天体运动讲义教师版

1、天体运动讲义奥赛大纲1、万有引力定律2、均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式3、开普勒定律4、行星和人造卫星运动5、太阳系 银河系 宇宙和黑洞的初步知识数学基础 1、中学阶段全部初等数学（包括解析几何）2、向量的合成和分解3、极限、无限大和无限小的初步概念4、不要求用复杂的积分进行推导和运算一、基本概念1开普勒定律第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”： （为矢径r与速度的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的

2、三次方跟公转周期的平方的比值相等。即：2万有引力定律万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比 ， ，称为引力常量 重力加速度的基本计算方法 设M为地球的质量，g为地球表面的重力加速度 在地球表面附近（ ）处：， 在地球上空距地心r=R+h处：， 在地球内部跟离地心r处：， ， 例1、（全国物理竞赛预赛题）已知太阳光从太阳射到地球需要8min20s，地球公转轨道可以近似看作圆轨道，地球半径约为6.4×106m，试估算太阳质量M与地球质量m之比M/m为多大？（地球表面重力加速度为g）解析：太阳到地

3、球距离为R500s×3×108 m/s1.5×1011 m太阳为中心天体，质量为：GMm/ R²=m4²R/T² M=4²R³/GT²知道地球表面的重力加速度为g,地球的质量GMm/r²=mg M= r²g/GM/ M=4²R³/r²T²g3×105（其中R为地日间距离，r为地球半径，T为地球公转周期，g为地球表面重力加速度）例2、（全国物理竞赛预赛题）木星的公转周期为12年。设地球至太阳的距离为1AU（天文单位），则木星至太阳的距离约

4、为多少天文单位？ 解析：由开普勒第三定律：R13/R23=T13/T23（其中，R是行星公转轨道半长轴，T是行星公转周期）得R木=5.2 AU例3要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日速度？（己知地球到太阳的距离为R）分析与解：如图，圆为地球绕日轨道，椭圆为所发射飞船的绕日轨道，S点（太阳）为此椭圆的一个焦点，因飞船与地球具有相等的绕日周期，由开普勒周期定律：可知椭圆的半长轴a=R，两轨道的交点必为半短轴顶点，（由椭圆定义，PF1PF22a）发射飞船时，绕日速度应沿轨道切线方向，即

5、与椭圆长轴平行的方向则飞船的“面积速度”为：，地球的“面积速度”为：，故： 例4、（2011物理竞赛）地球上空有人造地球同步通讯卫星，它们向地球发射微波，但无论同步卫星的数目增加多少个，地球表面总有一部分面积不能直接收到它们发射的微波，请求出这个面积的大小。己知地球半径R06.4×106m，半径为R，高为h的球冠的表面积为S12Rh，球体的表面积为S24R2，结果保留一位有效数字。解析：如图，同步通讯卫星相对地面是静止的，则对地球表面上质量为m0的物体有GMm0/R02=m0g；对地球同步通讯卫星有由几何关系可知以S表示某个极周围接收不到微波区域的面积：地球有两个极，接收不到微波区域

6、的面积为二、万有引力、引力势能1、万有引力定律的公式适用于计算质点间的万有引力，此时万有引力定律公式中的r就是两质点间的距离。万有引力定律的公式也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互吸引力，这种情况等效于把球体的质量集中在球心处的质点间的万有引力的计算，式中的r是两个球体球心间的距离。从这种情况也可以推出以下几个推论：（1）质量分布是球对称的两个球体之间的万有引力的计算。（2）质量分布是球对称的两个空心球体之间的万有引力的计算。（3）质量分布均匀的球壳之间的万有引力的计算。但要注意的是两球壳球心之间的距离必须大于等于两球壳的半径之和。（可以证明：球壳对处于它内部的物体的万有引力为零。）万有

7、引力定律的公式也可以用来计算质量分布均匀（或质量分布是球对称）的球体（或空心球体、或球壳）与球外一个质点间的万有引力的计算，这时的r是质点到球体球心间的距离。例5、如图所示，有质量为m、半径为R的质量分布均匀的球体A与用同种材料制成的半径为R/2均匀球体B，两球球心相距L，现在在球A中靠近B球一边与A球相切的挖一个半径为R/2的球形洞，三个球心在同一条连线上，求挖空后两球间的万有引力。分析：本题可用填补法来做：设F为实心球A与B球之间的万有引力，F1为被挖去一个球形洞后的A球与B球之间的万有引力，F2为被挖去的球体在未挖去前与B球之间的万有引力。由于实心球A与B球之间的万有引力F应是被挖去一个

8、球形洞后的A球与B球之间的万有引力F1与挖去的那部分球体在未挖去前与B球之间的万有引力F2之和，所以有F=F1+F2（1）根据万有引力定律可得由式（1）（2）（3）可得例6、试证明：质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零解析：如图，在球壳内任意位置的一个质点A，设质量为m .球壳密度均匀，设单位面积的质量为M，则有如图所取的微元面积S1部分的质量为MS1，相对应A点的另一侧微元面积S2的质量为MS2  。由万有引力定律 ：质点A受到S1部分的万有引力为受到S2部分的万有引力大小为   由于面积S1和S2很小，且有数学规律 所以F1与F

9、2大小相等，且方向相反，合力为零。由于S1是球壳上的任意微元，S2为与A连线后另一侧对应部分。所以，对于整个球壳积分可知，A点所受的万有引力为零。例7、地球的密度为，若从地球一端打一竖直井通过地心直到地球另一端，一物体从一端开始自由下落，不计阻力，证明物体在井中做简谐运动，并求物体落到地心的时间。解析：万有引力F=GmM/r2（以球心向外为正方向），G为万有引力常数，M为该物体所在位置内部地球球体的质量，r为物体离地心的距离 M=4r3/3把M代入 F=4Gmr/3kr，即F和r成正比。万有引力总是指向地心，所以它做简谐运动。t=T/4，,T，k4Gm/3，代入即得运动时间。例8新发现一行星，

10、其星球半径为6400 km，且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10 km，学者们对该行星进行探查时发现，当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变试求此行星表面处的自由落体加速度已知万有引力常量G=6. 67×10-11N m2/ kg2。分析和解：以R表示此星球的半径，M表示其质量，h表示其表面层海洋的深度，R0表示除海洋外星球内层的半径，r表示海洋内任一点到星球中心的距离则：，且，以水表示水的密度则此星球表面海洋水的总质量为因R>>h，略去h高次项，得由，依题意：，即：，由于 故近似取2Rh- 则 将G6. 6

11、7×10-11N m2/kg2，水10×103kg/m3，R6.4 ×106 m代入得：g表=2. 7 m/s2。2、行星运动的能量引力势能与动能 行星的动能 当一颗质量为m的行星以速度 绕着质量为M的恒星做平径为r的圆周运动： ，式中 行星的势能对质量分别为M和m的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m与M相距r时，其体系的引力势能：（设m由距r处移到r处时引力做的功时势能为0，则m距M为r时的引力势能为） 行星的机械能：例9质量为m的人造地球卫星，在圆形轨道上运行运行中受到大小恒为的微弱阻力作用，以r表示卫星轨道的平均半径，M表示地球质量，求卫星在旋转

12、一周的过程中：（1）轨道半径的改变量r=？（2）卫星动能的改变量Ek=？分析和解：因卫星沿圆形轨道运动，则，则，则卫星的机械能为（1）设卫星旋转一周轨道半径改变量为r，则对应机械能改变量为，根据功能原理：W=E，即，负号表示轨道半径减小。（2）卫星动能的改变量为：例10、地球质量为M，半径为 R，自转角速度为，万有引力恒量为 G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为 0，则质量为 m 的物体离地心距离为 r 时，具有的万有引力势能可表示为 Ep = -G.国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空地球飞行的一个巨大的人造天体，可供宇航员在其上居住和进行科学实验.设空间站离地面高度

13、为 h，如果在该空间站上直接发射一颗质量为 m 的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？解析：由G=得，卫星在空间站上的动能为 Ek= mv2 =G卫星在空间站上的引力势能在 Ep = -G 机械能为 E1 = Ek + Ep =-G同步卫星在轨道上正常运行时有 G =m2r故其轨道半径 r=由式得，同步卫星的机械能E2 = -G=-G =-m()2卫星在运行过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为 E2，设离开航天飞机时卫星的动能为 Ekx，则Ekx E1= E2 ，EkxE 2 E1 +G例11、质量为m的宇宙飞船绕地球

14、中心O作圆周运动，己知地球半径为R，飞船轨道半径为2R，现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上去，如图所示，求：（1）转移所需的最少能量（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A的B的速度变化vA和vB各是多少？R2R4RABOC解析：（1）宇宙飞船在2R轨道上运动时：飞船的动能，引力势能飞船的机械能：同理可得飞船在4R轨道上运动时所需的最少能量（2）飞船在2R圆轨道上运动的速度为，在4R圆轨道上运动的速度为飞船在椭圆轨道上运动时，由开普勒第二定律：且机械能守恒：，由以上两式解得，飞船在两条轨道的交接处A的B的速度变化例12、在赤道上发射两颗质量

15、相同沿赤道正上方圆形近地轨道绕地心做圆周运动的卫星A和B，A向正东方发射，B向正西方发射，不计空气阻力，但计地球自转，计算： （1）发射哪一颗卫星消耗能量多？（2）与另一颗卫星相比，要多消耗百分之几的燃料？（R地=6 400 km，g=10 m/s2）解析：（1）赤道自转线速度： v0=r=2R/T=0.47×103 km/s, 近地卫星速度=8.0×103 km/s由西向东发射，卫星对地发射速度v东=v1-v0=7.53×103 km/s由东向西发射，卫星对地发射速度v西=v1+v0=8.47×103 km/s 可见，向西发射消耗能量多.（2），故多消

16、耗27%.例13、从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少.假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km.已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为式中M为地球质量，G为引力常量. （1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示).（2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？（3）试导出.解：（1）导弹发射后，在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面(此平面是C点所在的子午

17、面)内，因此导弹的发射速度(初速度v)必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点.根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上.已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴a的关系为 (1)要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短.根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径R，只要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小.显然，

18、当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小.由几何关系可知(2)设发射时导弹的速度为v，则有 (3)解(1)、(2)、(3)式得(4)因(5)比较(4)、(5)两式得(6)代入有关数据得(7)速度的方向在C点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角OCP.从图中可看出，速度方向与OC的夹角 (8)（2）由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为 (9)式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s，故(10)C点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上C点的导弹发射前也

19、有与子午面垂直的速度，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足(7)、(8)两式的要求，导弹相对于地面(C点)的发射速度应有一大小等于、方向与相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度为零，导弹的速度的大小为 (11)代入有关数据得(12)它在赤道面内的分速度与相反，它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式. （3）质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式(13)(14)式中、分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距离.将(14)式中的代入(13)式，经整理得(15)注意到r1+r2=2a(16)

20、得(17)因(18)由(16)、(17)、(18)式得(19)3、万有引力做功与运动问题例12、如图，在惯性系S中有两质点A和B，质量分别为m1和m2，彼此间以万有引力相互吸引，开始时A静止，A和B相距为l0，B以速度v0沿连线方向远离A而运动（,G为引力常量），B受一指向其运动方向的变力F的作用，使B保持速度不变，求（1）两质点之间的最大距离（2）从开始到最大距离过程中变力所做的功（相对于惯性系S）解析：（1）当A与B速度相同时两者距离达到最大，以匀速运动的B为参考系，A的机械能守恒：（2）对系统，由动能定理得，将代入得PDDQQQD太阳地球例14、如图所示，设地球质量为M，地球绕太阳可以近

21、似看作是作匀速圆周运动，一质量为m的飞船在恒力F的作用下由静止开始从P点沿PQ方向做匀加速直线运动，一年后在D处飞船掠过地球上空，再过三个月，又在Q点处掠过地球上空，如图所示.根据以上条件，用题中给出的物理量来表示地球与太阳的万有引力的大小表达式（忽略飞船受地球和太阳的万有引力作用的影响）解析：三个月地球转过1/4周，因此设地球公转周期为T，则，由上述三式得二、相对运动问题例15、 一颗在赤道上空运行的人造地球卫星，其轨道半径为2R0（R0为地球的半径）。卫星的运行方向与地球的自转方向相同，设地球自转的角速度为。，若某时刻卫星通过某建筑物的正上方，求它再次通过该建筑物正上方所需的时间（已知地球

22、表面的重力加速度为g） 解析：计算出卫星相对于地球的相对速度后可求。三、圆轨道椭圆轨道自由落体问题1、圆轨道椭圆轨道例16. 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为R0）解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单。对地球卫星绕地运行时所有卫星的轨道半长轴的三次方跟公转周期平方的比值都相等，对于在圆周轨道上运行的卫星其轨道的半长轴就是圆半径，所以，当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有

23、，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期：故解得飞船由A运动到B点所需的时间为2、自由落体问题远距离自由落体是指物体仅受星球引力，从离星球很远处由静止开始下落的运动。由于物体在下落过程中加速度并非恒量，匀变速运动的规律已经不适用，学生在求解有关下落时间、下落距离等问题时常感到困难，人们常用大学阶段积分的方法解决这类问题。事实上，利用开普勒定律，再结合极端分析方法，就能很好地解决远距离自由落体问题。例17：一个质量大而体积很小的星球，质量为M，一物体从离该星球为r的很远处由静止开始自由下落，求物体落到这个星球上需要经历多少时间？分析：星球很小，可以看作质点。物体仅受星球引力作用下的运动轨道通常有

24、三种可能的情况：（1）圆轨道、（2）椭圆轨道、（3）沿直线自由下落。物体在椭圆轨道上运动时，星球处于椭圆的一个焦点上，物体的运动规律满足开普勒第三定律：，其中T为物体的公转周期，R为半长轴，M为星球质量。设想一个狭长的椭圆轨道，远地点即为物体开始下落的位置，此椭圆越扁，其两侧就越向物体自由下落的轨道靠拢，极端的情况是：当椭圆半短轴b=0时，两者就重合了。这样，就可以通过求物体沿上述椭圆轨道对应部分的时间来求物体自由下落的时间。解：设物体下落时间t，则物体绕星球公转周期2t，椭圆半长轴r/2，由开普勒第三定律： t=oA例18：根据某种假设，星球由星际物质（宇宙尘埃）在万有引力作用下而形成。试估

25、算由密度为2×10-18g/cm3的宇宙尘埃组成的巨大云团到生成一个星球（可看作质点）需多少时间？分析：如图，设生成星球的巨大云团为半径r的球状体，则质量为m的尘埃A从离球心r处运动到球心o所用时间即为生成星球所需时间。由于A所受云团的万有引力与云团质量集中于o点所成星球对A的引力效果相同，故所求时间等于A自由下落至o的时间。解：利用上题结果可知： t=4.7万年。例19、一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰等于第一宇宙速度，己知地球半径R6400Km，物体在地球引力场中的引力势能为（M为地球质量，m为物体的质量，r为物体到地心的距离），若不计物体在运动中所受到的

26、阻力，求此物体在空中运动的时间。分析：物体由离地心为r的远处落向地面过程中机械能守恒：abObAObBAOb-GMm/r=mv2-GMm/R，而第一宇宙速度v1=，代入上式，得r=2R ，故物体自离地面R处开始下落。本例与例1、例2不同的是：地球不能看作质点。我们将物体的运动设想为沿长轴2R、短轴2b的狭长椭圆由A下落至B，其运动时间即为本题所求。RO解：由于椭圆半长轴与地球半径相等，根据开普勒第三定律，物体沿椭圆运动的公转周期即等于卫星以第一宇宙速度环绕地球表面运转的周期T0，T0=2R/v1=2R,椭圆面积S0=ab,可得面积速度为 =，从A运动至B的过程中，物体与地心连线扫过的面积S=a

27、b+ab （如图），所以物体下落的时间: t=(+)R。例20、两个质量均为1.0g的质点相距10m，开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定，如果它们之间只有万有引力作用，问无初速度释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？解：设想一个狭长的椭圆轨道，远地点即为物体开始下落的位置，此椭圆越扁，其两侧就越向物体自由下落的轨道靠拢，当椭圆半短轴b=0时，两者就重合了。由 得t=1.36×108s四、天体运动与宇宙航行问题例21、（2010全国物理竞赛题）选择合适的卫星发射地发射卫星，对提高运载效率、节省燃料等方面都有影响。如果在地球表面纬度为处发射一颗绕地球表面运行的人造卫星，假设地球可视

28、为质量均匀分布的球体，己知地球自转的角速度为，地球半径为R，地球表面处的重力加速度g，卫星质量为m，则至少要给卫星的能量为多少？若重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R6.4×106m，卫星质量m1.00×103kg，若发射地在洒泉，其纬度为北纬40度58分，则所需的能量是多少？若发射地在文昌，其纬度为北纬19度19分，则所需的能量是多少？解析：纬度为处地球自转的速度为 (相对于地心) 地球表面发射一颗卫星绕地球运转，卫星的速度为 （相对于地心）。 以地面为参考系，根据，卫星相对于地面的速度为 ，发射卫星所需的最小能量为因此在酒泉发射，需能量 ，在文昌发射， 需能量例22

29、、（2010全国物理竞赛）可以近似认为地球在一个半径为R的圆轨道上绕日公转，取日心参考系为惯性系，地球公转周期即一年为T365.2564日，地球自转周期为t，地球上的人连续两次看见太阳在天空中同一位置的时间间隔tE为一个太阳日，简称一日，即24小时，假设有某种作用，把地球绕日公转的圆轨道半径改变为R1，但未改变地球自转周期，设经过这样改变后，地球公转一个周期即新的一年刚好是360新日，试问（1）这新的一日的时间是多少？（按改变前的小时计）（2）这新的一年应该是多少小时，才能使新一的年刚好是360新日？（3）这个改变前后，系统的能量差是地球现在公转动能的百分之多少？解析：（1）地球除了自转外还有

30、公转，当经过时间tE，从日心惯性系来看，地球转过一周多了。如图，有以下关系： 解得，将代入，得当地球公转轨道的半径改变为R1后，周期相应改变为T1，由题意，地球在日心惯性系中的自转周期仍为t，而，为新的一个太阳日，即新的一日，同理有，或（2）（3）地球绕太阳作圆周运动时，G=动能为 Ek=mv2 =引力势能 Ep = 机械能为 E = Ek + Ep =地球公转轨道半径改变为R1时，总能量轨道半径改变后的能量差为又由开普勒第三定律，例23、（25届全国高中生物理竞赛）假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内，己知地球表面处的重力加速度g=9.80/s2，地球半径R

31、e6.37×106m，月球质量为mm7.3×1022kg，月球半径Rm1.7×106m，月心到地心间的距离约为rem3.84×108m，引力常量，（1）月球的球心绕地球的球心运动一周需要多少天？（2）地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？（3）若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试做估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少？（结果保留两位有效数字）解析：（1）月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，对地球：，月球绕地球运行的周期，解得月球、地球和太阳成一直线时是满月，如图所示，有地球运动角度为月球运动得例24、（26届全国高中生

32、物理竞赛）一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km高空作圆周运动，在某处和一个质量为m2=m1的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动。碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km，其轨道和卫星轨道在同一平面内。已知质量为m的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和E=G，式中G是引力常量，M是地球的质量，a为椭圆轨道的半长轴。设地球是半径R=6371km的质量均匀分布的球体，不计空气阻力。（1）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落在地球上。（2）如果此事件是发生在北极上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与

33、地球相碰处的纬度是多少？解析：若2a<2R+h,则卫星将与地面相撞。设碰撞前卫星作圆周运动的速度为v1， 设碰撞前太空碎片的速度为v2，由机械能守恒定律碰撞过程由动量守恒得m1v1m2v2=(m1+m2)v 由机械能守恒得代人有关数据得a '=5259km 2a <2R+h，卫星将与地面发生碰撞由己知条件知，a=5295kma+c=7171kmc=1912km卫星与碎片碰撞后的轨迹方程设地球与椭圆轨道的交点为（x,y）五太阳系 银河系 宇宙和黑洞的初步知识1、宇宙速度（相对地球）第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）物体在地球表面作圆周运动，重力为向心力，有，第二宇宙

34、速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）物体脱离地球引力：， 第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）质点以第三宇宙速度抛出，动能，地球公转速率为，类比第二宇宙速度可知如果发射方向和地球公转方向相同，则物体摆脱地球和太阳的引力，需要的总能量2、引力场、引力半径与宇宙半径对于任何一个质量为M，半径为r的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度如果第二宇宙速度超过光速，即，则有关系在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r值被称为引

35、力半径，记为用地球质量代入，得到rg0.9 cm，设想地球全部质量缩小到1 cm以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息如果物质均匀分布于一个半径为r的球体内，密度为，则总质量为又假设半径r正好是引力半径，那么，得此式表示所设环境中光不可能发射到超出rg的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径例27经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星之间

36、的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该星系统中每个星体的质量M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点作圆周运动（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，,且T观测T计算=1（Nl），为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内存在这种均匀的暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度解.（1）双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度

37、为，向心加速度满淀下面的方程 周期 (2）根据观测结果，星体的运动周期 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意，这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M'、位于中点处的质点相同，考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度，现有 因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由式得 把式代入式得 设所求暗物质的密度为，则有故 例28. 1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国MaxPlanck学会的一个研究组宣布了他们的研究成果：银河系的中心可能存在大黑洞，他们的根据是用口径

38、为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。他们发现，距离银河系中约60亿千米的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面数据，试在经典力学的范围内通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少？（引力常数是G6.67×1020km3/kg1s2）解析：黑洞表面上的所有物质，即使速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用。据此可建立起“天体环绕运动模型”，且可用光速c作为“第一宇宙速度”来进行计算。设位于银河系中心的黑洞质量为M，绕其旋转的星体质量为m，星体做匀速圆周运动，则有：G=m根据拉普拉斯黑洞模型有：G=m联立

39、上述两式并代入相关数据可得： R2.67×105km综合题1、（29届复赛 23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。（1）论证卫星脱落后不会撞击地面。（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在012小时及1224小时两个时间段内被太空该电梯回收的