2020春八年级数学下册第19章全等三角形19.2全等三角形的判定5斜边直角边习题课件华东师大版

1、5.斜边直角边探究探究1.1.在一般三角形中在一般三角形中, ,由两组对应由两组对应( (边或角边或角) )条件相等的三角形条件相等的三角形_全等全等. .2.2.在直角三角形中在直角三角形中: :(1)(1)两直角边对应相等的两个直角三角形两直角边对应相等的两个直角三角形_,_,依据依据_._.不不全等全等s.a.s.s.a.s.(2)(2)一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形_,_,依据依据_._.(3)(3)一直角边和一斜边对应相等的两个直角三角形一直角边和一斜边对应相等的两个直角三角形, ,应用勾股定应用勾股定理理, ,可以转化为可以转化为_

2、对应相等的两个直角三角形对应相等的两个直角三角形_,_,依依据据_._.全等全等a.a.s.a.a.s.或或a.s.a.a.s.a.两直角边两直角边全等全等s.a.s.s.a.s.【归纳归纳】如果两个直角三角形的斜边和一条如果两个直角三角形的斜边和一条_分别对应相分别对应相等等, ,那么这两个直角三角形全等那么这两个直角三角形全等. .简记为简记为h.l.(h.l.(或或_).).【点拨点拨】 h.l.h.l.定理只适合两直角三角形全等的判定定理只适合两直角三角形全等的判定. .直角边直角边斜边直角边斜边直角边【预习思考预习思考】1.1.一般三角形的判定方法适合直角三角形的判定吗一般三角形的判

3、定方法适合直角三角形的判定吗? ?直角三角直角三角形的判定比一般三角形多了个什么条件形的判定比一般三角形多了个什么条件? ?提示：提示：适合适合. .它比一般三角形多了直角相等它比一般三角形多了直角相等. .2.2.有两组对应条件相等的两直角三角形全等吗有两组对应条件相等的两直角三角形全等吗? ?为什么为什么? ?提示：提示：不一定不一定. .当两组角对应相等时，两个直角三角形不全等当两组角对应相等时，两个直角三角形不全等. . 应用应用“h.l.”h.l.”判定直角三角形全等判定直角三角形全等【例例1 1】如图如图, ,在四边形在四边形abcdabcd中中,ab=cd,ab=cd,bf=de

4、,aebd,cfbd,bf=de,aebd,cfbd,垂足分别为垂足分别为e,f.e,f.求证求证: :abeabecdf.cdf.【解题探究解题探究】1.1.abeabe和和cdfcdf是什么三角形是什么三角形? ?证明这样的三角形全等首先考虑证明这样的三角形全等首先考虑什么定理什么定理? ?答答: :abeabe和和cdfcdf是是直角直角三角形三角形. .证明这样的三角形全等首先考证明这样的三角形全等首先考虑虑h.l.h.l.定理定理. .2.2.探求全等的条件探求全等的条件: :(1)aebd,cfbd,(1)aebd,cfbd,aeb=cfd=90aeb=cfd=90, ,(2)bf

5、=de,(2)bf=de,bf-ef=de-ef,bf-ef=de-ef,即即be=df,be=df,3.3.证明全等证明全等: :在在rtrtabeabe和和rtrtcdfcdf中中, ,ab=cd,be=df,ab=cd,be=df,rtrtabertabertcdf(h.l.).cdf(h.l.).【规律总结规律总结】应用应用“h.l.h.l.”应注意的三个问题应注意的三个问题 (1)(1)“h.l.h.l.”是判定两个直角三角形全等的方法，对于一般的三是判定两个直角三角形全等的方法，对于一般的三角形不成立，在使用时一定要注意其应用的范围角形不成立，在使用时一定要注意其应用的范围. .(

6、2)(2)在书写格式上，三角形的前面必须注明在书写格式上，三角形的前面必须注明“rtrt”. .(3)(3)在题设中，没有指明但又是直角三角形的，必须依照定义说在题设中，没有指明但又是直角三角形的，必须依照定义说明或推证是直角三角形，否则不能直接应用明或推证是直角三角形，否则不能直接应用“h.l.h.l.”. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.如图所示如图所示, ,在在abcabc中中,c=90,c=90, ,deabdeab于于d,bc=bd,d,bc=bd,如果如果ac=3 cm,ac=3 cm,那么那么ae+deae+de等于等于( )( )(a)2 cm (b)3 cm (c)4 cm (

7、d)5 cm(a)2 cm (b)3 cm (c)4 cm (d)5 cm【解析解析】选选b.deab,bde=90b.deab,bde=90. .在在rtrtbcebce和和rtrtbdebde中中,bc=bd,be=be,bc=bd,be=be,rtrtbcertbcertbde,bde,即即de=ec,ae+de=ae+ec=ac=3 cm.de=ec,ae+de=ae+ec=ac=3 cm.2.2.如图如图, ,在在abcabc和和abdabd中中,c=d=90,c=d=90, ,若利用若利用“a.a.s.”a.a.s.”证证明明abcabcabd,abd,可添加条件可添加条件_；若利

8、用；若利用“h.l.”h.l.”证明证明abcabcabd,abd,则需要加条件则需要加条件_._.【解析解析】在在abcabc和和abdabd中中,c=d=90,c=d=90,ab=ab,ab=ab,若利用若利用“a.a.s.a.a.s.”证明证明abcabcabd,abd,可添加条件可添加条件cab=dabcab=dab或或cba=dbacba=dba；若利用；若利用“h.l.h.l.”证明证明abcabcabd,abd,则需要加条则需要加条件件ac=adac=ad或或bc=bd.bc=bd.答案：答案：cab=dabcab=dab或或cba=dba ac=adcba=dba ac=ad或

9、或bc=bdbc=bd3.3.如图，已知如图，已知b=d=90b=d=90，bc=dc.bc=dc.问问acac是否平分是否平分bcdbcd？为什么？为什么？【解析解析】acac平分平分bcd.bcd.理由：理由：b=d=90b=d=90，在在rtrtabcabc和和rtrtadcadc中中, ,ac=ac, bc=dc.ac=ac, bc=dc.rtrtabcrtabcrtadc(h.l.),adc(h.l.),acb=acd,acb=acd,即即acac平分平分bcd. bcd. 【变式备选变式备选】如图如图,b=d=90,b=d=90,bc=dc,1=40,bc=dc,1=40, ,则则

10、2=_.2=_.【解析解析】在在rtrtabcabc与与rtrtadcadc中中, ,bc=dc,ac=ac,bc=dc,ac=ac,rtrtabcrtabcrtadc,2=acb.adc,2=acb.在在abcabc中中,acb=180,acb=180-b-1=50-b-1=50, ,2=502=50. .答案：答案：5050 直角三角形判定定理的综合应用直角三角形判定定理的综合应用【例例2 2】(10(10分分) )在在abcabc中中,ab=cb,ab=cb,abc=90abc=90,f,f为为abab延长线上一延长线上一点点, ,点点e e在在bcbc上上, ,且且ae=cf.ae=c

11、f.(1)(1)求证求证:rt:rtabertabertcbfcbf；(2)(2)若若cae=30cae=30, ,求求acfacf的度数的度数. .【规范解答规范解答】(1)abc=90(1)abc=90,cbf=,cbf=abeabe=90=90. . 2 2分分在在rtrtabeabe和和rtrtcbfcbf中中, ,ae=cf, ab=cbae=cf, ab=cb，rtrtabertabertcbf(h.l.)cbf(h.l.)；5 5分分(2)ab=bc,abc=90(2)ab=bc,abc=90, ,cab=cab=acbacb=45=45, , 6 6分分又又bae=cab-ba

12、e=cab-cae=45cae=45-30-30=15=15, ,由由(1)(1)知知rtrtabertabertcbf,cbf,bcf=bcf=baebae=15=15, , 9 9分分acf=bcf+acb=15acf=bcf+acb=15+45+45=60=60. . 1010分分特别提醒特别提醒: :应用应用abcabc是等腰直角三角形这是等腰直角三角形这一性质来解题一性质来解题【互动探究互动探究】若例题中的条件变为若例题中的条件变为abcabc和和ebfebf为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,且且a a，b b，f f三点共线三点共线, ,题中的结论题中的结论(1)(1)还成立吗

13、还成立吗? ?提示：提示：成立成立. .依据依据s.a.s.s.a.s.可证明可证明rtrtabertabertcbf.cbf.【规律总结规律总结】判定直角三角形全等的判定直角三角形全等的“四种思路四种思路”(1)(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，直接应用若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，直接应用“h.l.h.l.”判定两直角三角形全等判定两直角三角形全等. .(2)(2)若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“a.a.s.a.a.s.”进行判进行判定两直角三角形全等定两直角三角形全等. . (3)(3)若有一组锐角和一组直角边对

14、应相等若有一组锐角和一组直角边对应相等, ,则分为两种情况则分为两种情况: :直角边是锐角的对边，用直角边是锐角的对边，用“a.a.s.a.a.s.”进行判定两直角三角形进行判定两直角三角形全等；全等；直角边是锐角的邻边，用直角边是锐角的邻边，用“a.s.a.a.s.a.”进行判定两直角三角形进行判定两直角三角形全等全等. .(4)(4)若有两直角边对应相等，则用若有两直角边对应相等，则用“s.a.s.s.a.s.”进行判定两直角三进行判定两直角三角形全等角形全等. .【跟踪训练跟踪训练】4.4.使两个直角三角形全等的条件是使两个直角三角形全等的条件是( )( )(a)(a)一个锐角对应相等一

15、个锐角对应相等 (b)(b)两个锐角对应相等两个锐角对应相等(c)(c)一条边对应相等一条边对应相等 (d)(d)两条边对应相等两条边对应相等 【解析解析】选选d.d.选项选项a:a:一个锐角对应相等一个锐角对应相等, ,利用已知的直角相等利用已知的直角相等, ,可得出另一组锐角相等可得出另一组锐角相等, ,但不能证明两三角形全等但不能证明两三角形全等, ,故错误；选故错误；选项项b:b:两个锐角相等两个锐角相等, ,那么也就是三个对应角相等那么也就是三个对应角相等, ,但不能证明两但不能证明两三角形全等三角形全等, ,故错误；选项故错误；选项c:c:一条边对应相等一条边对应相等, ,再加一组

16、直角相再加一组直角相等等, ,不能得出两三角形全等不能得出两三角形全等, ,故错误；选项故错误；选项d:d:两条边对应相等两条边对应相等, ,若若是两条直角边相等是两条直角边相等, ,可利用可利用s.a.s.s.a.s.证全等；若一直角边对应相等证全等；若一直角边对应相等, ,一斜边对应相等一斜边对应相等, ,也可证全等也可证全等, ,故正确故正确. .5.5.如图如图, ,在在abcabc中中,b=c,d,b=c,d是是bcbc的中点的中点,deab,dfac,e,f,deab,dfac,e,f为垂足为垂足, ,求证求证:ad:ad平分平分bac.bac.【证明证明】dfac,deab,df

17、ac,deab,bed=cfd=90bed=cfd=90. .dd是是bcbc的中点的中点,bd=cd.,bd=cd.在在bdebde和和cdfcdf中中, ,b=c,bed=cfd,bd=cd, b=c,bed=cfd,bd=cd, bdebdecdf,de=df.cdf,de=df.在在rtrtaedaed和和rtrtafdafd中中,ad=ad,de=df, ,ad=ad,de=df, rtrtaedrtaedrtafd,bad=cad,afd,bad=cad,即即adad平分平分bac.bac.1.1.如图如图, ,四边形四边形abcdabcd中中,cb=cd,abc=adc=90,c

18、b=cd,abc=adc=90,bac=35,bac=35, ,则则bcdbcd的度数为的度数为( )( )(a)145(a)145 (b)130 (b)130(c)110(c)110 (d)70 (d)70【解析解析】选选c.abc=adc=90c.abc=adc=90,在在rtrtadcadc和和rtrtabcabc中中,cb=cd,ac=ac,cb=cd,ac=acrtrtabcrtabcrtadc,adc,又又acb=90acb=90-bac=55-bac=55, ,acd=acb=55acd=acb=55,bcd=110,bcd=110. .故选故选c.c.2.2.下列条件中下列条件

19、中, ,不能判定两个直角三角形全等的是不能判定两个直角三角形全等的是( )( )(a)(a)两个锐角对应相等两个锐角对应相等(b)(b)一条直角边和一个锐角对应相等一条直角边和一个锐角对应相等 (c)(c)两条直角边对应相等两条直角边对应相等 (d)(d)一条直角边和一条斜边对应相等一条直角边和一条斜边对应相等 【解析解析】选选a.aa.a项不正确项不正确, ,全等三角形的判定必须有边的参与；全等三角形的判定必须有边的参与；b b项正确项正确, ,符合判定符合判定a.a.s.(a.a.s.(或或a.s.a.)a.s.a.)；c c项正确项正确, ,符合判定符合判定s.a.s.s.a.s.；d d项正确项正确, ,符合判定符合判定h.l.,h.l.,故选故选a.a.3.3.如图如图, ,已知已知acbdacbd于点于点p,ap=cp,p,ap=cp,请添加一个条件请添加一个条件, ,使使abpabpcdpcdp( (不能添加辅助线不能添加辅助线),),你添加的条件你添加的条件是是_._.【解析解析】结合已知条件可得添加的条件是结合已知条件可得添加的条件是bp=dpbp=dp或或ab=cdab=cd或或