《航天制导与控制基础》作业要点

1、参考资料：【1】卫星轨道姿态动力学与控制，章仁为，北京航空航天大学出版社。【2】航天器控制原理，周军，西北工业大学出版社。第二章 作业一、设刚体B相对某参考坐标系的姿态可用方向余弦阵 A表示，角速度矢量为试证明:(1) AAT= E(2) A =1(3) dA/dt = - A证明：设A12A22A32A13A23A33A1A = A2-A3AATA12A22A32A13A11A12A21A31A22A32A23A33一A21A22AnAA = A21A1 +A22 A12 *A23 AA31 A11 + A32 A12 + A33A13A11A21 A12A22A3 A23A21 '

2、 A22 ' A23A31A21A32 A22A33 A23A11 A31 * A 2 A32 * A 3 A33A21 A31 * A22 A32 * A23 A33A31 + A32 + A33根据A阵的性质，可知AAT =(2)由于方向余弦阵A描述的坐标系皆为右手正交坐标系，由此可以验证(代入 变换矩阵公式即可验证).T .*又由于T .-1-1*A = A / A因此，由可以推知A =1令姿态相对参考坐标系的转速为0，转轴为e,则切=切e。如在t时刻姿态矩阵为A(t),在t+At时刻为A(t+3)。如用A，表示姿态的变化，则有A(t+ t) =A A(t)利用Euler轴/角与

3、姿态矩阵间的转换关系，可以写出A' =cos I (1 - cos )eeT - sin e当AtT。时，A = I -，t因此，有A(t+ t) = A(t)- t A(t)A(t t) - A(t)dA/dLLim。l ; U= - A(t)二、试推导方向余弦阵与Euler轴/角间的转换关系解：设转轴为e,转角为 心 对任意矢量a,旋转后所对应的矢量为a',如图1 所示。2定义e au 二ea1e aasin1v =e uu' =cos u sin va' = acos ?e asin uu'将式(1卜式(3)代入式可得，a' = (1 -c

4、os )(e a)e cos a sin (e a)(2)参考坐标系轴”经欧拉转动得出对应的本体坐标轴Xb ,则xb=(1 -cos )(e xr)e cos xr sin (e xr)(6)cose +e2(1 - cos®) A(e,®) = exey(1 - cos*) -ex sin* exez(1 - cos*) +ey sin*exey(1 - cos ) ez sin cosej(1-cos )eyez(1 - cos ) - ex sinexez(1-cose) -ey sin8 eyez(1 一 cos*)+ ex sin4cos* +e2(1 cose)

5、根据姿态矩阵的定义，将本体系各轴按式（6）展开并代入，可得证毕3= cos I (1 - cos )eeT -sin e由上式可得1e =72sinAyz - Azy | Azx - Axz _AyAyx 一1costr A -12三、设固连于某刚体的坐标系 Oxyz相对参考坐标系OXYZ的姿态可用2-3-1Euler角描述,(1)试画出两个坐标系的相对旋转关系；(2)试求出对应的姿态矩阵及其逆矩阵； 试推导以2-3-1Euler角描述的姿态运动学方程解：(1)假设从坐标系Oxyz到坐标系OXYZ经过三次旋转：绕Oxyz的Oy轴旋转角度9,得到坐标系Oxiyizi;绕坐标系Oxiyizi的Oz

6、i轴旋转角度叫得到坐标系Ox2y2z2；绕坐标系Ox2y2z2的Ox2轴旋转角度中，得到坐标系OXYZ;相对旋转关系如下图所示：XX ",X"'X7经过“2-3-i”旋转，就可以完成Oxyz至|J OXYZ的转化，变换矩阵R为:iR = 0：000cos-cos*sin 中 -sin-sin 中 cos中一.0sin,cos-00 cos00i _sin日0 -sinui 00cos9cos - cossin'-cossin干 cos中 + sin日sin* cos cos中：cossin sin* + sin日cos* - co普 sin中-sin cos

7、sinf sin' cos cos- sin-sin sin' sin : cos- cos :因为变换矩阵R是正交矩阵，因此：R4=RT , '231 =Ri( ) ?&(' )？ R(u)uZ-10L0VI00cos -sin ,-Icos十 0 cos®00-sin®1©1 一cosW0sin -sin'-0sin'-cos-0cosi0“iM?in9cosJ-sinVcos®|_ 0sin'-cos'-01jl01j-sin 10cose Jl0L；Is +sinW1sin

8、1 中.+ cos c cosW cosM -sin c cosW四、试写出描述刚体绕固定点转动的Euler方程，并分析在什么情况下，可以使三轴运动解耦。解：刚体绕固定点转动的Euler方程式（1）所示当体坐标轴与惯性主轴重合时，上式可写为:Jx切x _(Jy - Jz)«y«，Jygy -(Jz - Jx海声J z 切 z _(Jx _Jy)0 护显然，当Jx=Jy=Jz时，三轴运动解耦。第四章 作业一、证明在仅有二体引力的作用下,航天器机械能守恒。（参见讲义P33）【周军P22】证明：设r为二体之间的位置关系矢量, 关系式：根据二体问题的力学方程，可得到如下用r =0与

9、上式点乘，可得:.P .r *r =r * r =0r根据矢量运算法则a，a=aa,故上式可写为：.N .rr rr = 0r对上式进行积分，可得证毕由上式可知航天器的机械能守恒。二、证明在二体问题中，航天器的运动轨道始终处于空间中的一个固定平面内。（参见讲义P32）【章仁为p2】证明：在地心第一赤道坐标系中，航天器运动方程为:Lxry3rzz 二 一二r将上式的第二方程乘以z减去第三个方程乘以y,可得:yz - zy = 0同理可得:yz zy = Azx - xz = Bxy - yx = C其中，A, B, C是积分常数。进一步整理，可以得到:Ax By Cz = 0证毕故航天器在一个平

10、面内运动。三、证明开普勒第二、第三定律。证明：首先证明开普勒第二定律。【章仁为p3】由上图，可以写出三角形OBB .的面积为-1A = rr sin 32因此，有进而可得A 1 sin ：11：【sinu一二一rr 二一 rr. ：t 2：t2-：t：A 1A = lim =lim rr - t-o -：t.t-02上咄2r2h上式表明，航天器在单位时间扫过的面积是相等的卜面证明开普勒第三定律。【章仁为p5】由于2 二 abT = h 这里nab是整个椭圆的面积，T为周期。因为轨道是椭圆轨道，可得:b = a2 -c2 =：；a2(1 -e2) = , aph 二,p从而，可得：3/2 a即:

11、证毕。T2上式表明，卫星轨道周期的平方和椭圆轨道半长轴的三次方成正比。四、设某地球卫星质心到地心的距离为 r,椭圆轨道的半长轴为a,偏心率为e,偏近点角为E,试证明r = a(1 - ecosE)。证明：【章仁为p6】BbPae由上图，可以写出:acosE = ae r cosf由轨道运动方程a(1 - e2)1 ecosf 1 ecosf可得2、,a(1 -e ) -rr cos f 二将上式代入第1式，并整理可得:r = a(1 - ecosE)五、什么是轨道六要素，它们是如何确定航天器在空间中位置的？【章仁为p7】解：航天器运行的轨道形状和其在空间的位置， 可以通过6个参数来表示，简称

12、轨道要素。轨道六要素是描述和确定航天器轨道特征的量。1、轨道倾角i:航天器运行轨道所在的平面与赤道面的夹角。2、升交点赤经C:以地球自转方向为正，从春分点方向轴量起的开交点的经度。3、近地点角距s投影在大球上的椭圆轨道近地点于开交点对地心所张的角度， 从开交点顺航天器运行方向量到近地点。4、椭圆轨道的长半轴a。5、椭圆轨道的偏心率e。6、航天器过近地点的时刻tp0这就是航天器的轨道六要素，它们是怎样确定航天器轨道的呢？首先，轨道倾角i和升交点赤经建确定航天器轨道平面在空间中的方位；其次，近地点角距与确定椭圆长轴在轨道平面上的指向；第三，长半轴a和偏心率e确定椭圆轨道的形状和大小；第四，航天器过

13、近地点时刻tp把时间和空间联系起来，确定了航天器在轨道上的 位置。六、设对地定向的某三轴稳定卫星沿近圆轨道运动，轨道角速度为为。固连于星体的本体坐标系为惯量主轴坐标系，转动惯量矩阵为J=diag(Jx, Jy, Jz),卫星相对轨道坐标系的姿态可用2-3-1Euler角描述。(参见讲义P41)(1)试推导卫星完整的姿态动力学模型；(2)在小角度假设下，对上述模型进行线性化；(3)试定量分析轨道高度分别为 2000km和200km时各姿态通道间耦合的强弱，并分析产生耦合的原因。解：航天器的姿态运动方程可表示为：Mx=Ix + (Iy-Iz-Ix)00+(Iy-Iz)W« M y = I

14、 yBMz =W-(Iy Tz Tx产 0g(Iy - Ix)*当Ix IyIz完全相同时，可得:Mx =Ix-z-0-JM y = Iy6Mz =IzW' + Ix5 ?由上式可知，俯仰通道和滚转、偏航通道是没有耦合的。滚转通道和偏航通道之间是耦合的,其耦合强弱与航天器的轨道角速度有关。由于航天器的轨道是圆轨道，有：- -0 -'1- / r3因此，轨道高度为2000km与轨道高度为200km的耦合强度之比为：1 J/20003/2003即，10-3/2。产生耦合的原因主要是由于轨道角速度的存在，使得航天器的滚动轴和偏航轴经过四分之一周期出现交替，从而出现耦合。七、利用欧拉动

15、力学方程分析10-5Nm数量级的常值干扰力矩对自由飞行状态下的航天器的姿态影响。解：解耦后，航天器姿态运动的简化方程为：” = Mx ，Iy5=My jY=m z可见，航天器的姿态是外力矩的二次积分， 所以，当航天器存在一个常值的干扰 力矩时，航天器的姿态会随时间的平方发生变化。 因此，即使常值干扰力矩的数 量级为10-5N-m,但经过长时间的积累，也会出现很大的姿态偏差， 甚至出现翻 滚。八、航天器重力梯度稳定的条件是什么，并简要证明之。解：航天器重力梯度才I定的条件是：Iy > Ix > Izo证明过程如下: 重力梯度力矩在小角度线性化后，可得到如下表达式：Mx O（Iy -I

16、z）：My = -3 2（Ix -Iz尸Mz =0带入航天器姿态运动方程，得到：Ix - 4(Iy -Iz) 0 ： -(Ix -Iy Iz) '0- =023 3(Ix - Iz) 3 一0Iz'- -(Ix -Iy) 2，-(Ix -Iy Iz) O； =0首先，考虑俯仰运动，具方程为：IyB 3(底-、3 )0显然，稳定性的必要和充分条件是：Ix Iz然后研究滚转、偏航耦合运动Ix ； 4(Iy -Iz) ； ： -(Ix -Iy Iz) d =0Iz'-'-(Ix -Iy) '2，-； (Ix y Iz) '0- 0经过拉式变化后，可得到

17、其特征方程为：:22_ IxS +4(Iy -Iz)«0(I* Iy +Iz) 8 0s_ (I x _ I y + I z)/ 0s 22 = 0IzS2 -(Ix -Iy)014展开整理可得:IIvi,12fi,Yi、，7其中：p = 2 -3十2一 一一 十,q =4 - -1 - -1 0 稳定条件为:I xIxIzI xIzJz人 Ix,xxzx zzx2p 0, q 0, p - 4q 0其充分必要条件为：I y I x, I y I z y x y z结合前面俯仰通道的稳定条件，可得航天器重力梯度稳定的条件是:I y > Ix > I z第五章 作业一、比较

18、地球同步轨道与静止轨道的异同。【周军p36】二、求地球静止轨道的高度和静止卫星的运行速度。【章仁为p29三、如果需要对某一地区每30d在同样的光照条件下观测一次，观测卫星的轨道 为800Km圆轨道。试求 T、N、机参见讲义P49。NT( e -)=2 K地球自转角速度8e已知，为7.292x10-5rad/s； K=30;取太阳同步圆轨道，轨道面转动角速度 Q =2jr/365.24=0.0172029 rad/d;根据轨道高度，算出轨道周期T=2-产-1/2= 6052s,从而可以推知No次回归系数，等于N/K。四、分析地球扁率、大气阻力、日/月引力对航天器轨道的影响。【周军p39 41】五

19、、什么是霍曼转移，有什么特点？参见讲义P61。六、平面外轨道转移有几种方式？比较各种方式的优劣。参见讲义P64。第六章作 业一 、简述双锥相交法定姿的原理。【章仁为】 p191在自旋卫星的姿态确定中， 能否仅根据太阳角和天底角唯一确定自旋姿态？为什么？不能。 根据双锥相交法定姿的原理， 仅根据太阳角和天底角的测量信息， 可 以得到两个姿态的解。为唯一确定自旋姿态，必须引入附加测量信息。三、 在三轴稳定卫星的姿态测量中， 能否用红外地球敏感器测量出星体的偏航姿态？为什么？不能。 因为地球是球对称的， 对于红外地球敏感而言， 卫星绕地垂线的转动（偏航运动）是不可观的。四 、 证明航天器的自旋稳定原理， 分析航天器绕最小惯量轴旋转不稳定的原因？【周军p80】五 、从动力学方程出发，分析证明章动的运动特性和形式。【周军 p82】六 、主动章动阻尼和被动章动阻尼的区别是什么？两者皆可阻尼航天器的章动，不同之处在于：1、被动章动阻尼不消耗电能和燃料，简单易行，而主动章动阻尼则需要消耗电能和燃料，还需要配置敏感器测量章动，比较复杂；2、被动章动阻尼只能应用于绕最大惯量轴自旋的卫星，而主动章动阻尼还可应用于绕最小惯量轴自旋