函数的奇偶性与周期公式推导方法

1、函数的奇偶性与周期公式推导方法一、奇函数、偶函数对于函数 f ( x) ，其定义域关于原点对称：1、对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个x，都有 f（ x）=f（x）或 f（ x） + f（ x）=0，则称 f ( x) 为奇函数 .2、对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个x，都有 f（ x）=f （x）或 f（x） f（ x）=0，则称 f ( x) 为偶函数 .二、判断函数的奇偶性1、定义法判断有解析式的函数的奇偶性例 1、判断下列函数的奇偶性：（1） f（x）=|x+1| |x1|；（ 2） f（x）=（1+x ）· 1x ；1x1x2x(1x)( x0),（3）

2、f ( x)2 |；（4） f ( x)x)( x0).| x2x(1剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（ 1）函数的定义域x（， +），对称于原点 . f（ x）=|x+1| |x1|=|x 1| |x+1|= （ |x+1| |x1|） =f（ x），f（x）=|x+1| |x1|是奇函数 .先确定函数的定义域.由1x0，得 1x1，其定义域不对称于原点，所以f (x)1x既不是奇函数也不是偶函数。解：函数 f ( x)(1 x)1x 定义域 1x11x f ( x) (1 x)1x 1x .(1 x)21 x21x1x1 f ( x)1 ( x)21 x2f ( x) f ( x)

3、 (1 x) 1x 是偶函数1x（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.1 x 20,1 x1,由 | x 2 | 20,得 x 0且x4.故 f（x）的定义域为 1， 0）（ 0 ，1，关于原点对称，且有x+2 0.从而有f（ x） =1x2=1x2，这时有 f（ x） = 1 ( x)2=1 x2=f（x），x22xxx故 f（x）为奇函数 .（4）函数 f（x）的定义域是（， 0）（ 0，+），并且当 x 0 时， x 0，f（ x）=（ x） 1（ x） =x（1+x）= f（x）（ x 0） . 当 x 0 时， x 0， f（ x）=x（1x）=f（x）（ x0）.故函数 f（x）为奇

4、函数 .评述：（ 1）分段函数的奇偶性应分段证明 .（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 .证明抽象函数的奇偶性例 2、已知 f（x）是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a，bR 都满足： f （a· b） =af（ b） +bf （a） 求 f（0）， f（ 1）的值；（2）判断 f（x）的奇偶性，并证明你的结论分析：应用公式 f（a·b）=af （b）+bf（a ），取 a、b 的一些特殊的值进行计算解：（ 1） f（0）=f（0·0）=0· f（0）+0·f（0 ）=0；由 f（1）=f （1·1）=1

5、·f（1）+1·f（1），得 f（1）=0 （2）f（ x）是奇函数证明：因为 f（1）=f（ 1） 2 =f （1） f（ 1） =0，所以 f（ 1）=0 ，f（ x） =f（ 1·x）=f（x）+xf（ 1）= f（x）因此， f（x）为奇函数2点评：研究抽象函数的奇偶性， 应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质，可以用已知函数替代抽象函数进行思考，探索求解思路。例 3、定义在区间 ( 1,1) 上的函数 f ( x) 满足：对任意的 x, y( 1,1) ，都有f ( x) f ( y)

6、f ( xy ) .求证： f (x) 为奇函数；1xy思路点拨 欲证明 f ( x) 为奇函数，就要证明 f (x)f ( x) ，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的x, y ( 1,1) ，都有 f ( x)f ( y)f ( xy ) ”中的 x, y 进行合1xy理“赋值”解析 令 x = y = 0，则f (0) + f (0) = f ( 00) = f (0)10 f(0)=0令 x (1, 1) x( 1, 1)xx f ( x) + f (x) = f ( 1x 2) = f (0) = 0 f ( x) = f ( x) f ( x) 在( 1，1)上为奇函数点评

7、：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是 f (x1) f (x2) = f (x1) + f ( x2)奇偶函数的性质及其应用1、奇偶函数图象的对称性（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。（2）若 yf ( ax) 是偶函数f (ax)f (ax)f ( x) 的图象关于直线 x a 对称；若 yf (bx) 是奇函数f (bx)f (bx)f (x) 的图象关于点 (b,0) 中心对称；3例、若函数 f (x)在 (4,) 上为减函数，且对任意的 xR ，有 f ( 4x) f (4x)，则A、 f

8、(2)f (3)B、 f ( 2) f (5)C、 f (3)f (5)D、 f (3)f(6)2、（ 1）偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数。（ 2）奇函数的和、差仍为奇函数，奇数（偶数）个奇函数的积、商（分母不为 0）为奇（偶）函数。（ 4）奇函数与偶函数的积为奇函数。（ 5）定义在（， +）上的任意函数 f ( x) 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。（1）若 f ( x) 是奇函数且在 x0 处有定义，则 f (0) 0。（逆否命题可判断一个函数不是奇函数）（2）奇函数的反函数也为奇函数。（3）若 f ( x)0 ，则 f ( x) 既是奇函数又是偶函数，若f (

9、 x)m(m 0) ,则 f (x) 是偶函数。函数的周期性1、定义：对于函数f ( x) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f (xT )f ( x) ，那么函数 f ( x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：2、抽象函数的周期（1）若函数 f ( x) 满足 f (ax)f (bx)( ab) ，则 f ( x) 的周期是 Tba（2）若函数 f ( x) 满足 f (ax)f (bx)(ab) ，则 f ( x) 的周期是 T2 ba（

10、3）若函数 f ( x) 满足 f (ax)f (b x)1( a b) ，则 f ( x) 的周期是T2 ba（4）函数图象有 x a ， xb(ab) 两条对称轴型，即 f ( x a) = f (ax) ，f (b x) = f (b x) ，则 f ( x) 的周期是 T2 ba（5）函数 f ( x) 满足 f (x a)1f ( xa) ( ab) ，则 f ( x) 的周期是 T2 b a1f ( xb)4证明：（ 1）（2）对于定义域中任意x 满足 f (ax)f (bx)0(ab) ，则有 f x(2b 2a) f (x) ，故函数 f ( x) 的周期是 T2(ba)（3）

11、若 f (x a)f ( xb) 1(a b) ，则得 f ( x2a)f ( x2a)(2b2a) ，所以函数f ( x) 的周期是 T2b2a ；同理若 f ( xa)f ( xb)1(ab) ，则 f ( x) 的周期是T 2(b a)（4）函数图象有 x a ， xb(ab) 两条对称轴，即 f (ax)f (ax) ，f (b x) f (bx) ，从而得 f x (2b 2a)f (x) ，故函数 f ( x) 的周期是 T 2(ba)f (x a)1 f (x b) (ab)f ( x2a)1（5）由1 f ( x b)得f ( x 2b) ，进而得f ( x 2a) f ( x

12、2b)1，由前面的结论得 f (x) 的周期是 T4(b a)例、已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (x2)f ( x)1对于 xR 恒成立，且 f ( x)0 ，则 f (119)f ( x2)1解析 由 f (x 2)f ( x) ，从而得 f ( xf ( x) ，可见 f ( x) 是以 4f (x)1得到4)1为周期的函数， 从而 f (119)f (3)f (4293)f (3) ，又由已知等式得f (1) 又由 f (x)是 R 上的偶函数得 f (1)f (1) ，又在已知等式中令 x1 得 f (1)f (1) 1，即 f (1)1 ，所以 f (119)

13、1例、已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足 f(x+2)= f(x) ，则 f(6) 的值为（）A 1B. 0C. 1D. 25函数的周期公式推导步骤及习题1,f(x+a)=-1f(x+a)= -f(x) ,f(x+a)=, 这几个式子的周期为什么是 2a?f(x)f(x)1. f(x+a)= -f(x)2. f(x+a)=1f(x)13. f(x+a)= -f(x)4. f(x+a)= f(x)+1 f(x)-11-f(x)5. f(x+a)= f(x+a)=1+f(x)6. f(x+a)= f(x+a)=f(x-a)这几个式子的周期为什么是2a?推导步骤如下1.f(x+a)= -f(x) .(1)两边 x 用 x-a 代左边 =f(x)= 右边 = -f(x-a).(2)把(2) 带入 (1)得 f(x+a)= -f(x)= f(x-a)即 f(x+a)=f(x-a) x 用 x+a 代得f(x)=f(x+2a)所以周期是2a这类的题目都是x 用另一个函数带只要最后是 f(x)=f(x+ 周期 )习题练习1.已知 f(x) 在 R 上是奇函数， 且满足 f(x+4)= f(x) ，当 x（0.2 ）时，f(x)2x 2 则， f(7) （） A.-2B. 2C. -98D. 9862. 设定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x).