有施力物体的存在，所以惯性力为非真实力。 如：设在一车厢内有一光滑平板，平板上放有一质量为m的小球，当车厢静止时，小球于车厢保持静止状态，不受力；当车厢匀速行驶时，小球与地面保持静止，而与车厢有相对运动，以车厢为参照系可以观察到小球匀速向反方向行驶，不受力；

5、当车厢以a加速行驶时，以地面为参照系可知小球保持静止不动，当一小车为参照系时，可以看到小球在以相反的方向以-a的加速度向反方向行驶。如图：在上图中，以车厢为参照系的观察者（习惯于用牛顿第二定律来研究力和加速度的问题），虽然观测到这个加速度，但却未能找到引起这个加速度的力。于是他不得不设想有个假想力f作用在小球上，这个力使质量为m的小球获得以加速度-a，按照牛顿第二定律，f=-ma这个假想力就称为惯性力。2 惯性系与非惯性系下的力学规律 设有两个参照系o1和o2，o1为惯性系，o2为非惯性系：2.1 惯性系下，即o1系下，有：a1=F/m dv1=a1dt dr1=v1dtdv1=a1dt=Fd

6、t/m mdv1=Fdt d(mv1)=Fdt冲量定理元功 w1=Fdr1 =ma1v1dt=mv1dv1=d(mv12/2)动能定理由 d(mv12/2)=Fdr1=(F保+F非保)dr1=F保dr1+F非保dr1引入势能 即F保dr1=-dU1d(mv12/2)= -dU1+F非保dr1d(mv12/2 +U1)= F非保dr1功能原理若 F非保dr1=0mv12/2 +U1=常量机械能守恒2.2 非惯性系下，即o2系下，有： a2=a1-a0=F/m+f/m=(F+f)/m=F总/mF总=F+f f为惯性力dv2=a2dt, dr2=v2dtdv2=a2dt=F总dt/m mdv2=F总

7、dt d(mv2)=F总dt冲量定理此式表明：尽管f非真实力，但在形式上计入力f的冲量后，惯性系下的冲量定理形式在非惯性系中得以成立。 同样，因f非真实力，我们把包含f在内的所有力做的功合称为视在功。视在元功 w2=F总dr2=ma2v2dt=mv2dv2=d(mv22/2)动能定理此式亦表明：虽然f为非真实力，但引入视在功并计入总功内，惯性力下动能定理形式在非惯性系下得以成立。由 d(mv22/2)=F总dr2=(F保+F非保 +f)dr2=F保dr2+F非保dr2 +f dr2引入势能 即 F保dr2= -dU2d(mv22/2)= -dU2+F非保dr2+f dr2d(mv22/2 +U

8、2)=( F非保 +f)dr2功能原理若 (F非保 +f)dr2=0mv22/2 +U2=常量机械能守恒此两式又表明：即使f为非真实力，但在形式上计入力f后，惯性系下机械能守恒定律形式在非惯性系中也得以成立。可见：引入惯性力f并将其视为真实力计入后，惯性系下的力学规律仍然适用于非惯性系。3 惯性力势能类似于真实保守力的势能，若惯性力做功与路径无关，我们也可以考虑引入惯性力势能。31 惯性力做功与路径无关的例子设有一平面圆台，绕过圆心且垂直于台面的轴以定角速度转动，质量为m的质点处于园面上，以圆台为参考系，以o点为原点。由于这是一个非惯性系，质点的惯性力为f=mr2.以o点为原点，台面上任一点位

9、置矢量为r.则惯性力的元功为dW=fdr,W=mr2dr=m2(rB2-rA2)/2可见，惯性力的功W于路径无关32 惯性力势能的定义 当惯性力做功与路径无关，类似于保守力的势能，定义惯性力的功等于惯性势能增量的负值，即F惯dr= -dU惯在上例中，设o点（r=0）处惯性力势能为零，则系中任一点r处的惯性力势能可表示为U(r)= -W= -m2(r2-0)/2= -m2r2/233 运用惯性力势能处理非惯性系的力学问题的实例：在一光滑水平直管内有一质量为m的小球，此管以匀角速度绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为b，球相对于管的速度为零，管总长为2b，求球刚要离开管口时的相对速

10、度和绝对速度。解：取与管固定连接的坐标系为参考系o，球在管内相对o的运动即球相对管的运动乃是惯性力作用的结果，而球所受压力、重力等均与其运动方向垂直，它们所做的功为零。1>.利用惯性力势能解该题 球受到的惯性力的功属于前述“惯性力作功与路径无关”的情形，可引入惯性力势能U(r)= -m2r2/2,并且在o系看，其机械能守恒。至球刚要离开时，其相对速度v满足 -mb22/2= -m(2b)22/2+mv2/2所以 v2=3b22 v=31/2 bv的方向沿管方向且指向管外球的牵连速度 vt=r×, vt=r. 至要离开管时， r=2b, vt=2b球的绝对速度为 v=(v2+vt

11、2)1/2=(3b22+4b22)1/2=71/2b2>.不引入惯性力势能求解在这个过程中，我们可以知道物体在o中只有惯性力做功，我们可以根据动量定理，即ft=mv f=m2r可以写出元动量 fdt=mdv又 dr=vdt 代入上式，得fdr/v=mdv m2rdr=mvdv 两边同时积分后，可得到 v=31/2b其他过程，同上。比较以上不同的两种不同的解法，可以看到利用惯性力势能解题要简便一些。结束语：根据上面的讨论知道：在非惯性系中，将惯性力视为真实力计入后，成立于惯性系的冲量定理、动能定理、功能原理、机械能守恒等都得以在非惯性系下成立。而在惯性力做功与路径无关的条件下，还可以引入惯性力势能，让