2018-2019学年人教B版选修1-23.1.2复数的引入学案

1、3.1.2复数的引入学习目标：i.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及 它们之间的一一对应关系.（重点、难点）2.掌握实轴、虚轴、模等概念.（易混点）3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法.（重点）自主预习探新知1.复平面U五平一）-oII事嚏轴 ft ， I V- - jT i I : _ 7T s < .®辆 _思考：有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对 吗？提示不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯 虚数，原点对应的有序实数对为（0,0）,它所确定的复数是z= 0+0i=0,表示的 是实数.2 .复数的几何

2、意义辽也/a.*对应/，对应/ / ' 一M甲也内的小以小）一半血而】量勿一一时应3 .复数的模OZ , 一,（1）定义：向量一的超叫做复数z=a+bi的模.（2）记法：复数z= a+bi的模记为ZI或|a+bi|且忆尸.基础自测1 .思考辨析（1）复平面内的点与复数是一一对应的.（）复数即为向量，反之，向量即为复数.()(3)复数的模一定是正实数.()(4)复数与向量一一对应.()答案，(2)X (3)X (4)X2 .已知复数z= -i,复平面内对应点Z的坐标为()A. (0, -1) B. (-1,0)C. (0,0) D.( 1, -1)A 复数z= i的实部为0,虚部为一1,

3、故复平面内对应点Z的坐标为(0,T).3.向量a=(2,1)所对应的复数是()A. z=1+2i B. z= 1-2iC. z= -1+2i D. z= 2+iD 向量a=(2,1)所对应的复数是z= -2+i.4.已知复数z= 1 +2i(i是虚数单位)，则|z| = .z= 1 + 2i, .必= = .合作探究攻重难| 是坐！I复数与复平面内的点的关系探究问题1 .在复平面上，如何确定复数z= a+bi(a, b系)对应的点所在的位置?提示：看复数z= a+bi(a, b系)的实部和虚部所确定的点的坐标(a, b)所在的象限即可.2 .在复平面上，若复数z= a+bi(a, b系)对应的

4、点在第一象限，则实数 a,b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？提示：a>0,且b>0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、 虚部的取值特征.a2a 6例求实数a分别取何值时，复数z= a+3 +(a2-2a-15)i(a R)对应 的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内.(2)在复平面内的x轴上方.思路探究：一解(1)点Z在复平面的第二象限内，<0,则a22a15>0,解得 a< 3.a2-2a-15>0,(2)点Z在x轴上方,则 a+3”即(a+ 3)(a-5)>0,解得 a>5 或 a< 3.母题探究：1.本例

5、中题设条件不变，求复数 z表示的点在x轴上时，实数a 的化2解点Z在x轴上，所以a 2a15=0且a+3%，所以a=5.故a=5时，点Z在x轴上.2.本例中条件不变，如果点Z在直线x+y+ 7= 0上，求实数a的值.解因为点Z在直线x+y+7 = 0上，a2 a 6所以 a+3 +a2-2a-15+7 = 0,即 a3 + 2a2-15a-30=0,所以(a+2)(a215)=0,故 a= - 2 或 a=±所以a= 2或a=小寸，点Z在直线x+ y+ 7= 0上.规律方法利用复数与点的对应解题的步骤(1擀先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标 .(2跟据已知条件，确

6、定实部与虚部满足的关系.复数的模及其应用例 设(1 + i)x= 1 + yi,其中x, y是实数，则|x+yi|=()A. 1 B.C. D. 2(2)已知复数z满足z+|z| = 2 + 8i,求复数z.(1)解析因为(1 + i)x=x+ xi = 1+yi,所以 x=y=1, X+yi|= |1 +i| =,故 选B.答案B(2)设 z=a+bi(a、b 系),则 |z|=,代入方程得a+bi + = 2 + 8i,a2+b2=2 a= 15. b=8,解得 b=8 . z= 15+ 8i.规律方法1 .复数z= a+ bi模的计算：|z| =.2 .复数的模的几何意义：复数的模的几何

7、意义是复数所对应的点到原点的 距离.3 .转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件， 是一种复数问题实数化思想.跟踪训练2a 1 o,1. (1)若复数 z= a+2+(a2a 6)i 是实数，则 z = (a1) + (1 2a)i 的模为(2)已知复数z= 3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.(1)为实数，.a2a 6 = 0,a= - 2 或 3.，a= 2 时，z无意义，.a = 3,.Z = 2 5i,心|=.(2)法一：二之=3+ ai(a)，团=,由已知得 32+a2<42, -a2<7, .aq,).法二:利用复数的几何意义，由|z

8、|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由2= 3+ai知z对应的点在直线x= 3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：一<a<.阿叟1c复数与复平面内向量的关系”加在复平面内，复数6+5i, 2+3i对应的点分别为A, B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A. 4+80i B. 8 + 2iC. 2 + 4i D. 4+i在复平面内，A, B, C三点对应的复数分别为1,2+i, -1+2i.AB求向量一,AC, BC对应的复数;判定 ABC的形状.(1)解析两个复数对应的点分别为 A(6,5), B(2,3

9、),则C(2,4).故其对应的复数为2 + 4i.答案C(2)由复数的几何意义知：空(1,0),空(2,1),空(1,2),AB OB OA所以一 二一一一二（1,1）,AC OC OA(2 2)BC OC OBAB=(3,1),所以一AC, BC对应的复数分别为1 + i, 2+2i, -3+i.因为 |AB|=, |AC|=2, |BC|=,所以 AB2 ac2 bc2所以*BC是以BC为斜边的直角三角形.规律方法复数与向量的对应和转化 OZ对应：复数z与向量一是一一对应关系I转化：复数的有关问题转化为向量 问题求解I解决复数问题的主要思想方法有：（一默化思想：复数问题实数化； （二微形结

10、合思想：利用复数的几何意义数形结合解决； （三牌体化思想：利用 复数的特征整体处理.2.设。为原点，向量OA,跟踪训练OB寸应的复数分别为2+3i, -3-2i,那么向量BA对应的复数为()A. -1 + iB. 1-iC. 5 5iD. 5+5iD 由题意知，OAL(2,3), OB=( 3, -2)BA OA OB().对应的复数为5+5i,故选D.当堂达标周双基1 .复数z= 1 2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限C z= 12i对应点Z（-1, 2）,位于第三象限.2 .已知复数z=(m3)+(m1)i的模等于2,则实数m的值为()A. 1 或 3 B. 1C. 3 D. 2A 依题意可得=2,解得m=1或3,故选A.3 .在复平面内表示复数z=(m3) + 2i的点在直线y=x上，则实数m的值 为.9z=(m3) + 2i表示的点在直线y=x上，m3= 2,解之得 m=9.4 .复数z= x- 2+(3 x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数 x的取 值范围是.x 2>0,(3, +8).复数z在复平面内对应的点在第四象限，3x<0,解得x>3.5.在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模.13zi = 1 i; z2