2020陕西省百校联盟高三上学期九月联考数学(理)试题(解析版)

1、2020届陕西省百校联盟高三上学期九月联考数学（理）试题、单选题2，一x| x 4x 120 ,B y|y 6 2,则 AI B ()A. 0,6)B.2,6C.( 2,0D.【解析】解一元二次不等式化简集合A,求函数y Jx 2的值域化简B.然后求AI B.依题意,Ax|x2 4x 12 0x| 26, B y| y ,x2y|y2,故AI B 2,6).故选B.32i2. ()29i1231 .1231A. 一一 iB.85858585【答案】D本题考查了集合的交集运算，属基础题.通过分子分母同时乘以分母的共轲复数化简可得【解析】i12C.8531 .一 i8512D. 8531 .一 i

2、853 2i2 9i(3 2i)(29i)(2 9i)(29i)6 27i 4i 1885128531.一 i85故选D.本题考查了复数的代数运算，属基础题.3.已知a log3 15,b log4 20,c log6 30,则（A. a bB. a c bC. bD. b c先将a,b, c变形化为:a 1 log3 5 ,b 1log4 5,clog 6 5,然后利用第13页共22页1 10g 6 5;由10g 6 x的图象如图：y log3x,y 10g4x,y log6 x的图象比较大小可得【详解】依题意,1og315 log 3 3 log 3 51 1og35,b log4 20

3、log4 4 log 4 5 1 log 45 ,c log 6 30 log 6 6 10g6 5y 10g3x,y 10g4x,y可得 10g 35 1og4 5 10g 6 5,故 a b c .故选A.【点睛】本题考查了对数函数的图象和性质，属中档题.4 .沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故 .沉鱼”，讲的是西施浣纱 的故事；落雁”，指的就是昭君出塞的故事；闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；羞花'谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙 不扮演杨贵妃的概

4、率为（）1A. -37B.125C.121D.-2,(1)甲扮演杨贵妃；(2)甲扮演【答案】B【解析】分两类计数甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况王昭君或扮演西施.然后用古典概型概率公式计算 .依题意，所有的扮演情况为 A4 24种，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况为.3 _ .2.2 . .14 7A 3 2A 2A 2 14种，故所求概率 P .24 12故选B.【点睛】本题考查了分类计数原理以及古典概型，属中档题.、，e|x15 .函数f(x) sin x的图象大致为() x【答案】A【解析】根据函数的奇偶性排除 C，根据X时，f(x),排除D,根据e|x1x (0, )时，f(x

5、) sin x 0,排除 B. x依题意，x (,0)(0,),定义域关于原点对称，且f( x)e| x1-sin( x)(x)e|x1sin xf(x),故函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除 C；而当x时，f(x),排除D；当x (0,)e|x|时，f(x) sin x 0,排除 B. x故选A.【点睛】本题考查了函数的图象，属中木题.7o 16 . x2 -= 的展开式中，x4项的系数为()34xA.-280B.280C.-560D.560【解析】化简二项式展开式的通项公式，令 x的指数等于4,由此求得x4项的系数.2x271 一 ， .,3 展开式的通项公式为3x44 r7 r

6、Tr 1 C7r 2x2x 3C； 210r 14 r1 x 3 ,令 1410一 r3故所求系数为C3 241 335 16560.故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式，考查指数运算,考查组合数的计算，属于基础7.已知A(2,4) , B41) , C9,5) , D 7,8),现有如下四个结论：uuu uuurAB AC ；四边形ABCD为平行四边形； AC与器夹角的余弦值为7叵， 145uuu uuur 一| AB AC | 、85 ;则上述正确结论的序号为 ()A.B.C.D.【答案】Buuur uuu uuur【解析】 根据四个点的坐标求出 AC, AB,BD的坐标，再

7、利用向量的坐标进行运算可知错误，正确.【详解】uuuruuuuuu uurAB (2, 3), AC (7,1),则 AB AC 0,故错；uuu uuur -则| AB AC |辰,故正确；uuuruuur皿 uuu uurAB (2, 3), DC (2, 3)，故 AB DCABCD为平行四边形，故 正确；uuuruuuruur uuurAC (7,1), BD (3,7),则 cos AC, BD故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属中档题.8.九章算术卷七一一盈不足中有如下问更，且 A, B, C,uuu uuurAC BD-uuuruuu|AC|BD|D四点不共线，则四边

8、形甯故错.今有共买羊，人出五，不足四十五;人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填()开始 * r1*1 I* :产“7* * _ I/摘由w /结束A. k 20B. k 21C. k 22D. k 23【答案】A【解析】根据题意可得x为人数，y为羊价，得：5x+45 = 7x+3,解得x=21,模拟程序 的运行可得当x=21, k=21时，退出循环，输出 x, y的值，即可得解判断框中应填入 的内容.【详解】模

9、拟执行程序，可得 x为人数，y为羊价，由题意可得：5x+45=7x+3,解得x=21,即当x= 20, k= 20时，继续循环，当x= 21, k= 21时，退出循环，输出 x, y的值，则判断框中应填入的内容为：k>20?故选：A.【点睛】本题考查了程序框图，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基 础题.9 .已知正方体 ABCD A1B1C1D1的体积为16J2，点P在正方形 AB1C1D1上，且Ai，C 到P的距离分别为2,2 J3,则直线CP与平面BDDiBi所成角的正切值为（） A.WB.立C.1D2323【答案】A【解析】先通过计算可知点P为ACi的中点，连

10、接AC与BD交于点O,易证AC 平面BDDiB ,根据直线与平面所成角的定义可知CPO就是直线CP与平面BDDiBi所成的角，然后在直角 CPO中可得.【详解】易知AB 2短；连接CF ,在直角 CCF中，可计算C1P Jcp2 CC12 2 ;又AP 2,AQi 4,所以点P是ACi的中点；连接AC与BD交于点O ,易证AC 平CPO就是直线CP与平面BDDiBi ,直线CP在平面BDDiBi内的射影是OP ,所以CPO 中，tan CPOCO上PO 2面BDDiBi所成的角，在直角【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，属中档题.22x yi0.已知椭圆C: i的左、右焦点分别为 Fi,F2

11、,直线l过点F2且与椭圆C交 82A.uurMAB.【解析】设M xi, yi,NUJLf 升AN，若 |OA| AF2C.X2,y2，利用点差法可得l的斜率为iD.4，再根据OAFz为等腰三角形，可得kOAkMN，联立两个方程可解得i一,即得直线l的斜率.2如图：XiX2 XiX2yiy2y1y2 0 ,贝U koA kMN82X - 8 2X2一 8Hu贝,N,yy,X1M设1-；因为 |OA| AF24所以 OAF2为等腰三角形，故koA kMN ,解得kMN【点睛】1 1,故直线l的斜率为本题考查了椭圆的标准方程以及直线的斜率，属中档题.11.关于函数f(x). 一 X sin 一X

12、cos-2有下述三个结论:函数f (X)的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称；函数f(X)的最小正周期为 ； Xo R , f X0V2 1 .其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】 根据偶函数的定义可得f(X)为偶函数，故错误;根据f(X ) f (X)对任意的X都成立，知正确;在一个周期0,)内任取一个X,都有f(X) 1, J2,可知错误.依题意,f( X)sin(x)cos(X)_一 xsin 一2cosf(X)，故函数f(x)的图象关于y轴对称，故 错误;因为f(x )_ X sin 2 2xcos 2 2x cos2x sin 2f(x)而 SC2

13、AC2 AS2 16 x2,第#页共22页故x 是函数f(x)的一个周期，且当x 0,)时f (x) sinxcosV2sin1,V2,故正确，错误.2224故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，属中档题.SC ,平面ABC 平12 .在三棱锥 S ABC 中，AC 2AB 4, BC 2J5, AS面SAC,则当 CBS的面积最大时，三棱锥 S ABC内切球的半径为()参考数据： J5 _ 0,25 96 ,15A.0.125B.0.25C,0.5D,0.75【答案】C【解析】先由已知推出SC SB,再设AS x,根据勾股定理求出 BS2和SC2,再用面积公式计算出三角形 SBC的

14、面积，然后用基本不等式求得最大值以及取得最大值的条件 在此条件下求出四个三角形的面积，,再利用体积关系列等式可求得内球球的半径即可 【详解】如图所示,AC 4, AB 2,BC 2石，故 AB AC,平面ABC 平面SAC，故AB 平面SAC ,故AB SC ,而AS SC ,故SC 平面 ABS ,则 SC SB;设 AS x,则 BS2 AB2 AS2 4 x2 ,1Svcbs SB SC216 x2 4 x216 x2 4 x225 ,当且仅当X26,即 x2 6 时，CBS的面积最大为5,此时SVABC4,SVABS、6.SVsAC 15, S/SBC5,设三棱锥ABC内切球的半径为V

15、S ABCSVABCSVSAC SVABSSVSBC4 1(4 5 63一 15) r ，故选C.本题考查了线面垂直的判定和性质，用基本不等式求最值，三棱锥的内切球问题，属中档第15页共22页11，f(x)在-,f -处的切线方程为22二、填空题ln(2 x) 313.已知函数f(x) - x ,则曲线y x13 7【答案】 y -x 44【解析】由导数的几何意义可得切线的斜率为【详解】1 ln(2x) 2,1依题意，f (x) 2一- 3x ,故 f x21 13113线方程为y x ,即y x 8 424【点睛】本题考查了导数的几何意义，属基础题.x 2yT14.设实数x, y满足x y,

16、 0 ,则z xy, 51 ，人一，、一f (1)，再根据点斜式可得切线方程.2.3 13 一 . 11 .4 -，而f -，故所求切4428744y的最小值为5【答案】53z有最小值，再联立方程组解得【解析】 作出可行域，观察可得，当z x 4y过点C时,最优解C的坐标后，代入目标函数即得作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示;观察可知，当z x 4y过点C时，z有最小值;第i19页共22页x 2y 111 1联立 ,解得x y 1即C ,一x y 033 3. .5故z x 4y的最小值为。3【点睛】本题考查了线性规划求最值，属中档题.15.若随机变量 服从正态分布 N(916 ,

17、则P( 3参考数据：若 N , 2 ,则P(,)P( 22 ) 0.9545 , P( 3【答案】0.84【解析】先求出 9,4,再将P( 3, 13)转化为P( 3【详解】) P( 33 ) P(213) .0.6827 ,3 ) 0.9973.P( 3,)，根据)可得.22依题息， N 9,4,其中 9,4 ,故 P( 3轰13) P( 3)P( 33 ) P()220.6827 0.9973 八0.84.【点睛】本题考查了正态分布，考查了正态曲线的性质，属基础题.221 a 0,b 0的左、右焦点分别为Fi, F2,点M在16.已知双曲线C： x2 -y2 a bC的渐近线上，且MFiM

18、F2, MFi 2a |MF2 ,则匕 a【解析】设MF122与的形式，由求解得当的值.m, MF2 n ,依题意有m 2a n ,结合MFi MF2,利用勾股定理得到m2 n2 4c2，由此得到mn 2c2 2b2.根据MFi MF2可知M是以F1F2为直径的圆和双曲线的渐近线的交点，联立渐近线和圆的方程， 求得M点的坐标.利用三角形MFF2的面积列方程，将方程化为含有【详解】不妨设点M在第一象限，设 MFim, MF2n ,则 m 2a n ,而 MFiMF2,b一 cccCCy-x故m2 n2 4c2,联立两式可得，mn 2c2 2b2,联立a22x y，可得M a,b ,2c iicc

19、由三角形的面积公式可得 一mn - 2cb ,即c2 b2 22bc,即 a4 b2c2,4故 a4 b2 a2 b2 ,故 b4 a2b2 a4 0 ,则 bab2 a故填:本小题主要考查双曲线的定义，考查双曲线的渐近线方程的求法,考查直线和圆交点坐标的求法，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.、解答题17.记首项为1的数列an的前n项和为Sn,且2 3n Sn3n1 an 1(1)求证：数列 an是等比数列;2.(2)右 bn ( 1) log 9 an ,求数列 bn的前2n项和.1 2【答案】(1)证明见解析；(2) t2n -n2 21【解析】

20、(1)依题意，2Sn1 an 13n2s 11-n-7 an 2,再两式相减后变形3可得an 2 3an 1，又a2 3a1，由此可证.(2)由求出an 31-1，代入已知求得bn=-4(1)n(n1)2,再利用第27页共22页3),可求出.，1，b2n 1 b2n(4n4【详解】(1)依题意，2Snc12Sn 113nan两式相减可得,L 3n 1an2 3an1 0,故an 23an 1而2s3a12-a2 ,故 a23故数列an是以1为首项,3为公比的等比数列;(2)由n 1(1)可 an3所以bn(1)n log 9 an 2d 2(1)n log93n 1;(1)n(n 1)2故 b

21、2n 1,12n 1b2n4 ( 1)(2n2)2 (2n21)(2n 1)1 (4n 3)4记数列bn的前2n项和为T2n则T2n4n 3)1-(1 5 94本题考查了等比数列的证明以及数列的前2n项的和的求法:分组求和.属中档题.18.在ABC中，角A,B, C所对的边分别为a, b, c,且其2 cos A2 c2 bc(1)求A的值;(2)若AM BC ,垂足为M ,且BC 12,求AM的取值范围【答案】(1) A -；(2) (0,6 73 322 I 2【解析】(1)将a一c 2c2 bc变成acosB (2c b)cos A后，利用正弦定理边2cos A化角后可得cosA(2)利

22、用面积关系得AM24bc，再用余弦定理和基本不等式可得0 bc 144进而可得 0 AM, 6,3.【详解】(1)根据题意,2cos Ab- 2c2 bc,贝U2ac(2 c b)cos A ,即 acosB (2c b)cos A ,故 sin AcosB (2sin C sin B)cos A故 sin AcosB sin BcosA 2sin CcosA ,即 sin(A B) sinC 2sin CcosA,1而 C (0, ),sin C 0 ,故 cosA 万，故 A1 -1(2)因为 SVABC-AM BC bcsinA;2 2因为 BC 12, A ,故 6AM 313bc，故

23、AMJ24bc由余弦定理，144 b2 c2 2bccos b2 c2 bc2bc bc bc 3当且仅当b c时等号成立，故0 bc 144,则0 AM, 6J3 ,故AM的取值范围为(0,6拘【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，属中档题.19.如图所示，在四棱锥 PABCD中，四边形ABCD为矩形,PDC PCD, CPB CBP,BC AB , PD BC,点 M 是线段 AB 上靠2近A的三等分点.(1)求证：PC PA;(2)求二面角MPC B的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2) 3J313【解析】(1)先证PC 平面PAD,进而彳#到PC PA.(2)作PO CD于O,因为

24、BC，平面PDC ,所以平面 ABCD 平面PDC ,故PO 平面ABCD ,以点。为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出两个平面的法向量后，利用公式可求得.(1)证明：Q BC PD,BCBC 平面PDC ,AD 平面 PDC , PC又 PDC PCD, CPBDC ,AD,CBP,所以 PD PC BC,因为BC AB , 2* MB在 PDC 中，设 PC PD 2 ,则 DC AB 2万，故 PC2 PD2 DC2,PC PD,Q AD PD D, PC 平面 PAD ；而PA 平面PAD，故PC PA(2)作 PO CD 于 O,因为BC ±平面PDC ,所以平面ABC

25、D 平面PDC ,故PO 平面ABCD ,以点。为原点，建立如图所示空间直角坐标系,设 PC PD 2则 P(0,0,扃 C(0, 72,0), A(2,近0) , B(2, 72,0), M 2,uuir_ uuuuPC (0, , 2, 、2), CM4 . 2 uuu2,0 , CB (2,0,0)3设平面PMC的法向量为n(x, y,z),平面PBC的法向量为m (a, b, c)uuvPC uuuv CM.2y 2z 0c 4工 八2x y 03不妨取 n(2 72,3,3),uuvPC m 0 uuvCB m 0.2b ,2c 02a 0不妨取m 011,m n 63.13cos

26、m,n |m|n|18 8 213而二面角M PC B为锐角，故二面角 M PC B的余弦值为夏五13【点睛】.属中本题考查了直线与平面垂直的判定与性质以及用平面的法向量求二面角的余弦值 档题.220 .记抛物线C：:y2x的焦点为F ,点M在抛物线上，N( 3,1),斜率为k的直线l与抛物线C交于P, Q两点.(1)求|MN | |MF |的最小值；(2)若M ( 2,2),直线MP, MQ的斜率都存在，且kMP kMQ 2 0 ；探究：直线l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 【答案】(1) 7; (2)直线l过定点(0, 1)2【解析】(1)设抛物线C的准线为l ,过点M

27、作MM 1 l ,垂足为M1，过点N作NN1 l ,垂足为N1,利用抛物线的定义可得.(2)设直线l的方程为y kx b,P "/，Q x2, ；将直线l与抛物线C的方程联立，利用韦达定理及kMP kMQ 2 0变形可得b 1或b 2 2k,将b代入直线l ： y kx b,可得直线必'过定点(0, 1).【详解】(1)设抛物线C的准线为l ,过点M作MM 1 l ,垂足为M1 ,过点N作NN1 l ,垂足为N1如图：4yi则 |MN | | MF | |MN | MM 1 NN1即|MN | |MF |的最小值为7 ；2Q X2, y2将直线l与抛物线C的方程联立得kx2x

28、(2)设直线l的方程为y kx b,P Xi,y1_2(2kb 2)x b 02kb 2 b22, x1x2 7-2kk又kMPy22x22即kxb 2 x2 2kx2xi2 x2 22kxix22kx x2xx2xix24b2x1x2 4 x1x28将代入得,b2 b 22k(b 1)即(b 1)(b2 2k) 02k1时,直线l为y此时直线恒过(0,1)当b 2 2k时，直线l为y kx2k 2 k(x 2),此时直线恒过M( 2,2)(舍去)； 综上所述，直线l过定点(0, 1)本题考查了抛物线的定义，直线过定点问题，属难题.221 .已知函数 f (x) 2ln x ax, g(x)

29、x 12f (x).(1)讨论函数f (x)在4,)上的单调性；(2)若a 0,当x (1,)时，g(x) 0,且g(x)有唯一零点，证明： a 1【答案】(1)见解析；(2)证明见解析22 ax【解析】(1)求导后得f (x)工a，再对a分四种情况讨论可得函数的单调性x x22 x ax 2(2)令g (x) 2x - 2a =0,可知g'(x)在(1,)上有唯一零点xxXoaaa一8,所以Xoa 。，要使 g(x)0在(1,Xo1 2.g(x) 0有唯一解，只需 g Xo0,即 2ln Xo Xo 1 aXo2一 一 1 25-可知，2ln Xo -Xo o,然后构造函数，利用导数

30、可得. 22【详解】(1)依题意，f (x) 2 a 2-X X X4 .一2右 a o,则 f (x) o , X故函数f(x)在4,)上单调递增；)上恒成立，且o，再联立2若 a o,令 f'(x) o,解得 X 2 ； a一 2若 a o,则一。，则 f'(x) o , a函数f(x)在4,)上单调递增；1 2. 一右 a,一,则一，4 ,则 f (x) o ,2 a则函数f(x)在4,)上单调递减；心 12一、,2右一 a o,则 一 4,则函数f(x)在4, 一上单倜递增,2aa在 -, 上单a调递减;综上所述，a o时，函数f(x)在4,)上单调递增,1a,一时，函

31、数f(x)在4,)上单调递减，21 八.2 22 a o时，函数f(x)在4, 1上单倜递增，在 -2A(2)依题忌，x 1 4ln x 2ax，而 g(x) 2x - 2a x上单调递减；2 x2 ax 2X令 g (x) o,解得 x a Ja2 82因为 a o,故 a Ja2 8 1 , 2故 g'(X 在(1,)上有唯一零点Xoa a2 8；2第 31 页 共 22 页又 g(x) 2x,2八故 x0 a 0， x要使g(x)0在(1,)上恒成立，且g(x) 0有唯一解,1 2只需 g x00,即 21nx0 x0 1ax0 0 ，2.一.125由可知，21n x0 x002

32、2-1 25令 h x021n x0x022显然h %在(1,)上单调递减，1因为 h(1) 2 0,h(2)21n 2 0,2故 1 x0 2 ,又a x0在(1,)上单调递增， x。故必有a 1【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，零点存在性定理 属难题.22.某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了 300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中a b 0.016.(1)求这300名玩家测评分数的平均数；(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p 0 p 1 ， 且每款游戏之间改进与否相互独立 .( i )对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；(ii)每款