小升初奥数系统复习

1、行程模块超常挑战1 、 甲乙两人分别从 A 、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 地如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地D 距 C 地 10 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地E距C地5千米 . 问甲原来的速度是每小时多少千米？AMDCENB甲乙乙提速甲提速DC=10kmEN=10kmDM=10kmCE=5km【解析】 3 次相遇中，两人的行程距离，行程时间都不相同，所以应讲其中的一项化为相等当乙每小时多行走 4 小时，相遇地 D 距 C 地 10 千米，相遇之后，

2、让他们继续在走，则甲到C 地共用时 5 个小时，此时乙可以多行走到20km也就是 CM=20km，相当于相遇之后，甲走的路程是 10km ，乙的路程也是 10km ，所以 甲的速度 = 乙的速度 +4 ；同样的分析方法，甲每小时多行3 千米，相遇地 E 距 C 地 5 千米，他们继续前行，当乙到达C 地共用时 5个小时，此时甲到达N 地，此时 CN=15km,相当于相遇之后甲走了 EN=10km,乙走了EC=5km,所以此时甲乙的速度关系为:甲的速度 +3= 乙的速度 2,所以甲的为原来的是速度为11 千米此题利用了假设法，假设两人相遇之后继续前进向前走，由于时间一样，利用两人前后的路程与速度

3、成正比得速度的关系式，然后按照比例分配得到真确答案，解答行程很多时候我们都会用到假设法 .计算和计数课后练习题详解1、 2094947941.65 20952047.5 0.8 2.5952095解析：考查了提取公因数(乘法分配律的反用 )20 941.6520 94720 9447.50.82.5提取公因数9595209520 941.651747.50.82.5分数化小数952020 941.6510.3547.50.24 2.5结合律以及拆出 42.5 凑 10959420 1 47.5 0.2 109520 9495199495答案： 19942、11111111223242992解析

4、：此题考查了完全平方数a2b2abab ，1992199199198100981001992992992999999211111111429922322132498100括号中的每一项都换成 n 1n 1 的形式22339999nn12398341002349923为了便于约分把所有括号中的第一项结合在一起第99二项也结合在一起11005099299答案：50993、 0.70.97.0997099970.999970.999997解析：凑整（利用运算律把参与运算的数字凑成整“1 ”整“ 10 ”，整“ 100 的数）0.70.97.0997099970.999970.99999710.310

5、.0310.00310.00031 0.00003 1 0.000003 凑“ 1 ”1111110.30.030.0030.00030.000030.000003结合律60.3333335.666667 ；答案：5.6666674、10+18+18234345667815解析： 分数的裂项，一个分数的分母是两数之积，分子式分母上的两个乘数的差，这样的分数都可以裂项，如 ba11 .101818abab+12334566784511+11+1112343456567分数的裂项811272785627答案：5 a， b ，c 分别是 0 到 9 中不同的数字，用a， b， c 共可组成六个三位数

6、，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？解析：此题考查的知识有位置原理，同余的性质（和的余数等于余数的和，乘积的余数等于余数的乘积）这六个数字分别为 abc acb bac bca cab cba ，根据位置原理 ，这六个数字百位上的数字有2个 a ，两个 b 两个 c ，同理，十位上和个位上也有2 个 a 两个 b 两个 c ，故六个数字的和为 222a222 b222c222 abc ，设另外一个六位数是M ，则222 abc2234M ，根据同余的性质，2234M 能被 222 整除，所有 M 除以 222 应余 208 ，M222k+208 ，当 k 0 的时候不可

7、以因为此时 M 为 208 ，这三个数字中不能含 0 ，当 k 1 ，也不成性，当 k 2 的时候成立，此时 M 652 ，当 k 3 的时候不成立，当 k 4 时， M 是四位数，以下不用再验证 .答案： 652行程模块课后练习题详解1 、每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时走出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇有一天，小刚提早出门，因此比平时早7 分钟与张大爷相遇已知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟?【解析】行程中的相遇问题小刚提前出门，比平时早7 分钟与张大爷相遇，如果继续走完这7 分钟 ,那么这 7 分钟小

8、刚和张大爷共计多走70+407=770 米 , 这 770 米应该是小刚提前出门所走的路程,又小刚的速度每分钟70 米 ,所以小刚比平时早出门77070=11 分钟 .2 、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60 米，乙每分钟走50 米，丙每分钟走40 米甲从A 地，乙和丙从 B 地出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15 分钟又与丙相遇，求A 、 B 两地的距离 .【解析】相遇和追击问题的综合相遇和追击的基本公式是：路程和 = 速度和相遇时间，路程差= 速度差追击时间 .ACDB 乙甲乙丙如图，甲和乙在C处相遇,相遇之后 15 分钟又与丙相遇 ,故甲和丙在这15 分钟内所走的路程 CD为 60+40

9、15=1500米 ,CD也是甲乙相遇这段时间内,乙超过丙的距离 ,甲乙相遇的时间为1500 5040150分钟 , 所以 AB 两地的距离为 15060 5016500米.3 、甲火车长 290米，每秒行20 米，乙火车长 250 米，每秒行25 米，两列火车在平行的轨道上同向行驶， 刚好经过一座 900米长的铁桥， 当甲火车车尾离开桥的一端， 同时乙火车车头刚好驶上桥的另一端，经过多长时间乙火车完全超过甲火车？【解析】这是一道火车过桥的题目，火车过桥是指火车车头上桥，车尾离桥这算过程。过桥时间= （车长+ 桥长）车速当乙火车完全超过甲火车时候,乙火车比甲火车多走了乙火车和甲火车的长度并加上轨

10、道的长度,共计 2502909001440 米 ,两火车的速度之差为25205米 / 每秒，所以乙火车完全超过甲火车的时间为14405288秒.4 、甲乙两人在一条90 米的直路上来回跑步，甲的速度是时分别从直路的两端A 、 B 两点出发，当他们跑12时到达某一点算作一次相遇）3 米/ 秒，乙的速度是 2 米 / 秒如果他们同分钟时，共相遇了多少次？（从出发后两人同【解析】这是一个多次相遇的问题，相关知识点如下：甲乙分别从A ， B 的两端出发的相遇问题：一次相遇走了1 个全程，二次相遇共走了3 全程，以后多相遇一次多走2 个全程， n次相遇共走2n-1个全程；甲乙分别从A， B 的两端出发的

11、追及问题:一次甲追上乙，甲比乙多走一个全程，二次追上乙比多走3 个全程，以后每次多追上一次甲就比乙多走两个全程， n 次追上乙，甲比乙多走2n-1 个全程 .在 12 分钟之内甲乙两人共走32 12603600 米，共 36009040 个全程，所以在这个40个全程里，甲乙共计相遇20次（因为相遇20 次甲乙共走39 个全程） ,在 12 分钟之内甲乙的路程差为321260720米，共追及 720908 个全程，所以在这个8个全程里，甲追上乙4次 .下面要注意了： 求共计相遇了几次并不是20+4=24 ，因为在相遇和追上在同一个地点，我们可以用柳卡图进行解释：甲第一次相遇第二次相遇第三次相遇第

12、四次相遇第五次相遇0153045607590105120135150165180秒AB1530456012007590105135150165180秒乙第一次追上甲 30 秒钟走一个全程，乙45 秒钟走一个全程，从图中可以看出，在 180 秒内甲乙相遇 5 次，甲追上乙 1 次，但是第三次相遇和第一次追上时在同一个地点，故在 180 秒内碰面 5 次，总共 12 6 720 内碰面 20 次 .5 、小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地 3 千米处相遇，第二次在距甲地 6 千米处相遇 ( 只算迎面相遇 ) ，则甲、乙两地的距离为千米【解析

13、】一次相遇走了1 个全程，二次相遇共走了3 全程，以后多相遇一次多走2 个全程， n 次相遇共走 2n-1 个全程，二次相遇所用的时间是一次相遇用时间的3 倍，两人各自所走的路程也是也是第一次所走路程的3 倍 .6甲ABCD乙3小王小李第一次相遇第二次相遇在一次相遇中小王走了 AB 为 3千米，两次相遇小王走AD+DC 为 339 千米，又因为 AC 为 6 米 ,所乙 AD+DC+AC 为两个全程是9 6 15 千米，甲乙两地的距离为152 7.5 千米几何模块课后练习题详解1 、 在长方形 ABCD 中， AD 15cm ， AB 8cm ，四边形OEFG 的面积是9 ，求阴影总面积.AD

14、E OGBCF【解析】本题考查了一半模型，选对模型是我们做对题的关键S DBFS AFC1 SABCD ，2S DBFS AFCS空白 +S OEFG ；S空白 +S OEFG1 SABCD =15 8 2=60 ；2S空白 =60 951 ，故 S阴影=15 85169，答：阴影部分的面积为69 .另解： 在梯形 ABFD 中， S ABES DFE (蝴蝶模型，两个翅膀面积相等)，所以阴影部分的面积转化为S ACDS四边形 OEFG1582969 .2 、如图，正方形ABCD 和正方形ECGF 并排放置， BF 与 EC 相交于点H，已知 AB=6厘米，则阴影部分的面积是 _平方厘米【解析

15、】此题考查等积模型连接 DF,则根据等积模型，S GDHS FDH故阴影部分的面积为S阴影S FDB ，再连接 CF，则 阴影S FDB=S BCD66218.S3 、如图，在三角形ABC 中， AD ： DB=1:3 ， AE： EC=2 ： 3 ，求 BF： CF 为多少？【解析】问题为塞瓦定理，应用燕尾模型。AS1S2S3BC根据燕尾模型：S1BFS2ADS3CES2FC；DB；S3S1AE三个式子相乘，得到BFCEAD =1，FCAEDB故 BF31 =1，所以BF =2:1；FC23FC注意：在塞瓦定理中比例的线段顺序不能乱.4 、在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形

16、DCE 、三角形 BCD 的面积分别是9 ，6，5，那么三角形 DBE 的面积是.BDACE【解析】根据面积的比例确定线段的比例：S ADE:SDEC9: 63: 2，故 AE:EC3:2，因为 S ABC96 520 ；所以 S BAE2032312,S DBE 1293 、如图，求阴影部分的面积(取 3 14)C4 A O20B【解析】本题考点：勾股定理和曲线形面积的综合如图所示，阴影部分面积等于半圆减去长方形面积长方形的长： AB2042 32连接 OC，在三角形 OBC 里边，我们知道OC=20 、 OB=16 ，根据勾股定理： OC 2BC 2OB 2求得： BC12长方形面积： A

17、BBC3212384 ，半圆面积：1 r 213.14202628，22所以阴影面积： 628-384=244数论模块课后练习题详解1 、 已知 201220122012是 72的倍数，求末两位数是多少？【解析】同余的性质72=89 ， 201220122012是 9 的倍数，所以 201220122012能够被9 整除，设这个数字设为201220122012ab ，根据被 9整除的性质， 15a b 是 9 的倍数，所以 ab 3 或者 a b12 ，又因为 201220122012是 8 的倍数，所以后三位数字是8 的倍数，也就是ab 是 8的倍数 .ab3时， b0， a3， ab30

18、舍去；b2 ， a1 ， ab12 舍去；ab12 时， b4 ， a8 ， ab84舍去；b6， a6， ab66 舍去；b8， a4， ab48 满足条件，所以末两位数字是48.答案 :482 、 是否存在自然数a 和 b ，使得 abab a 5b15015.【解析】奇偶分析法15015 3 5711 13 是个奇数， 故 15015的因数 a 、 b 、 a5b 都只能是奇数，但是 a 、 b是奇数时， a5b 就不可能奇数 . 所以不存在自然数 a 和 b ，使得 ab ab a5b15015 .答案：不存在3、在数字81352 、12358 、38512、51823 、83521

19、中，唯一的一个完全平方数是【解析】完全平方数的性质完全平方数的末尾数字只能是0,1,4,5,6,9 ，故唯一的一个完全平方数字只能是83521 ，事实上835212892 .答案： 835214 、 200920092009 的个位数字是 _2010个 2009【解析】同余（这一类题都是寻找规律，然后看余数是如何循环出现的）求解 200920092009的个位数字， 也就是求解这个数字除以10 的余数， 根据乘积的余2010个 2009数的余数等于余数的乘积，2009109 ；20092101；20093109；余数是9,1 循环出现的， 当是偶数个2009 相乘的时候除以10 的余数是 1

20、，也就是各位数字是 1 .答案： 1应用题与杂题模块课后作业题详解1、 盒子里有红球和白球若干， 若每次从里面拿出 1 个红球和 1 个白球， 那么当拿到没有红球时， 还剩下白球 50个， 若每次拿出1个红球和 3个白球，则拿到没有白球时，还剩下 50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？【解析】盈亏问题变形从里面拿出1个红球和 1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个 ;若每次拿出1个红球和 3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那我们继续拿，再拿50 次， 则当红球拿完的时候，还缺少白球150个，此时我们可以看出红球和白球1:1配对的时候还剩余白球50个， 当白球和红球1

21、:3配对的时候白球还缺少 150个, 两次中白球的差距为2 份，相差的个数为20+150=200 个 .所以红球的个数为（150+50） /2=100 ，所以白球的数量为100+50=150.2、 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字，前后共打50分钟，前25 分钟比后 25分钟少打 640个字，文稿一共字.【解析】工程问题因为饭前打了一半，饭后打一半， 总共打了 50分钟，所以打前一半所用的时间超过25分钟，前25 分钟比后 25分钟少打 640个字，而饭后每分钟又要多打32个字，则饭后打了640/32=20分钟，饭前打了30分钟，前 20分钟比后 20分钟少打

22、640个字，因为饭前打了一半，饭后打一半，所饭前 10分钟打了 640个字，所以饭前30 分钟总共打了640x3=1920 个字，总共打了3840 个字。3、 一项工程，甲单独做 40天完成，乙单独做60天完成现在两人吅作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成问甲休息了几天？【解析】工程问题。设工作总量为“ 1”,那么甲的工作效率为1/40, 乙的工作效率为1/60,则乙工作 27天完成的工作量为27x1/60=9/20,甲的工作量为1-9/20=11/20,所以甲工作的时间为（11/20 ） / （ 1/40 ） =22天，所以甲休息了27-22=5天。方法二，如果甲不休息，甲乙吅

23、作的工作效率为1/40+1/60=1/24,则 27 天他们共完成 27/24, 超过工作总量 27/24-1=1/8,这是甲休息的时间为（1/8 ）/ （1/40 ） =5天4、 在甲容器中装有浓度为 10.5% 的盐水 90 毫升，乙容器中装有浓度为 11.7% 的盐水 210 毫升如果先从甲、乙容器中倒出同样多的盐水，再将它们分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的盐水甲、 乙容器各倒出了多少毫升盐水？【解析】浓度问题设相同的浓度为A ，A 相当遇于90是浓度升 10.5% 和 11.7% 的盐水的比为毫升 10.5% 的盐水同90:210=3:7,210毫升11.7% 的盐水后的浓

24、度，这甲倒出的盐水为B ，乙也倒入盐水也为的盐水 B 升的比例也为3:7 ，即 90-BB ， 那么甲容器中浓度为：B=3:7 ，10.5% 溶液（ 90-B ）升和11.7%7x（ 90-B ）=3xB所以B=63升 .5、要把61个乒乓球分别装在若干个乒乓球盒中, 每个盒子最多可以装5个乒乓球, 问: 至少有多少个盒子中的乒乓球的数目相同?【解析】抽屉原理每个盒子最多可以装5 个乒乓球，那么盒子中可以装1个，2 个，3 个，4 个，5 个. 把这 5中情况组吅在一起看成一组，也就是说一组中含有5个盒子，这五个盒子设为ABCDE,， 根据最不利原则，A 抽屉放一个， B 抽屉放两个， C 抽

25、屉放 3个， D 抽屉放 4 个， E 抽屉放 5个。 这样， 一组就5个盒子中一共 15 个乒乓球，没有一个盒子中乒乓球的数目相同，再增加一个球，就有乒乓球数目相同的盒子 .因为 61/15=4 ····· 1，61 个球总共分成 4 组，还会多一个球。四组中每组都有相同的盒子，一共有4 个盒子中乒乓球数目相同。4+1=5 ，所以至少5个盒子中的乒乓球的数目相同.5 、学而思三年级某班同学上体育课，排成3行少 1人，排成 4行多 3 人，排成5行少1人，排成 6行多 5 人，问上体育课的同学最少人【解析】设上体育课的学生最少有M人：排成 3行

26、少 1人， M3a1；排成 4行多 3 人，也就是排成4行少1人，M4b1；排成 5行少 1人， M5c1；排成 6行多 5人，也就是排成6行少1人，M6d1,M 3,4,5,6d 160d1， M 最少为 59，所以上体育课的同学最少59 人.应用题与杂题模块课后作业题详解1、盒子里有红球和白球若干，下白球 50 个，若每次拿出若每次从里面拿出1 个红球和1 个白球， 那么当拿到没有红球时，还剩1 个红球和3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下50 个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？【解析】盈亏问题变形从里面拿出1 个红球和1 个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50 个;若每次拿出

27、1 个红球和3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下50 次，则当红球拿完的时候，还缺少白球150 个，50 个红球，那我们继续拿，再拿此时我们可以看出红球和白球 1:1 配对的时候还剩余白球球还缺少 150 个 ,两次中白球的差距为 2 份，相差的个数为50 个，当白球和红球20+150=200个 .1:3配对的时候白所以红球的个数为（150+50） /2=100，所以白球的数量为100+50=150.2 、甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打25 分钟比后25 分钟少打640 个字，文稿一共字.32 个字，前后共打50 分钟，前【解析】工程问题因为饭前打了一半，饭后打一半，总共打了50 分钟，所以打前一半所用的时间超过25 分钟，前25 分钟比后25 分钟少打640 个字，而饭后每分钟又要多打32 个字，则饭后打了640/32=20分钟，饭前打了30 分钟，前20 分钟比后 20 分钟少打640 个字，因为饭前打了一半，饭后打一半，所饭前 10 分钟打了640 个字，所以饭前30 分钟总共打了640x3=1920个字，总共打了3840 个字。3 、一项工程，甲单独做40 天完成，乙单独做60 天完成现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27 天才完成问甲休息了几天？【解析】工程问题。设工作总量为“1 ”,那么甲的工作效率为1/40, 乙的工