对数与对数函数—讲义

1、精品资料欢迎下载2.7 对数与对数函数一【教学目标】1理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题二【教学重点】运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三【命题规律】主要考察指数式 ab N 与对数式 log a N b 的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。四【知识回顾】1.对数的概念如果,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作，其中 a 叫做对数的， N 叫做对数的。即指数式与对数式的互化：abNbloga

2、 N2.常用对数 ：通常将以10 为底的对数 log 10N 叫做常用对数，记作lg N。自然对数： 通常将以无理数 e2.71828为底的对数叫做自然对数，记作ln N。3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（ 1）对数恒等式： alog a N(a0且a 1,N0) log a aN=(a0且a1,N 0)=（ 2）换底公式： log alog bNNlog b a（ 3）对数的性质：负数和零没有对数 1 的对数是零，即 log a 1 0底的对数等于1，即 log a a 1 log a b logb c log c dlog a d4.对数的运算性质如果 a 0且 a1,M0, N0 ，

3、那么（ 1） log a (MN )M；（2） log a；N（ 3） log a M n；（4） loga m M n。（ 5） log a b log b a；（ 6） log a b1log b a5.对数函数精品资料欢迎下载函数 ylog a x(a0且 a1) 做对数函数，其定义域为(0 ， + ) ，值域为 (- ， + ). 、6.对数函数图像与性质注：对数函数ylog a x与 ylog 1 x(a0且a1)的图像关于 x 轴对称。a7.同真数的对数值大小关系如图在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大，即 0cd1ab8.对数式、对数函数的理解 应重视指数式与对数式的互化关

4、系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 y log x 2, ylog 2 2x, y 3ln x 等函数均不符合形式y log a x(a 0且 a 1) ，因此，它们都不是对数函数 画对数函数 ylog a x 的图像，应抓住三个关键点11)(a,1),(1.0),( ,a【例题精讲】考点一：对数式的运算例1.计算（ 1） 2 lg222lg 2lg5lg 2lg 2 1（ 2） lg5lg8lg1000lg 2 321lg 0.06lg6精品资料欢迎下载【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，

5、只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。【举一反三】1. 求值：（ 1） log 27log 2 121 log 2 42 1482（ 2） lg 22lg 2lg50 lg 25（ 3） log 3 2log92log 4 3 log8 3考点二：对数值的大小比较比较大小常用的方法有：做差比较法 做商比较法 函数单调性法 中间值法，在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数

6、的图像来判断。3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0 和 1）进行分组，再比较各组的大小。5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。例 2. 比较大小（ 1） log 2 3.4与 log2 8.5（ 2） log 2 3与log 3 3（ 3） log7 6与 log 6 7（ 4） log a b2b 1 bR 与log a12【举一反三】2. （ 08 年北京卷改编）若a20.5 ,blog3, clog 2 sin 2，则 a,b,c 的大小关系是。5精品资料欢迎下

7、载考点三：与对数函数有关的定义域问题求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于 0 且不等于 1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。例 3. 求下列函数的定义域（ 1） yx24（ 2） ylog a x 222x 3lg x考点四：与对数函数有关的值域问题（ 1）型如 yf (log a x ) ：采用换元法，令tlog a x ，根据定义域先求tloga x 值域，再求yf (t ) 的值域。（ 2）型如 ylog a f (x) ：由真数f ( x)0 求出定义域，再求出yf (x) 的值域，再根据a 的值确定复合函数的值域.例 4.

8、求下列函数的值域（ 1）ylog a3x11 log 22x1 , x0,1（ 2）yloga(aa x )考点五：定义域或值域为R 的问题（ 1）若 ylog a( x) 的定义域为 R,则对任意实数x ，恒有(x) 0。特别地，当( x) ax 2bxc( a0)时，要使定义域为R，则必须 a0且0（2）若yloga() 的值域为 R，则(x)必需取遍，内所有的数。x0特别地，当( x) ax 2bxc( a0)时，要使值域为R，则必须 a0且0例 5. 已知函数 f ( x) log a mx2(m1)x14（ 1）若定义域是 R，求 m 的取值范围；（ 2）若值域是 R，求 m 的取值

9、范围。精品资料欢迎下载考点六：对数函数的综合问题例 6. 已知函数( )log3fxaax（ 1）当 x 0,2时，函数f ( x) 恒有意义，求实数a 的取值范围。（ 2）是否存在这样的实数a ，使得函数f ( x) 在区间 1，2 上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值，如果不存在，请说明理由。【反思归纳】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立。【举一反三】3. 已知2且1)在区间2，4 上是增函数，求实数a 的取值范围。f ( x) log a ax x

10、 (a 0 a精品资料欢迎下载【练习】1.函数 f (x)axlog ax 在区间1，2 上的最大值与最小值之和为1 ，最大值与最小值之积为3 ，则 a 等于4。82.（ 08年 天 津 卷 改 编 ） 设 a1 ， 若 对 于 任 意 的 xa,2 a ， 都 有 ya, a 2满足方程log a xlog a y3 ，这时 a 的取值的集合为。3.（ 08 年高考山东卷）已知f (3x )4 x log 2 3233 ，则 f (2)f (4)f (8)f (2 8 ) 的值等于。4.设 a0，a1，函数f (x)alg( x22x 3) 有最大值，则不等式log a ( x25x7) 0的解集是。5.若 log 2 log 3log 4xlog3 log 4 log2ylog 4 log 2 log3z0 ，则 xyz。6.已知 log18 9a,18b5 ，则 log 36 45。（用 a, b 表示）。7.已知等比数列an满足 an0,n1,2, 且 a5a2 n 522n (n3)，则 n1时， log2 a1log 2 a2log 2 a2n1。8.已知 f ( x)log 2 ( x2ax3a ) ，对于任意 x2 ，当x0 时，恒有 f ( xx)f ( x) ，则实数 a 的取值范围为。9.不等式 log 2 ( x16) 3 的解集为。x精品资料欢迎下载