中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系含详细参考答案

1、2019年中考数学专题复习第二十三讲 与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、 点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点p到圆心的距离为d 则：点p在圆内 <> 点p在圆上<> 点p在圆外 <> 2、 过三点的圆： 过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的 。三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角形 】二、直线与圆的位置关系： 1、直线与圆的

2、位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线。2、设o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则： 直线l与o相交<>d r,直线l与o相切<>d r直线l与o相离<>d r3、 切线的性质和判定：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判

3、定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、 切线长定理： 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆： 与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 三角形内心的形成：是三角形 的交点 内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若abc三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若abc为直角三角形，则r= 】一、 圆和圆的位

4、置关系： 圆和圆的位置关系有 种，若o1半径为r，o 2半径为r，圆心距为d，则o 1 与o 2 外离<> o 1 与o 2 外切<> o 1 与o 2相交<> o 1 与o 2内切<> o 1 与o 2内含<> 【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时d= 】二、 反证法： 假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成

5、立，通过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】 考点一：切线的性质例1 （2018安徽）如图，菱形aboc的边ab，ac分别与o相切于点d，e若点d是ab的中点，则doe= °【思路分析】连接oa，根据菱形的性质得到aob是等边三角形，根据切线的性质求出aod，同理计算即可【解答】解：连接oa，四边形aboc是菱形，ba=bo，ab与o相切于点d，odab，点d是ab的中点，直线od是线段ab的垂直平分线，oa=ob，aob是等边三角形，ab与o相切于点d，odab，aod=aob=30°，同理，aoe=30°，d

6、oe=aod+aoe=60°，故答案为：60【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键考点二：切线的判定例2 （2018怀化）已知：如图，ab是o的直径，ab=4，点f，c是o上两点，连接ac，af，oc，弦ac平分fab，boc=60°，过点c作cdaf交af的延长线于点d，垂足为点d（1）求扇形obc的面积（结果保留）；（2）求证：cd是o的切线【思路分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案（2）易证fac=aco，从而可知adoc，由于cdaf，所以cdoc，所以cd是o的切线【解答】解：（1）ab=4，ob=2co

7、b=60°， ；（2）ac平分fab，fac=cao，ao=co，aco=caofac=acoadoc，cdaf，cdocc在圆上，cd是o的切线【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系例3（2018湘西州）已知o的半径为5cm，圆心o到直线l的距离为5cm，则直线l与o的位置关系为（）a相交b相切c相离d无法确定【思路分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切【解答】解：圆心到直线的距离5cm=5cm，直线和圆相切故选：b【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的

8、关系判断直线和圆的位置关系若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离【备考真题过关】一、选择题1（2018眉山）如图所示，ab是o的直径，pa切o于点a，线段po交o于点c，连结bc，若p=36°，则b等于（）a27°b32°c36°d54°2. （2018福建）如图，ab是o的直径，bc与o相切于点b，ac交o于点d，若acb=50°，则bod等于（）a40°b50°c60°d80°3. （2018泰安）如图，bm与o相切于点b，若mba=140°，则a

9、cb的度数为（）a40°b50°c60°d70°4. （2018常州）如图，ab是o的直径，mn是o的切线，切点为n，如果mnb=52°，则noa的度数为（）a76°b56°c54°d52°5. （2018无锡）如图，矩形abcd中，g是bc的中点，过a、d、g三点的圆o与边ab、cd分别交于点e、点f，给出下列说法：（1）ac与bd的交点是圆o的圆心；（2）af与de的交点是圆o的圆心；（3）bc与圆o相切，其中正确说法的个数是（）a0b1c2d36. （2018内江）已知o1的半径为3cm，o2的半径

10、为2cm，圆心距o1o2=4cm，则o1与o2的位置关系是（）a外离b外切c相交d内切8. （2018上海）如图，已知poq=30°，点a、b在射线oq上（点a在点o、b之间），半径长为2的a与直线op相切，半径长为3的b与a相交，那么ob的取值范围是（）a5ob9b4ob9c3ob7d2ob79. （2018邵阳）如图所示，四边形abcd为o的内接四边形，bcd=120°，则bod的大小是（）a80°b120°c100°d90°10. （2018泰安）如图，m的半径为2，圆心m的坐标为（3，4），点p是m上的任意一点，papb，且p

11、a、pb与x轴分别交于a、b两点，若点a、点b关于原点o对称，则ab的最小值为（）a3b4c6d8二、填空题11. （2018连云港）如图，ab是o的弦，点c在过点b的切线上，且ocoa，oc交ab于点p，已知oab=22°，则ocb= 12. （2018宁波）如图，正方形abcd的边长为8，m是ab的中点，p是bc边上的动点，连结pm，以点p为圆心，pm长为半径作p当p与正方形abcd的边相切时，bp的长为 13. （2018台州）如图，ab是o的直径，c是o上的点，过点c作o的切线交ab的延长线于点d若a=32°，则d= 度14. （2018长沙）如图，点a，b，d在o

12、上，a=20°，bc是o的切线，b为切点，od的延长线交bc于点c，则ocb= 度15. （2018曲靖）如图：四边形abcd内接于o，e为bc延长线上一点，若a=n°，则dce= °三、解答题16. （2018邵阳）如图所示，ab是o的直径，点c为o上一点，过点b作bdcd，垂足为点d，连结bcbc平分abd求证：cd为o的切线17. （2018宜宾）如图，ab为圆o的直径，c为圆o上一点，d为bc延长线一点，且bc=cd，cead于点e（1）求证：直线ec为圆o的切线；（2）设be与圆o交于点f，af的延长线与ce交于点p，已知pcf=cbf，pc=5，pf=

13、4，求sinpef的值18. （2018南充）如图，c是o上一点，点p在直径ab的延长线上，o的半径为3，pb=2，pc=4（1）求证：pc是o的切线（2）求tancab的值19. （2018郴州）已知bc是o的直径，点d是bc延长线上一点，ab=ad，ae是o的弦，aec=30°（1）求证：直线ad是o的切线；（2）若aebc，垂足为m，o的半径为4，求ae的长20. （2018常德）如图，已知o是等边三角形abc的外接圆，点d在圆上，在cd的延长线上有一点f，使df=da，aebc交cf于e（1）求证：ea是o的切线；（2）求证：bd=cf21. （2018天门）如图，在o中，a

14、b为直径，ac为弦过bc延长线上一点g，作gdao于点d，交ac于点e，交o于点f，m是ge的中点，连接cf，cm（1）判断cm与o的位置关系，并说明理由；（2）若ecf=2a，cm=6，cf=4，求mf的长2019年中考数学专题复习第二十三讲 与圆有关的位置关系参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】直接利用切线的性质得出oap=90°，再利用三角形内角和定理得出aop=54°，结合圆周角定理得出答案【解答】解：pa切o于点a，oap=90°，p=36°，aop=54°，b=27°故选：a【点评】此题主要考查了切线的性质以

15、及圆周角定理，正确得出aop的度数是解题关键2.【思路分析】根据切线的性质得到abc=90°，根据直角三角形的性质求出a，根据圆周角定理计算即可【解答】解：bc是o的切线，abc=90°，a=90°-acb=40°，由圆周角定理得，bod=2a=80°，故选：d【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点3.【思路分析】连接oa、ob，由切线的性质知obm=90°，从而得abo=bao=50°，由内角和定理知aob=80°，根据圆周角定理可得答案【解答】解：如图，连接oa、ob，bm是o的

16、切线，obm=90°，mba=140°，abo=50°，oa=ob，abo=bao=50°，aob=80°，acb=aob=40°，故选：a【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4.【思路分析】先利用切线的性质得onm=90°，则可计算出onb=38°，再利用等腰三角形的性质得到b=onb=38°，然后根据圆周角定理得noa的度数【解答】解：mn是o的切线，onnm，onm=90

17、76;，onb=90°-mnb=90°-52°=38°，on=ob，b=onb=38°，noa=2b=76°故选：a【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理5.【思路分析】连接dg、ag，作ghad于h，连接od，如图，先确定ag=dg，则gh垂直平分ad，则可判断点o在hg上，再根据hgbc可判定bc与圆o相切；接着利用og=og可判断圆心o不是ac与bd的交点；然后根据四边形aefd为o的内接矩形可判断af与de的交点是圆o的圆心【解答】解：连接dg、ag，作ghad于h，连接od，如图，g是b

18、c的中点，ag=dg，gh垂直平分ad，点o在hg上，adbc，hgbc，bc与圆o相切；og=og，点o不是hg的中点，圆心o不是ac与bd的交点；而四边形aefd为o的内接矩形，af与de的交点是圆o的圆心；（1）错误，（2）（3）正确故选：c【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了矩形的性质6.【思路分析】由o1的半径为3cm，o2的半径为2cm，圆心距o1o2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系【解答】解：o1的半径为3cm，o2的半径为2cm，圆心

19、距o1o2为4cm，又2+3=5，3-2=1，145，o1与o2的位置关系是相交故选：c【点评】此题考查了圆与圆的位置关系注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r，r的数量关系间的联系是解此题的关键8.【思路分析】作半径ad，根据直角三角形30度角的性质得：oa=4，再确认b与a相切时，ob的长，可得结论【解答】解：设a与直线op相切时切点为d，连接ad，adop，o=30°，ad=2， oa=4，当b与a相内切时，设切点为c，如图1，bc=3，ob=oa+ab=4+3-2=5；当a与b相外切时，设切点为e，如图2，ob=oa+ab=4+2+3=9，半径长为3的b与a相交，那么ob

20、的取值范围是：5ob9，故选：a【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定ob的取值范围9.【思路分析】根据圆内接四边形的性质求出a，再根据圆周角定理解答【解答】解：四边形abcd为o的内接四边形，a=180°-bcd=60°，由圆周角定理得，bod=2a=120°，故选：b【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键10.【思路分析】由rtapb中ab=2op知要使ab取得最小值，则po需取得最小值，连接om，交m于点p，当点p

21、位于p位置时，op取得最小值，据此求解可得【解答】解：papb，apb=90°，ao=bo，ab=2po，若要使ab取得最小值，则po需取得最小值，连接om，交m于点p，当点p位于p位置时，op取得最小值，过点m作mqx轴于点q，则oq=3、mq=4，om=5，又mp=2，op=3，ab=2op=6，故选：c【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ab取得最小值时点p的位置 二、填空题11.【思路分析】首先连接ob，由点c在过点b的切线上，且ocoa，根据等角的余角相等，易证得cbp=cpb，利用等腰三角形的性质解答即可【解答】解

22、：连接ob，bc是o的切线，obbc，oba+cbp=90°，ocoa，a+apo=90°，oa=ob，oab=22°，oab=oba=22°，apo=cbp=68°，apo=cpb，cpb=abp=68°，ocb=180°-68°-68°=44°，故答案为：44°【点评】此题考查了切线的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用12.【思路分析】分两种情形分别求解：如图1中，当p与直线cd相切时；如图2中当p与直线ad相切时设切点为k，连接pk，则p

23、kad，四边形pkdc是矩形；【解答】解：如图1中，当p与直线cd相切时，设pc=pm=m在rtpbm中，pm2=bm2+pb2，x2=42+（8-x）2，x=5，pc=5，bp=bc-pc=8-5=3如图2中当p与直线ad相切时设切点为k，连接pk，则pkad，四边形pkdc是矩形pm=pk=cd=2bm，bm=4，pm=8，在rtpbm中，pb= =4综上所述，bp的长为3或4【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题13.【思路分析】连接oc，根据圆周角定理得到cod=2a，根据切线的性质计算即可【解答

24、】解：连接oc，由圆周角定理得，cod=2a=64°，cd为o的切线，occd，d=90°-cod=26°，故答案为：26【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键14.【思路分析】由圆周角定理易求boc的度数，再根据切线的性质定理可得obc=90°，进而可求出ocb的度数【解答】解：a=20°，boc=40°，bc是o的切线，b为切点，obc=90°，ocb=90°-40°=50°，故答案为：50【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，

25、熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键15.【思路分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解【解答】解：四边形abcd是o的内接四边形，a+dcb=180°，又dce+dcb=180°dce=a=n°故答案为：n【点评】本题考查了圆内接四边形的性质解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补三、解答题16.【思路分析】先利用bc平分abd得到obc=dbc，再证明ocbd，从而得到occd，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】证明：bc平分abd，obc=dbc，ob=oc，obc=ocb，ocb=dbc，ocbd，bdcd，occd，cd为o的切线【

26、点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线17.【思路分析】（1）说明oc是bda的中位线，利用中位线的性质，得到oce=ced=90°，从而得到ce是圆o的切线（2）利用直径上的圆周角，得到pef是直角三角形，利用角相等，可得到pefpea、pcfpac，从而得到pc=pe=5然后求出sinpef的值【解答】解：（1）证明：cead于点edec=90°，bc=cd，c是bd的中点，又o是ab的中点，oc是bda的中位线，ocadoce=ced=90°occe，又点c在圆上，ce是圆o的切线（2）连接ac，ab是直径，点f在圆上

27、afb=pfe=90°=ceaepf=epapefpeape2=pf×pafbc=pcf=caf又cpf=cpapcfpacpc2=pf×pape=pc在直角pef中， 【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点利用三角形相似，说明pe=pc是解决本题的难点和关键18.【思路分析】（1）可以证明oc2+pc2=op2得ocp是直角三角形，即ocpc，pc是o的切线（2）ab是直径，得acb=90°，通过角的关系可以证明pbcpca，进而 ，得出t 【解答】解：（1）如图，连接oc、bc，o的半径为3，pb=2oc=o

28、b=3，op=ob+pb=5pc=4oc2+pc2=op2ocp是直角三角形，ocpcpc是o的切线（2）ab是直径acb=90°aco+ocb=90°ocpcbcp+ocb=90°bcp=acooa=oca=acoa=bcp在pbc和pca中：bcp=a，p=ppbcpca，。【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能证明图中相似三角形是解决问题的关键19.【思路分析】（1）先求出abc=30°，进而求出bad=120°，即可求出oab=30°，结论得证；（2）先求出aoc=60°，用三角函数求出am

29、，再用垂径定理即可得出结论【解答】解：（1）如图，aec=30°，abc=30°，ab=ad，d=abc=30°，根据三角形的内角和定理得，bad=120°，连接oa，oa=ob，oab=abc=30°，oad=bad-oab=90°，oaad，点a在o上，直线ad是o的切线；（2）连接oa，aec=30°，aoc=60°，bcae于m，ae=2am，oma=90°，在rtaom中，am=oasinaom=4×sin60°=2，ae=2am=4【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂

30、径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出aoc=60°是解本题的关键20.【思路分析】（1）根据等边三角形的性质可得：oac=30°，bca=60°，证明oae=90°，可得：ae是o的切线；（2）先根据等边三角形性质得：ab=ac，bac=abc=60°，由四点共圆的性质得：adf=abc=60°，得adf是等边三角形，证明badcaf，可得结论【解答】证明：（1）连接od，o是等边三角形abc的外接圆，oac=30°，bca=60°，aebc，eac=bca=60°，oae

31、=oac+eac=30°+60°=90°，ae是o的切线；（2）abc是等边三角形，ab=ac，bac=abc=60°，a、b、c、d四点共圆，adf=abc=60°，ad=df，adf是等边三角形，ad=af，daf=60°，bac+cad=daf+cad，即baf=caf，在bad和caf中， ，badcaf，bd=cf【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键21.【思路分析】（1）连接oc，如图，利用圆周角定理得到acb=90°

32、，再根据斜边上的中线性质得mc=mg=me，所以g=1，接着证明1+2=90°，从而得到ocm=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断cm为o的切线；（2）先证明g=a，再证明emc=4，则可判定efcecm，利用相似比先计算出ce，再计算出ef，然后计算me-ef即可【解答】解：（1）cm与o相切理由如下：连接oc，如图，gdao于点d，g+gbd=90°，ab为直径，acb=90°，m点为ge的中点，mc=mg=me，g=1，ob=oc，b=2，1+2=90°，ocm=90°，occm，cm为o的切线； （2）1+3+

33、4=90°，5+3+4=90°，1=5，而1=g，5=a，g=a，4=2a，4=2g，而emc=g+1=2g，emc=4，而fec=cem，efcecm， ，即 ， ， 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d：直线l和o相交dr；直线l和o相切d=r；直线l和o相离dr也考查了圆周角定理还来不及享受美丽的锦瑟华年，就已经到了白发迟暮，一生匆匆而过。生命，就是这样匆匆，还来不及细细品味，就只剩下了回忆。生命匆匆，累了就选择放下，别让自己煎熬痛苦，别让自己不堪重负。放下该放下的，心才会释放重负，人生才能安然自如。人生就是一个口袋，里面装的

34、东西越多，前行的脚步就越沉重。总觉得该得到的还没有得到，该拥有的却已经失去，苦苦追寻的依然渺茫无踪。心累，有时候是为了生存，有时候是为了攀比。只有放下羁绊前行脚步的重担，放下阴霾缭绕的负面情绪，才能感受到“柳暗花明又一村”的豁然开朗，领悟到“一蓑烟雨任平生”的超然物外。人生太匆匆，累了，就放一放吧，何苦要执拗于一时的成败得失！很多时候，我们用汗水滋养梦想，可是，梦想是丰满的，现实是骨感的。每个人都渴望成功的鲜花围绕自己，可是，谁都不是常胜将军，都会猝不及防地遭遇人生的滑铁卢。唉声叹气只会让自己裹足不前，一蹶不振只能让自己沉沦堕落。如果真的不能承受其重，就放一放，重新审视前方的道路，选择更适合自己的方向。有些东西，本就如同天上的浮云，即使竭尽全力，也未必能揽之入怀。或者即使得到，也未必能提高幸福指数。所以与其为得不到的东西惶惶终日，不如选择放下，为心减负，轻松前行。一人难如百人愿 ,不是所有的人，都会欣赏和喜欢自己。所以，我们不必曲意逢迎他人的目光，不用祈求得到所有人的温柔以待。真正在意你的人，不会对你无情无义，不在意你的人，你不过是轻若鸿毛的可有可无。做最好的自己，静静地守着一江春水的日子，让心云淡风轻，怡然自若。人生本过客，何必千千结。不是所有的相识都能地久天长，不是所有的情谊都能地老天荒。有些人终究是走着走着就散了，成为我们生命