导数的运算法则PPT精选文档

1、小蜗牛小蜗牛小蜗牛问妈妈：小蜗牛问妈妈：“为什么我们生下来，就要背为什么我们生下来，就要背负这个又硬又重的壳呢？负这个又硬又重的壳呢？”妈妈说：妈妈说：“因为我们身体因为我们身体没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快所以需要这个没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快所以需要这个壳的保护！壳的保护！”小蜗牛说：小蜗牛说：“毛虫妹妹没有骨头，也爬毛虫妹妹没有骨头，也爬不快，为什么她却不背这个又硬又重的壳呢？不快，为什么她却不背这个又硬又重的壳呢？”妈妈妈妈说：说：“因为毛虫妹妹能变成蝴蝶，天空会保护她啊！因为毛虫妹妹能变成蝴蝶，天空会保护她啊！”小蜗牛又问：小蜗牛又问：“可蚯蚓弟弟也没骨头爬不快，也不会可蚯蚓

2、弟弟也没骨头爬不快，也不会变成蝴蝶，她为什么却不背这个又硬又重的壳呢？变成蝴蝶，她为什么却不背这个又硬又重的壳呢？”妈妈说：妈妈说：“因为蚯蚓弟弟会钻土，大地会保护他啊！因为蚯蚓弟弟会钻土，大地会保护他啊！”小蜗牛哭了：小蜗牛哭了：“我们好可怜，天空不保护，大地也不我们好可怜，天空不保护，大地也不保护保护”蜗牛妈妈安慰她说：蜗牛妈妈安慰她说：“所以我们有壳呀！所以我们有壳呀！我我们不靠天，也不靠地，我们靠自己！们不靠天，也不靠地，我们靠自己！”学习目标学习目标1.1.理解和掌握导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导理解和掌握导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导2 2.熟悉导数的运算法则及导数

3、基本公式；熟悉导数的运算法则及导数基本公式； 3.3.熟练掌握函数的求导计算方法。熟练掌握函数的求导计算方法。重点：重点：利用导数的四则法则求导利用导数的四则法则求导难点：难点：复合函数的导数求法；复合函数的导数求法；常与导数的综合应用结合进行考查常与导数的综合应用结合进行考查导数的运算法则及运算导数的运算法则及运算（5）对数函数的导数）对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（4）指数函数的导数）指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）三角函数）三角函数 ： xxsin)(cos2）（1

4、）常函数：）常函数：(C ) 0, (c为常数为常数)； （2）幂函数）幂函数 ： (xn) nxn 1 回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式导数的运算法则导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg

5、xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函等于第一个函数的导数乘第二个函数数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平再除以第二个函数的平方方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x轮流求导之和轮流求导之和上导乘下，下导乘上，差比下方。上导乘下，下导乘上，差比下方。推论：推论： )()()()()()( ) 1 (321321xfxfxfxfxfxf);( )()2(xfkxkf wuvwvuvwuuvw

6、 )()3()()()(1)4(2xvxvxv 可推广到有可推广到有限个限个公式中都是对自变量公式中都是对自变量x x求导求导, ,若换变量同样成立若换变量同样成立 . .注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数. .(u1u2un)u1u2un.例例1 1解：解：yxxxy 求求设设,4sincos2sin3 )4sin2cossin(3 xxxy)sin(3xx )sin(sin)(33xxxx .2sincossin332xxxxx )2cos(x )4sin( )sin(2x 0 例例2.tan的的导导数数求求xy 解：解：)cossin()(tan xxxyxx

7、xxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 yxyxx 求求设设,loge23)log()e2(3 xyxx例例3解：解：)e (2e)2( xxxxln2e2xx .3ln1)12(ln)2(xex ln31x xxe2 ln31x .%982;%901:,.100801005284:%1.,.化率化率所需净化费用的瞬时变所需净化费用的瞬时变时时求净化到下纯度求净化到下纯度为为元元单位单位用用时所需费时所需费化到纯净度为化到纯净度为吨水净吨水净已知将已知将用不断增加用不断增加所需净化费所需净化费纯净度的提高纯净度的提高随着水随着水净化的净化的

8、经过经过通常是通常是日常生活中的饮用水日常生活中的饮用水例例 xxxcx解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284 (100)5284 (100)( )100(100)xxc xxx=(25284(100)x20 (100)5284 ( 1)(100)xx 25284( )(100)c xx25284(1)(90)52.84(10090)c.8纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52 4元/吨。25284(2)(98)1321(10098)c纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。?2ln的导数呢如何求函数思考xy.,22ln2ln.ln,22的函数

9、表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu .2ln,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,3232,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxy复合函数的求导法则：复合函数的求导法则：dxdududydxdy 且且有有处处可可导导也也在在点点那那么么复复合合函函数数处处可可导导在在对对应应的的点点而而函函数数处处可可导导在在点点如如果果数数,)(,)(,)(xxfyuufyxxu . )()()(xufxf 或或特点特点： 因变量对自

10、变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(链式法则链式法则)xuxuyy 也也可可记记为为 .),(,xgfyfunctioncompositexguufyxyuxguufy 记记作作的的和和那那么么称称这这个个函函数数为为函函数数的的函函数数可可以以表表示示成成如如果果通通过过变变量量和和对对于于两两个个函函数数一一般般地地复复合合函函数数推广：推广：,)(),(),(都都可可导导设设xvvuufy .)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 注意：注意：可推广到有

11、限次复合可推广到有限次复合. .,)()(,)(:然然后后相相乘乘即即得得导导数数的的对对的的导导数数和和对对可可先先求求出出的的导导数数时时对对求求复复合合函函数数xxuuufyxxfy 说明 熟练该法则后熟练该法则后, ,在求导时可不必写出中间变量在求导时可不必写出中间变量, ,但但对对中间变量的求导决不能遗漏中间变量的求导决不能遗漏. . 方法是：方法是：从外到内从外到内, ,逐层求导逐层求导. . .,sin3;2;3213105. 02均为常数均为常数其中其中求下列函数的导数求下列函数的导数例例 xyeyxyx .3232122的的复复合合函函数数和和可可以以看看作作函函数数函函数数

12、解解 xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy 232 xu.1284xu .105. 02105. 0的复合函数和可以看作函数函数xueyeyux由复合函数求导法则有xuxuyy 105. 0 xeu.05. 005. 0105. 0 xuee .sinsin3的复合函数和可以看作函数函数解：xuuyxy由复合函数求导法则有xuxuyy sinxu.coscosxu均为常数），其中).(sin() 3(xy问题问题1:指出下列函数的复合关系指出下列函数的复合关系)()sin()1 11 12 2n nm my ya ab bx xy yx xx x),1 1m mn ny yu uu u

13、a ab bx x)sin,1 12 2y yu uu ux xx x解解:log ()ln)2 22 22 23 33 33 32 24 43 3x xx xx xy ye ey y)ln,3 33 32 2x xy yu u u uv v v ve e),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx x例例 1 1设设 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x + + 1 看成中间变量看成中间变量 u，y = u5，u = 2x + + 1复合而成，复合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102

14、544 xuuyyxux 将将 y = (2x + + 1)5看成是看成是由于由于二、复合函数求导举例二、复合函数求导举例例例 2设设 y = sin2 x，求，求 y .解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的导数公式，用乘法的导数公式，将将 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成复合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 这里，这里， 我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法.例例3:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数解解:log ()2 22 223234343xxxxy y),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx xuuuvxuvx1 1y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2vln2vln2log ()()ln()lnxxxxx xx xy yxxxx2 22 223232 221332133232232log ()log()()x xx xx xx xx x2 22 22 23 32 22 22 23 31 13 32 23 3求求 y .,12xy 设设解解将中间变量将中间变量 u