数理统计CH概率分布ppt课件

1、f(x)Area under curvesums to one.Random variable range第第1 1章章 概率分布概率分布n 事件和概率：讨论描画随机景象及其统计规律的术语及概念、景象发生能够性的计量、相互关系和运算；n 随机变量及分布：讨论随机景象确实定性数学表达，一样条件、大量反复观测下随机变量所遵照的取值规律；n 数字特征：讨论分布特征的数字表达；n 大数定律：讨论反复实验次数对频率和均值观测稳定性的影响。1 概率分布本章内容1.1 事件与概率Event and Probability1 概率分布 自然界存在两种景象，确定性景象：一定条件下必自然界存在两种景象，确定性景象

2、：一定条件下必然发生；随机性景象：一定条件下能够发生，但结果不止然发生；随机性景象：一定条件下能够发生，但结果不止一个，哪个结果发生预先并不知道。一个，哪个结果发生预先并不知道。 随机景象虽然表现为不确定性，但在大量、一样条件反复随机景象虽然表现为不确定性，但在大量、一样条件反复实验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机景实验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机景象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，正面朝上正面朝上的频率接近的频率接近0.5。 随机景象(Random Phenomenon)1.1 事件与概率 数理统计学就是研讨大

3、量的随机景象，但限定为一类特定的随机景象，即在一样条件反复实验下所能观测到的随机景象。它研讨随机景象的发活力制、统计规律和统计特征，研讨处理工程实践问题的统计方法。随机景象(Random Phenomenon)1.1 事件与概率1.1.1 事件Random Event1.1 事件与概率满足下述三个条件的实验称为随机实验：1实验可在一样条件下反复进展；2实验的一切能够结果是明确可知的，并且不止一个；3每次实验总是恰好出现这些能够结果中的一个，但在实验之前却不能一定会出现哪一个结果。 随机实验在统计学里可简称为实验。 1.1.1 事件(1)随机实验(Random Experiment)1.1.1

4、事件E1：一枚硬币抛一次，察看出现哪一面；E2：一枚硬币抛三次，察看正反面的陈列；E3：一枚硬币抛三次，察看正面出现的次数；E4：一颗骰子抛一次，察看出现的点数；E5：在一批灯泡产品中，测定任一只的寿命；E6：在一批灯泡产品中，测定任一只的阻值。E7：在一超市里，察看每10分钟进来的人数；(1)随机实验(Random Experiment) 广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看作是随机实验。比如，多次抛一枚均质硬币是随机实验，观测一个种族的身高、体重等是随机实验，观测某作物的株高是随机实验，观测条件近似动物对某种药物的生理反响是随机实验，小区测产是随机实验，等等。 1.1.1

5、事件(1)随机实验(Random Experiment)1.1.1 事件 随机实验的每一个能够结果，称作根身手件elementary event，亦称作简单事件simple event，根身手件是描画随机实验不能够再分的事件。 (2)根身手件(Elementary Event)1.1.1 事件 抛硬币实验，正面朝上是一个根身手件，反面朝上也是一个根身手件。观测一个种族的身高情况，1.75米是一个根身手件，1.83米是一个根身手件，1.45米也是一个根身手件。小区测产，25.4kg是一个根身手件，26.7kg也是一个根身手件。花括弧括内容表达事件，常用于利用文字或表达式陈说事件的场所。 (2)根

6、身手件(Elementary Event)1.1.1 事件 由假设干个根身手件组合而成的事件，称作复合事件compound event，也称作复杂事件。 通常所说的随机事件random event是根身手件和复合事件的统称，即可指根身手件又可指复合事件。(3)复合事件(Compound Event)事件A=HHH,HHT,HTH,HTT表示“第一次出现的是正面用t表示灯泡的运用寿命h，那么事件B1=t1000表示“灯泡是次品事件B2=t1000表示“灯泡是合格品事件B3=t1500表示“灯泡是一级品1.1.1 事件(3)复合事件(Compound Event)1.1.1 事件 延续两次抛掷一枚

7、硬币，均出现正面是一个复合事件，出现一正一反是一个复合事件，均出现反面也是一个复合事件。观测一个种族分区域的身高，平均1.77米、平均1.68米均是复合事件。小区测产，产量在10kg20kg之间是一个复合事件，产量在20kg30kg之间也是一个复合事件。 (3)复合事件(Compound Event)1.1.1 事件 每次实验中一定发生的事件称作必然事件certain event，在任何一次实验中都不能够发生的事件称作不能够事件impossible event。 随机事件简称作“事件，而将不能够事件和必然事件视作随机事件的两个极端事件。(4)必然事件与不能够事件(Certain and Imp

8、ossible Event) 掷一枚均质硬币实验，出现两个面之一是必然事件，两个面谁也不出现是不能够事件。小区测产，产量小于0kg是不能够事件，产量大于等于0kg是必然事件。1.1.1 事件(4)必然事件与不能够事件(Certain and Impossible Event)1.1.1 事件调查抛一枚硬币的实验，事件 A=出现正面假设实验结果为出现反面，那么事件A未发生假设实验结果为出现正面，那么事件A发生调查小区测产的事件 A=产量大于10kg假设实验结果为11.2kg，那么事件A发生假设实验结果为5.4kg，那么事件A未发生(5)事件发生(Event come about)1.1.2 概率

9、Probability1.1 事件与概率 用于度量事件发生能够性大小的数值称作事件的概率probability。事件通常可用大写字母表示，如A、B等，相应的概率可用P(A)、P(B)等表示。1.1.2 概率(1)事件的概率概率具有下述性质：设A为任一事件，那么0P(A)1；对于必然事件，有P()=1；对于不能够事件，有P()=0。1.1.2 概率(2)概率的性质不能够事件P()=0，必然事件P()=1。但反过来不成立，由于概率只代表“能够性的大小，能够性为0的事件不一定总不发生，能够性为1的事件不一定总是发生比如小区测产，事件产量是25kg的概率等于0，但它不一定总不发生；事件产量不是25kg

10、的概率等于1，但它不一定总是发生 1.1.2 概率(2)概率的性质 在一样的条件下进展了n次实验，在这n 次实验中，事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数。比值nA/n 称为事件A发生的频率，并记成fn(A)，即 nnAfAn1.1.2 概率(3)概率的统计定义 历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬币实验，实验者观测了抛掷次数、正面出现次数和正面出现频率等。结果发现，频率在0.5附近摆动，详见表1.1。实验反复次数愈大频率与0.5的偏向愈小，表现出向0.5稳定趋近的倾向，因此预测事件的概率为0.5。实验次数愈大，事件频率在某个定值两侧摆动的幅度愈小，称作事件频率具有稳定性。 1.1.2 概率(

11、3)概率的统计定义 251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.4880.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 nAfn(A)n=500时抛硬币实验 实 验 者 德摩根 蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊 n nH fn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120210.51810.50960.50160.5005表表1.11.11.1.2 概率(3)概率的统计定义1.1.2 概率 随实验次数n的增大，假设事件A的频率fn(A)越来越

12、幅度变小地在某一常数p两侧摆动，那么称常数p为事件A的概率(probability)，记作P(A)=p。称此陈说为概率的统计定义。(statistical probability)。(3)概率的统计定义1limpnnPAn1.2 随机变量及分布Random Variable and Probability Distribution1 概率分布前面事件与概率的研讨仅仅实现了随机景象及其关系的概念描画，远没有到达工程运用的程度，难于处理复杂多样的实践问题；引入人们熟习的微积分实现随机景象的数值化定量分析，使能用计算机高效地处置工程实践的统计学问题；随机变量及其分布的实际和方法，本质上就是利用确定性

13、数学方法研讨和处理随机数学统计学问题。 1.2 随机变量及分布(1)随机景象定量分析的意义实施某随机实验，假设用实数变量X表示实验结果，那么X的取值明确可知且不止一个，实验前并不知道X会取那个值，表征随机实验结果的实数变量X称作随机变量；X的值用实数x表示，即一次实验的结果，是一切能够实验结果中的一个，称x为X的察看值，简称观测(observation)；(2)随机变量(Random Variable)1.2 随机变量及分布 由于随机变量X量化数值化或数字化表达了随机实验结果，因此它也具有随机实验的三个根本特征：随机变量X可在一样条件下反复观测；随机变量X的一切能够值明确可知，并且不止一个；每

14、次观测总是恰好获得X一切能够值中的一个，但观测前却不能一定是哪一个。1.2 随机变量及分布(2)随机变量(Random Variable)掷一枚均质硬币实验：样本空间1=H,T，随机变量表达该问题，以“X=1表示正面向上的事件，以“X=0表示反面向上的事件；掷一枚骰子实验：样本空间=1,2,3,4,5,6，随机变量表达该问题，以“X=1表示出现1点的事件，“X=2表示出现2点，以此类推；作物育种实验：以“X4.5表示产量大于4.5kg的事件，不等式表达一个根身手件的集合。1.2 随机变量及分布(3)随机事件(Random Event)用随机变量X和某指定观测x可定义下述3种随机事件：实验结果为

15、x的事件：X=x实验结果小于或等于x的事件：Xx实验结果大于x的事件：Xx1.2 随机变量及分布(3)随机事件(Random Event)概率分布是概率论的根本概念之一，它用函数和微积分描画随机变量取值的概率规律。调查随机变量X与某指定观测x的关系，用事件概率P(Xx)以及事件概率的变化速率P(Xx)/1或dP(Xx)/dx描画概率分布；离散随机变量用求和函数描画概率分布；延续随机变量用积分函数描画概率分布。1.2 随机变量及分布(4)概率分布(Probability Distribution)本节主要讨论下述几个问题：随机变量、随机变量的观测、事件、概率四者之间的关系；离散变量的分布函数和概

16、率密度；延续变量的分布函数和概率密度；常见离散分布和延续分布；随机变量的规范化变换；正态分布的概率计算。 1.2 随机变量及分布本节内容1.2.1离散变量的概率分布Discrete Variable and Probability Distribution1.2 随机变量及分布假设随机变量X或事件X=x的一切能够取值为有限个或可列个，即取值存在间隔，那么称X为离散随机变量(discrete variable)。比如，抛硬币实验取值0,1，播种穴粒数取值0,1,2,，以及其它“计数类的随机变量。为便于数学处置，经常将随机变量的取值范围扩展到离散无穷域0,1,2,+，只不过取某些值的概率等于0。1

17、.2.1 离散变量的概率分布(1)离散随机变量(Discrete Variable)离散随机变量用X表示，它的察看值用实数x表示，那么离散变量随机实验中所发生的随机事件用等式表示：1.2.1 离散变量的概率分布(2)随机变量、察看值和随机事件X = xx- + 随机事件随机事件察看值察看值Xx察看值x按大小顺序分别记作xi，xixi-1， i=1,2,，那么离散随机变量X的分布函数F(xi) 定义如下： ikkikkiixfpxXPxF11分布函数亦称作概率累积函数Cumulative Distribution Function(3)分布函数(Distribution Function)1.2

18、.1 离散变量的概率分布事件X=xi的概率记作pi=P(X=xi)。那么离散随机变量X的概率密度f(xi)定义分布函数的变化率： 111iiiiF xF xF xP Xx(4)概率密度(Probability Density)1.2.1 离散变量的概率分布 iiiP Xxf xp概率密度记为离散变量的概率密度Probability Density亦称作概率函数Probability Function 概率密度表征离散随机变量取值x与取该值概率的函数关系，即描画按观测值大小顺序陈列的概率分布规律。按定义，概率密度可了解为察看值的一个单位增量所对应的分布函数增量，或者发惹事件离散随机变量X等于某指

19、定观测x的概率。 1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)概率密度可表示成如下的矩阵方式 iipppxxx2121矩阵的第1行为随机变量的察看值，第2行为事件X=xi的概率pi，矩阵元素上下对应。 1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)5 . 05 . 001:1E616161616161654321:2E抛硬币实验抛骰子实验1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density) 所谓离散随机变量X的概率分布，就是指分布函数F(xi)和概率密度f(xi)两个根本函数，它

20、们提供了随机变量概率分布规律的完好信息。(5)概率分布(Probability Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布0F1F, 2 , 1, 0ipi11iip概率值非负：全概率和等于1：两极端事件的分布函数值：(6)离散变量概率分布的性质1.2.1 离散变量的概率分布假设离散随机变量X的随机实验仅有两个能够结果，可将其表述为X=1和X=0两个事件，那么X服从0-1分布。抛硬币实验，出现正面为1，出现反面为0种子发芽实验，发芽为1，不发芽为0杀虫剂实验，有效为1，无效为0田间播种出苗实验，出苗为1，不出苗为0 (7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1

21、离散变量的概率分布11,10,1011xxXBpP XxppxpE XpVar Xpp0-1分布概要：(7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布2222221011011101110,101xxE XpppE XpppVar XE XE XppppP XpP XxppP Xpxp (7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布遵照0-1分布规律的实验称作贝努利实验(binomial experiment)做n次贝努利实验称作n重贝努利实验n次抛硬币实验，统计正面出现的次数发芽实验，统计n粒种子中发芽的种子个数杀虫剂实验

22、，统计n条虫子中被灭杀虫口数播种实验，统计n粒种子中出苗的种子个数(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布 设贝努里实验随机变量仅取0和1两个察看值，对于n重贝努里实验，假设每次实验中事件=1发生的概率记为p，那么用以描画n次实验中事件=1发生次数的随机变量X可用随机变量系之和表示： nX21(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布1101100110:10987654321E61021X=1代表什么与我们所关怀的问题有关(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离

23、散变量的概率分布随机变量系之和nX21服从参数为n,p的贝努利分布(binomial distribution)，亦称二项分布，记作XB(n,p)，其中0p1。二项分布的概率密度为： xnxxnppCxXPxf1(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布,10,1,2,011n xxxnXB n pP XxC ppxnpE XnpVar XnpppnBX,(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布pnBX, 12111,1,2,1011iiinniiniiBpinPpPpXE XEnpVar XVa

24、rnpp (8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布 12121212121nnnnnn xxxnP XxPxPxPPPxC pp pnBX,(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布事件X=x的概率等于n个0-1积事件的条件概率P=0.3,0.5,0.7(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布 设Y=X/n，相当于X乘了一个常数1/n，它指n重贝努利实验中事件出现的频率。不难推论，频率Y仍服从二项分布。即xnypyppCxXPyYPnynnynyn

25、100 . 1 , 2 . 0 , 1 . 0 , 01(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布二项分布是具有n重贝努里实验背景的一种重要分布当n=1时，二项分布转化成0-1分布。因此0-1分布可被视作二项分布的一个特例由于二项分布随机变量X是0-1分布随机变量的线性组合，因此X可被视作0-1总体抽样获得的统计量 (8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布 察看某作物田间出苗情况，假设每穴粒数一样，那么沿播行单位长度上当作小区的出苗数或出苗率服从泊松分布；对一个容器按等时间间隔看作小区观测细菌的存

26、活数；公路交叉路口单位时间间隔内过往的汽车数；汽车站或理发馆单位时间间隔内到达的顾客数等均服从泊松分布。 (9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布 !0,1,2,0 xXPP XxexxE XVar X(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布10n xxxnP XxC ppnp以顾客去理发馆为例导出Poisson分布：设每人去理发馆的概率是p，那么不去的概率是1-p；当顾客源容量n与理发馆容量处于供需平衡形状时，有np=，且n愈大p愈小顾客能否去理发馆是n重贝努利实验，设去理发馆的人数为X，那么人数

27、为x的概率为(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布,0,0,lim111lim1!n xxxnnpnpn xxnpnpC ppn nnxppx顾客源容量n很大时那么概率p很小，去理发馆人数X等于x的概率可用下述极限近似(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布1.2.2.1 离散随机变量的概率分布(9)泊松分布(Poisson Distribution),0,0,1,0,11lim1!11lim1!111lim!1!n xxnpnpxxpnpnpxpxnpnpxn nnxppxnnxnpnnpxnn

28、xpnnxpex 0!exxXPx001!)(xxxexxXP , 2 , 1 , 0,!0 xekxFxkk分布函数概率本质：全概率和：(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布1.2.2延续变量的概率分布Continuous Variable and Probability Distribution1.2 随机变量及分布1.2.2 延续变量的概率分布假设随机变量X或事件Xx的中的临界观测x可在一定范围内延续(无缝、不延续)取值，即值域为(,+)或恣意指定区间；或者说某区间内的一切数值都是随机实验的能够结果；那么称X为延续随机变量(Continu

29、ous Variable)小区产量在(10,65)内取值，是延续随机变量玉米株高在(,195)内取值，是延续随机变量其它“计量类变量也是延续随机变量。(1)延续随机变量(Continuous Variable)xX xX Ox随机事件随机事件随机事件随机事件(2)随机变量、临界察看值与事件临界察看值临界察看值1.2.2 延续变量的概率分布 假设X为一延续随机变量，x为恣意实数，x+，那么X的分布函数或概率累积函数F(x)定义为： xXPxF 假设将X看作数轴上的随机点，那么分布函数F(x)的直观意义就是随机点X落在区间(,x)上的概率。定义域为整个数轴，值域在0,1上。(3)分布函数(Dist

30、ribution Function)1.2.2 延续变量的概率分布 10 xF 21xFxF21xx不能够事件：不能够事件： 事件事件 的概率的概率F(F()=0)=0；必然事件：必然事件： 事件事件 的概率的概率F(+)=1F(+)=1概率本质：概率本质：单调非减：单调非减：X X (3)分布函数(Distribution Function)1.2.2 延续变量的概率分布 延续随机变量的分布函数F(x)是事件的概率，是延续函数，其函数曲线呈现为“S形。(3)分布函数(Distribution Function)1.2.2 延续变量的概率分布设F(x)是随机变量X的分布函数，假设存在非负函数f

31、(x)，即f(x)0，使对恣意实数x有 ( )xF xP Xxf t dt那么称f(x)为延续随机变量X的概率密度(probability density)或密度函数(density function)或分布密度(distribution density) (4)概率密度(Probability Density)1.2.2 延续变量的概率分布 0 xf密度非负：密度非负：1)(dxxf全概积分：全概积分： xfdxxdF导数关系：导数关系：1.2.2 延续变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)概率密度是分布函数的变化速率概率密度曲线与x轴所围面积等于1；分布函数

32、F(x)值等于密度曲线f(x)、x轴和X=x直线三者所围区域的面积(图中阴影面积)。1.2.2 延续变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density) dxxfxFxFxXxPxx211221 即随机变量X落在区间(x1,x2)上的概率，等于分布函数F(x)在该区间上的增量。由公式可知，X取任一定值 x1=x2=x的概率为0，这阐明，虽然不能够事件的概率等于0，但反过来一个概率等于0的随机事件未必是不能够事件，这一特点是延续随机变量所特有的。公式可用于延续随机变量的概率计算。 (5)区间事件的概率1.2.2 延续变量的概率分布(5)区间事件的概率 2061. 07 . 08

33、 . 18 . 1; 7 . 01 , 0122121FFxFxFxXxPxxNX1.2.2 延续变量的概率分布高斯(Carl Friedrich Gauss, 17771855)发表于1809年的一书涉及了误差分布确实定问题；设某个物理量的真值为，它的n个独立丈量值为x1,x2,xn，那么可用最大似然法估计：(6)正态分布(Normal Distribution) 1212;,nnLMaxLx xxMax f xf xf x ,EXxf 误差概率密度1.2.2 延续变量的概率分布 1222;,11exp22nMaxLx xxxxf x高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777

34、1855)以为n个独立丈量值x1,x2,xn的算术平均是的合理估计，并证明误差概率密度仅在具有下面方式的条件下，的最大似然估计才是n个独立丈量值的算术平均，亦即(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布拉普拉斯 (Laplace, 1749-1827)根据他所发现的中心极限定理推论，假设误差可看成许多量的叠加，误差理应有Gauss分布。这是历史上第一次提到所谓的“元误差学说；元误差学说：误差是由大量的、由种种缘由产生的元误差叠加而成；1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出元误差学说。他把误差想象成由数量很多的、独立同分布的“元误差叠加

35、而成。(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布按照海根(G.Hagen)的元误差学说：12aaPaPa 元误差， 值微小， 121222;,011exp22mmEmaXExf x(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布株高分组（cm） 组中值（cm） 频数 频率 164,167)165.51380.06167,170)168.52760.12170,173)171.55520.24173,176)174.56440.28176,179)177.54140.18179,182)180.51840.0818

36、2,185)183.5920.04合计2300 1.00 玉米株高观测和频数、频率统计(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布玉米株高分布(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布22122,1( )2;0 xXNf xexE XVar X (6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布 固定那么概率密度曲线位置不变，曲线外形随的增大而峰值降低及两尾变粗和拉长(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布 固定那么概率密度曲线

37、外形不变，位置随 的增大而右平移(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布2121( )20且txF xedtx分布函数外形是S型曲线(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布 xdttfxFx)(分布函数与概率密度是积分关系(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布对称性：概率密度曲线关于对称性：概率密度曲线关于x=x=对称对称极值点：极值点：x= x= 是概率密度是概率密度的独一极值点，其极值为的独一极值点，其极值为曲线外形：曲线外形：愈大密度曲线中心愈右移愈

38、大密度曲线中心愈右移 愈大密度曲线愈低愈大密度曲线愈低矮肥胖矮肥胖 反之，反之，愈小密度曲线中心愈左愈小密度曲线中心愈左移移 愈小密度曲线愈挺愈小密度曲线愈挺拔瘦峭拔瘦峭 21f(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 延续变量的概率分布1.2.3正态分布的概率计算Calculating the Probability based on Normal Distribution1.2 随机变量及分布1.2.3 正态分布的概率计算2221)(xexxtdtex2221)(规范正态概率密度规范正态分布函数 假设 XN( ,2)，当=0和=1时，称X服从规范正态分布。为区分计

39、，随机变量特别地记作Z，那么ZN(0,1)，概率密度函数特别地记作 ，分布函数特别地记作 。)(x)(x(1)规范正态分布0,1ZN随机变量变换xxF)(XZ分布函数变换(2)正态随机变量的规范化变换 ,XZNN 20 11.2.3 正态分布的概率计算xxZPxXPxXPxxF)(分布函数计算公式：利用事件不等式的等价变换推导如下：(3)正态变量分布函数的计算1.2.3 正态分布的概率计算122121()()( )P xXxF xF xxx区间事件概率计算公式：xxF)(4)正态变量区间事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算xx1对称事件概率计算公式2XxComparedXx (5)正态

40、变量对称事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算 1111P XxP XxP XxP XxF xx 对立事件概率计算公式：(6)正态变量对立事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算例如：例如：设设Z ZN(0,1)N(0,1)，试计算：，试计算：P(Z-2.1)P(Z1.38)P(Z1.38)P(|Z|3)P(|Z|3)(7)规范正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算2.12.112.11 0.98210.0179pP Z 利用分布函数定义和对称事件概率计算(7)规范正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算1.3811.3811.381 0.91620.083

41、8pP ZP Z 利用对立事件概率、分布函数定义计算(7)规范正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算 333332312 0.998650 10.9973pP ZPZ (7)规范正态变量的事件概率计算绝对不等式展开区间事件概率分布函数定义对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算三个特殊区间事件及其概率在实践中很有用，该当熟记 (7)规范正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算例如：例如：设设X XN(3,9)N(3,9)，试计算，试计算P(X-3.3)P(X7.14)P(X7.14)P(|X-3|6)P(|X-3|6) P(|X-3|6) (8)普通正态变量的事件概

42、率计算1.2.3 正态分布的概率计算3.33.33.3332.112.10.0179pP XF (8)普通正态变量的事件概率计算分布函数定义规范化变换对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算7.1417.1417.147.1431311.380.0838pP XP XF 利用规范正态分布计算(8)普通正态变量的事件概率计算对立事件概率分布函数定义规范化变换1.2.3 正态分布的概率计算 3636332222210.9545pP XXPP Z 利用规范正态计算(8)普通正态变量的事件概率计算不等式变换规范化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算361363123121 0.

43、95450.0455pP XP XXPP Z 利用规范正态分布计算(8)普通正态变量的事件概率计算对立事件概率不等式变换规范化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率2,1,2,3已知；分别取值；试计算XNkPXk 例如：1.2.3 正态分布的概率计算 ()121XP XkPkPkZkkkkkk 利用规范化变换、区间事件概率、规范正态分布函数和对称事件概率推导算式1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率 2112 0.84134 10.6827PXkPX 1k 1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率 22221

44、2 0.97725 10.9545PXkPX 2k 1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率 332312 0.99865 10.9973PXkPX 3k 1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率三个特殊区间事件及其概率在实践中很有用，该当熟记 1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率(10)概率0.95和0.99对应的中心区间2,0.950.99已知；分别取值和；试推算相应的 值XNP Xkk 例如：1.2.3 正态分布的概率计算 210.9510.9520.9751.96pP Xkkkk 1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.9

45、5和0.99对应的中心区间 210.9910.9920.995 2.58pP Xkkkk 1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间二组特殊数据在实践中很有用，该当熟记。 普通正态分布概率0.95对应1.96区间概率0.99对应2.58区间1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间规范正态分布概率0.95对应01.96区间概率0.99对应02.58区间二组特殊数据在实践中很有用，该当熟记。 1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间1.3 数字特征Digital Characteristic 1 概

46、率分布 随机变量的概率密度曲线可用中心、众数、分散、偏倚、峰凸、关联等特征描画，一个特征用一个数值表达就称作随机变量的数字特征(digital characteristic)。数字特征描画了随机变量察看值分布的集中位置、分布情况和偏倚程度等。数字特征由察看值和概率密度为元素构造，最重要的两个数字特征是期望和方差。什么是数字特征？什么是数字特征？1.3 随机变量的数字特征期望：量度察看值分布的“重心 或“中心方差：量度察看值分布的分散程度协方差：量度两变量察看值的关联程度相关系数：量度两变量察看值的关联程度峰度：量度察看值分布密度相比正态分布的集聚程度偏度：量度察看值分布密度相比正态分布的偏倚程

47、度随机变量的主要数字特征随机变量的主要数字特征1.3 随机变量的数字特征1.3.1 随机变量的矩Moment1.3 随机变量的数字特征xpx离散随机变量的离散随机变量的k阶原点矩阶原点矩111kkkjjjkjjjjjmE Xx px pp质量面积密度1.3.1 随机变量的矩1k阶原点矩(k-order moment)(xfxO1.3.1 随机变量的矩1k阶原点矩(k-order moment) kkkkmE Xx f x dxxf x dxf x dx延续随机变量的延续随机变量的k阶原点矩阶原点矩质量面积密度xpx1.3.1 随机变量的矩4k阶中心矩(central moment)111kkk

48、jjjkjjjjjmE Xxpxpp XE离散随机变量的离散随机变量的k阶中心矩阶中心矩)(xfxO kkkkmE Xxf x dxxf x dxf x dx1.3.1 随机变量的矩4k阶中心矩(central moment) XE延续随机变量的延续随机变量的k阶中心矩阶中心矩1.3.2 随机变量的数学期望Expectation or Mean1.3 随机变量的数字特征1.3.2 随机变量的数学期望 随机变量的一阶原点矩，称作随机变量的数学期望，简称期望(expectation)或均值(mean)。期望描画随机变量察看值的集中趋势，即察看值分布的重心；在概率密度分布对称时，也是察看值分布的中心

49、。(1)数学期望(Expectation)mean数学期望的意义概率面积的重心1.3.2 随机变量的数学期望(1)数学期望(Expectation)期望是察看值分布的重心1.3.2 随机变量的数学期望期望是随机变量察看值分布的重心概率密度分布对称时也是分布中心(1)数学期望(Expectation)期望是察看值分布的重心1.3.2 随机变量的数学期望iipppxxx2121 1iiixfxXE离散变量的期望是察看值与概率密度乘积的全部之和(2)离散变量的期望(Expectation)1.3.2 随机变量的数学期望 E(X) 本质上是随机变量X一切察看值的算数平均，这就是为什么期望E(X)又称作

50、均值(mean)的缘由。 1iiixfxXE(2)离散变量的期望(Expectation)掷一颗均匀的骰子，以X表示掷出的点数，求X的数学期望。 5 . 361654321)(61iiixfxXE1.3.2 随机变量的数学期望(2)离散变量的期望(Expectation)求随机变量X2的数学期望1667.156/9161654321)(2222226122iiipxXE1.3.2 随机变量的数学期望(2)离散变量的期望(Expectation)1.3.2 随机变量的数学期望0-1分布随机变量X的期望pp110 pppXE110(2)离散变量的期望(Expectation)0-1分布的期望分布的

51、期望1.3.2 随机变量的数学期望泊松分布随机变量X的期望eexeexxexxXExxxxxx1101!1!)(2)离散变量的期望(Expectation)1.3.2 随机变量的数学期望 E Xxf x dx延续变量的期望是察看值与概率密度乘积的全域积分(3)延续变量的期望(Expectation)1.3.2 随机变量的数学期望正态分布随机变量X的期望正态分布N(,2)中的参数恰好是期望2121()2xE Xxedx(3)延续变量的期望(Expectation)1.3.2 随机变量的数学期望 设C为常数，并离散或延续随机变量X、Y的期望E(X)和E(Y)均存在，那么 常数的期望仍是常数本身：E

52、(C)=C；常数与变量积的期望等于常数与变量期望的积E(CX)=CE(X)两变量X与Y和的期望等于变量期望的和E(X+Y)=E(X)+E(Y)两独立变量X与Y积的期望等于变量期望的积E(XY)=E(X)E(Y)(4)期望的运算法那么1.3.2 随机变量的数学期望对恣意随机变量系有niiniiXEXE11niiniiXEXE11对独立随机变量系有(4)期望的运算法那么1.3.3 随机变量的方差variance1.3 随机变量的数字特征 设随机变量的期望 E(X) 存在，假设二阶中心矩 EX-E(X)2 存在，那么称它为随机变量X的方差。记作1.3.3 随机变量的方差 2XEXEXVar显然，Va

53、r(X)0方差是随机变量中心偏向平方的数学期望 22XEXE或：(1)方差(Variance)1.3.3 随机变量的方差 12)()(iiixfXExXVar dxxfXExXVar2)(离散随机变量方差的定义：延续随机变量方差的定义：(1)方差(Variance)1.3.3 随机变量的方差方差描画随机变量察看值相对于重心(期望)的分散(离散)程度(2)方差的意义方差与察看值的分散程度1.3.3 随机变量的方差 方差的平方根称作随机变量X的规范差(standard deviation)。记作 XVar显然，0规范差与随机变量X具有一样的量纲(3)规范差(Standard Variance)规范

54、差与察看值的分散程度22)()()(XEXEXVar2222222)()()()()(2)()()(2)()(XEXEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXVar由数学期望运算法那么推导如下：1.3.3 随机变量的方差(4)方差计算公式1.3.3 随机变量的方差)1 (1)1 (0)()()(22222pppppXEXEXVarpp110概率矩阵： pXE期望：(5)0-1分布随机变量的方差1.3.3 随机变量的方差 PX XE2222)()()(XEXEXVar 泊松随机变量的方差和期望一样，阐明其分布可由独一参数所完全确定。(6)Poisson分布随机变量的方差2,NX XE1.3.3

55、随机变量的方差222222)()()(XEXEXVar正态随机变量的方差恰好是概率密度中的参数2，正态分布由期望和方差所完全确定(7)Normal分布随机变量的方差 设C为常数，并离散或延续随机变量X、Y的方差Var(X)和Var(Y)均存在，那么 常数的方差等于0：Var(C)=0；常数与变量积的方差等于常数平方与变量方差的积 Var(CX)=C2Var(X)两独立变量X与Y代数和的方差等于变量方差的和 Var(XY)=Var(X)+Var(Y)变量X与常数C之和的方差等于变量的方差 Var(X+C)=Var(X)1.3.3 随机变量的方差(8)方差运算法那么1.3.3 随机变量的方差对独立

56、随机变量系有niiniiXVarXVar11(8)方差运算法那么1.3.3 随机变量的方差 设随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)均存在，那么下面随机变量X*称作随机变量的规范化变换： )()(*XVarXEXX随机变量的规范化变换等于随机变量减去期望再除以规范差(9)随机变量的规范化变换随机变量规范化变换公式1.3.3 随机变量的方差0)()()(1)()(1)()()(*XEXEXVarXEXEXVarXVarXEXEXE规范化随机变量的期望等于0(9)随机变量的规范化变换规范化随机变量的期望 11)()()(2*XVarXVarXVarXEXVarXVar规范化随机变量的方差等于1

57、1.3.3 随机变量的方差(9)随机变量的规范化变换规范化随机变量的方差1.3.3 随机变量的方差XXX*泊松分布随机变量的规范化变换：01XEXXVarVar(9)随机变量的规范化变换1.3.3 随机变量的方差XZ正态随机变量的规范化变换：21011XEE XXVarVar X(9)随机变量的规范化变换1.4 大数定律Law of Large Number1 概率分布n大数定律的诞生背景大数定律的诞生背景n什么是大数定律？什么是大数定律？n均值大数定律均值大数定律n频率大数定率频率大数定率n小概率事件原理小概率事件原理1.4 大数定律本节内容大数定律背景：事件的大量独立反复实验大量抛掷硬币正

58、面出现频率字母运用频率字母运用频率消费过程中的废品率 有稳定性有稳定性测量值的算术平均值具测量值的算术平均值具某一常数某一常数事件发生的频率稳定于事件发生的频率稳定于1.4 大数定律 大数定律(law of large number)研讨两个问题：(1)变量n次观测的均值(mean)随n无限增大能否趋向某定值的问题，称作均值的稳定性；(2)变量n次观测的频率(frequency)随n无限增大能否趋向某定值的问题，称作频率的稳定性。假设“n无限增大均值或频率就趋于一个定值，此时称均值或频率具有稳定性。什么是大数定律？1.4 大数定律 大数定律在统计实际中有重要意义，它是许多统计方法赖以成立的实际

59、根据。例照实践问题中，随机变量的概率分布、期望和方差等往往是无法得知的，但只需做足够多的独立反复实验，根据大数定律，就可将观测样本的频率、均值和方差当作被抽样总体的概率、期望和方差，称为统计估计。“大数就是“足够多或“大量的意思。 什么是大数定律？1.4 大数定律1.4.1均值大数定律Law of Large Number on Sample Mean1.4.1 均值大数定律 随机变量系X1,X2,Xn,是随机变量X的假设干次观测，且彼此独立，并具有一样的期望E(Xi)=和方差Var(Xi)=2，i=1,2,，做前n次观测的平均，那么对于恣意小正数，有 11lim1niinXnP契比雪夫 (1)契比雪夫大数定律u契比雪夫大数定律阐明，一样条件下对随机变量X做反复独立实验，当实验次数n趋于无穷大时，n次实验结果的均值与期望之间的误差小于恣意小正数是必然事件，有两个要点：u实验次数n愈大，均值就愈接近期望，即它们的差别愈小；u只需n充分大，就可用样本均值估测期望1.4.1 均值大数定律(2)契比雪夫大数定律的内涵均值以概率1收敛于期望1.4.1 均值大数定律大数定律以严厉的数学方式表达了随机景象最根本的性质之一：平均结果的稳定性 n愈大均值的察看值愈集中在期望附近。 (2)契比雪夫大数定律的内涵1.4.1